2023-2024学年黑龙江省绥化市哈师大青冈实验中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省绥化市哈师大青冈实验中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：D
2．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
【答案】B
【分析】由特称命题的否定直接求解即可
【详解】命题“，使得”的否定是：
，都有，
故选：B
3．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y＝x＋1B．y＝－x2C．y＝x3D．
【答案】C
【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.
【详解】y＝x＋1是非奇非偶函数，
y＝－x2是偶函数，
y＝x3由幂函数的性质，是定义在R上的奇函数，且为单调递增，
在定义域为，不是定义域上的单调增函数，
故选：C
【点睛】此题考查函数奇偶性单调性的判断，要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握，是简单题目.
4．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），则函数F（x）＝f（x+2）+的定义域为（ ）
A．（﹣2，3]B．[﹣2，3]C．（0，3]D．（2，3]
【答案】A
【分析】根据题意列出不等式组，进而解出答案即可.
【详解】由题意，.
故选：A.
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出不等式的等价条件，再结合充分条件、必要条件的定义进行判定.
【详解】由，得，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．已知，，，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即b故选：A.
7．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减.
【详解】由对任意，都有成立可得，
在上单调递减，
所以 ，解得，
故选:C.
8．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将对，，使得转化为对于任意恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解.
【详解】∵，
∴，当且仅当，即时取等号.
∴当时，.
∴对，，使得等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立
∴对任意恒成立
∵函数在上为增函数
∴，即.
故选：B.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质可得.
【详解】选项A：因，又因，所以，故A正确；
选项B：当，，时，，，但，故B错误；
选项C：当时，，又得，故C正确；
选项D：因，所以，由，，得，故D错误，
故选：AC
10．下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最小值为2
【答案】AB
【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】当时，，当且仅当时，即时，等号成立，故A正确；
当时，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确；
当时，显然不成立，故C错误；
因为，当且仅当时，此时
无解，故取不到等号，故D错误；
故选：AB
11．已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据即可判断A；
根据即可判断B，注意符号；
根据即可判断C；
利用立方和公式即可判断D.
【详解】解：因为，所以，
，故A正确；
，所以，故B错误；
，
又，所以，则，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
12．已知函数，则下列选项成立的是（ ）
A．
B．在和上是减函数
C．是上的偶函数
D．的对称轴是和
【答案】BC
【分析】，画出的图象，由图象即可求解
【详解】因为函数，
画出的图象，如图所示：
由图象可知：当或时，，故A错误；
由图象可知：在和上是减函数，故B正确；
由图象可知：的图象关于轴对称，故是上的偶函数，故C正确，D错误；
故选：BC
三、填空题
13．已知为奇函数，当时，则 ．
【答案】－12
【分析】利用奇函数的性质即可得到答案.
【详解】因为为奇函数，所以，
故．
故答案为：－12.
14．已知幂函数在区间上单调递减，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的概念，求得，再结合幂函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，函数在区间上单调递增，不符合题意；
当时，函数在区间上单调递减，符合题意，
所以实数的值为-.
故答案为：-.
15．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】先求得点坐标，然后求得的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意，，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
16．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用赋值法、构造函数法证得是奇函数，根据函数单调性的定义证得在上单调递减，由此化简不等式并求得其解集.
【详解】依题意，，有，
令，得，
令，得，
令，得，
构造函数，则为奇函数，则，
任取，则
，
由于，所以，所以，
所以，所以在上单调递减，则在上单调递减.
由得，
，
，
由得
，
则，
所以，
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）根据指数幂运算法则化简求值即可；
（2）利用对数函数运算性质和换底公式进行化简运算即可.
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式.
18．已知集合，.
(1)若，求；
(2)，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得.
（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）
当时，，故；
（2）因为，所以：
①当时，即，即，符合题意
②当时，即，
若，则，
综上，实数的取值范围为.
19．二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，由得，由，得，解方程组求出，的值，从而求出函数的解析式；
（2）对讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．
【详解】（1）解：设，因为，所以，
即，
根据，即，
解得，，所以；
（2）解：函数，其对称轴为，
当即时，区间为减区间，
最小值为；
当，即时，取得最小值1；
当，即时，区间为增区间，
取得最小值．
综上可得时，最小值为；
时，最小值为1；
时，最小值为．
20．为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．
(1)小李承包的土地到第几年开始盈利？
(2)求小李承包的土地的年平均利润的最大值．
【答案】(1)第年
(2)最大为万元
【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第年的利润为万元，求出函数的解析式，然后解不等式，可得出结论；
（2）设年平均利润为万元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】（1）由题意得，解得，所以．
设小李承包的土地到第年的利润为万元，
则，
由，得，解得．
故小李承包的土地到第年开始盈利．
（2）设年平均利润为万元，
则，
当且仅当时，等号成立．
故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．
21．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求a，b的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式，.
【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.
【分析】（1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解；
（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；
（3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.
【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
所以
检验：，为奇函数满足题意
（2）在上递增，证明如下：
任取
，
其中，所以，
故在上递增.
（3）由可得，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
因为是增函数，
所以，即，解得：，
所以不等式的解集为.
22．已知为偶函数，为奇函数，且满足．
(1)求、；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性构造方程组，解方程组求得与的解析式；
（2）将与的解析式代入，并令，将原问题转化为恒成立，其中，然后利用二次函数性质解决恒成立问题.
【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，
由已知可得，
即，
所以，，解得；
（2）由可得，
令，当且仅当时，等号成立，
故有恒成立，其中，
令，其中，则函数在上恒成立，
最小值≥0
①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，符合题意；
②当时，即当时，则有，解得，
此时．
综上所述，实数的取值范围是；