2023-2024学年江苏省南京市第九中学高一上学期期中学情调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南京市第九中学高一上学期期中学情调研数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.
【详解】 ， ，
在第四象限；
故选：D.
2．若函数为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质，，解得，验证为奇函数.
【详解】因为函数为奇函数，且，所以.
验证当时，，，满足题意，
故选：B
3．已知函数（，且）的图像恒过点P，若点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求解即可.
【详解】解：∵，
∴函数（，且）的图像恒过点，
∴由三角函数定义得
故选：D
4．已知角的终边上一点，则（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】可由题意，利用坐标分别表示出，然后再计算即可得到答案.
【详解】因为角的终边上一点，所以，，所以.
故选：C.
5．下述正确的是（ ）
A．若为第四象限角，则
B．若，则
C．若的终边为第三象限平分线，则
D．“”是“”的充要条件
【答案】D
【分析】对于A，利用三角函数定义即可判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，算出的范围即可判断；对于D，利用充分，必要的定义进行判断即可
【详解】对于A，若为第四象限角，根据三角函数定义可得，故不正确；
对于B，若，则，故不正确；
对于C，若的终边为第三象限平分线，则，
此时，故不正确；
对于D，由可得，即，满足充分性；
由可得，所以，满足必要性，故正确
故选：D
6．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
7．已知， 则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>c>aB．c>a>bC．b>a>cD．c>b>a
【答案】D
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，选取中间量即可比较大小.
【详解】， ，
，则.
故选：D.
【点睛】比较大小的方法有：
（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.
8．已知函数则（ ）
A．的最大值为，最小值为B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值．
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，
然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值．
由图象可知，当时，取得最大值，
所以由得或．
结合函数图象可知当时，函数有最大值，无最小值．

故选：C．
二、多选题
9．已知实数，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．若则
C．则D．若则有最大值
【答案】CD
【分析】举反例判断AB，根据基本不等式判断CD.
【详解】对于A，当时，，不满足，错误；
对于B，当时，，满足，但是，错误；
对于C，因为，所以，所以，所以，正确；
对于D，因为，所以有，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当时等号成立，即有最大值，正确.
故选：CD
10．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．
B．
C．函数在上为减函数
D．函数在上为增函数
【答案】BC
【分析】根据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A错误、故选项B正确.根据幂函数的单调性可判断C 正确、D错误.
【详解】∵为幂函数，∴，即，
∴或，
当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A错误：
当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B正确；
因为幂函数在上为减函数，故选项C正确；
因为幂函数在上为减函数，故选项D错误.
故选：BC
11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若,则下列各式的符号不能确定的是( ).
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据三角函数定义和两个条件确定符号.
【详解】由三角函数的定义可知：
，
当时，，，
当时，，，
当时，，，故符号不确定；
因为，所以，符号确定；
，
当时，，，
当时，，，
当时，，，故符号不能确定；
，故符号确定.
故选：AC
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
【答案】BC
【分析】计算出和的值后结合奇偶性定义可判断A，由奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性判断C，确定出的取值范围后得出的值域判断D．
【详解】根据题意知，．
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
∵在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
∵，∴，，
∴，
∴，D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 ；
【答案】6
【解析】根据扇形面积公式求解即可.
【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，
则扇形的半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：6
【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.
14．已知函数满足以下三个条件①，②在定义域上是减函数，③，请写出一个同时符合上述三个条件的函数的解析式 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意在学过的函数中找一个满足三个条件的函数即可.
【详解】由可考虑对数函数，
又因为在定义域上是减函数，所以的底数，
又因为，所以，所以.
故答案为：（答案不唯一）.
15．若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 .
【答案】
【分析】根据题意得：“，”为真命题，分离参数求解函数最值即可求解.
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
则，使得，所以，
因为，，所以当时，有最小值，
所以，所以实数a可取的最小整数值是.
故答案为：.
16．已知是偶函数，的最小值为 .
【答案】
【分析】先利用偶函数性质求得，然后化简函数，利用复合函数值域求法结合基本不等式求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
由的任意性可得，故，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．计算与化简
（1）化简
（2）计算
【答案】（1）；（2）1.
【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值即可；
（2）根据对数的运算、性质化简求值.
【详解】（1）原式
(2）原式
18．已知函数的定义域为集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先求得集合A，当时，可求得集合B，根据并集的运算法则，即可求得答案；
（2）根据题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系，即可求得答案.
【详解】由题意得：，所以集合，
（1）当时，集合，
所以.
（2）若是的必要条件，则，
当时，，解得，符合题意，
当时，则，解得，
综上的取值范围为
【点睛】易错点点睛：当出现，即B集合为小范围，且B集合含有参数时，需讨论B集合是否为空集，再进行求解，考查分析理解的能力，属基础题.
19．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，，三个直接的关系，可得.
（2）由可得.
【详解】（1）由三角函数的定义，，，
两边平方，得
则，，，
所以，
.
（2）由（1）知，，
.
20．已知集合.
（1）求集合；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数函数的单调性得到且，由此求解出的取值范围，则集合可知；
（2）采用换元法令，将函数变形为关于的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.
【详解】（1）因为，且在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，
令，所以，对称轴为且开口向上，
所以，
所以函数的值域为.
21．已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.
(1)把商品的利润表示为生产量的函数；
(2)当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
【答案】(1)
(2)生产量为千件时，最大利润为万元
【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数；
（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.
【详解】（1）设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，
则，
所以.
（2）当时，
，
当，即时，，
当时，是减函数，时，，
所以当时，，
所以生产量为千件时，最大利润为万元.
22．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的定义域、值域和单调性，由题意可得，解不等式即可得出答案.
（2）求得时，的值域；讨论和时的值域，由题意可得与值域有交集，即可得所求范围.
【详解】（1），定义域为
，函数是奇函数.
又在时是减函数，
故不等式等价于
即，又，∴
解得
故不等式的解集为.
（2）由题意知：时，与值域有交集.
时，是减函数 ∴，
当时，，时单调递减，，
∴ ∴
当时，，时单调递增，，显然不符合
综上：a的取值范围为