2023-2024学年江西省赣州市全南中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省赣州市全南中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出两个集合求其并集即可.
【详解】由，得，
由，得，
所以.
故选：C
2．下列选项中，使成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数集的包含关系，对选项进行判断.
【详解】不等式解得，根据充分条件、必要条件的定义可知：
对于A，是充要条件，A错误；
对于B，，是成立的一个必要不充分条件，B正确；
对于C，，是成立的一个充分不必要条件，C错误；
对于D，与没有包含关系，是既不充分也不必要条件，D错误.
故选：B.
3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；
B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；
C中，函数和 ，
则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；
D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确.
故选：C.
4．已知，，则的最小值为（ ）
A．25B．C．5D．
【答案】B
【分析】根据均值不等式求解即可.
【详解】由，可得，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
故选：B
5．若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，
因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，否则当时，，不符合题意，
于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
6．若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数幂的运算性质可求得结果.
【详解】.
故选：C.
7．已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【分析】根据幂函数经过的点可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设
，令，
由于在区间上单调递增，在上单调递减，
在区间上的最大值是.
故选：C.
8．设，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，分离常数法判断函数单调性，根据单调性即可判断选项A、B；由，，即可判断选项C；结合基本不等式即可判断选项D.
【详解】构造函数，则，
因为函数在R上为单调递增函数， 所以在R上为单调递减函数，
所以，所以，，故选项A正确，选项B错误；
因为，，所以，故选项C错误；
因为，当且仅当时取等号，由题意可知，故，故选项D错误.
故选：A
二、多选题
9．若，则实数的可能取值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】ABD
【分析】分，，，求出实数，利用元素的互异性检验，得到答案.
【详解】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意；
②若，即时，，不满足集合中元素的互异性；
③若，即，
当时，此时集合中的元素为，，满足题意；
当时，此时集合中的元素为，满足题意.
故选：ABD.
10．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据根式的化简，分数指数幂的运算性质，即可判断选项.
【详解】，，
，，其中只有B错误.
故选：ACD
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上，的最小值为4
B．在上，单调递减
C．为奇函数
D．在上，单调递增
【答案】ABC
【分析】先用定义法得出的单调区间，从而可判断出选项A、B和D的正误，对于选项C，利用奇偶函数的判断方法即可判断出选项的正误.
【详解】因为，易知，定义域为，
在定义域内任取，且，
则，
当时，，所以，，
又，所以，即在区间上单调递增；
当时，，所以，，
又，所以，即在区间上单调递减；
同理可证得，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
所以选项B正确，选项D错误；
对于选项A，当时，因为在区间上单调递减，
在区间上单调递增，故，所以选项A正确；
对于选项C，因为的定义域关于原点对称，又，
故为奇函数，所以选项C正确，
故选：ABC.
12．已知函数在上具有单调性，实数的值可以是（ ）
A．40B．60C．80D．160
【答案】AD
【分析】根据二次函数的单调性得到不等式，解出即可.
【详解】函数为二次函数，对称轴为直线.
当，即时，在上单调递增；
当，即时，在上单调递减.
综上可知：k的取值范围为或，则AD符合，BC错误；
故选：AD.
三、填空题
13．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】移项通分转化为一元二次不等式即可.
【详解】.解得或.
则解集为，
故答案为：.
14．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用换元法求解.
【详解】令，则，
∴，
∴.
故答案为：.
15．已知是奇函数且在上单调递增，，则的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性及奇偶性解不等式.
【详解】因为是奇函数且在上单调递增，，
所以，且在上单调递增，
由，可知或，
解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：
16．已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先得到，然后根据当时，恒成立分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】，当时，单调递增，
所以当时，恒成立，
注意到，
所以由得在区间上恒成立，
令，
当时，，
当时，任取，
，
其中，，
，
所以，
所以在上递增，，
所以在区间上，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
【点睛】含有参数的分段函数最值有关的问题，可先考虑没有参数的一段函数的最值，然后再结合这个最值考虑含有参数的一段函数，结合分离常数法以及函数值域的求法可求得参数的取值范围.
四、解答题
17．计算下列各式：
(1)；
(2)，其中，.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】（1）由；
（2）由.
18．已知集合，．
(1)当时，求和；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）代入，得出，然后即可根据交集以及并集的运算，计算得出答案；
（2）分以及两种情况讨论求解，即可得出答案.
【详解】（1）当时，．
所以，，
．
（2）当时，有，则；
当时，
可得，或，
解得或．
综上可得，实数m的取值范围是．
19．已知函数，表示a，b中的最小值．
(1)求，的值；
(2)求的解集．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出函数，进而代值求解即可；
（2）分和或两种情况解不等式即可求解.
【详解】（1）由，得，
由，得或，
则，
所以，.
（2）由（1）知，，
当时，，即，即，所以；
当或时，，即，即，所以.
综上所述，的解集为.
20．已知关于的不等式的解集为.
(1)求的值；
(2)当且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得方程的两根为和2，从而可求出的值；
（2）由题意得，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值为8，所以，从而可求出的取值范围.
【详解】（1）由，整理得，
根据题意得，的解集为，
的两根为和2，
.
（2）当且满足时，有恒成立，
.
而，
当且仅当，即时取“，
，即，
解得，
即的取值范围为.
21．某市出租汽车收费标准如下：路程在以内（含）按起步价11元收费，超过的路程按2.4元收费.
(1)试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式；
(2)若王先生某次乘车付车费35元，则此单出租车行驶了多少路程？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分别求出、时的表达式，写出分段函数形式即可.
（2）由题意只能，解方程即可得解.
【详解】（1）不妨设收费额（单位：元）、路程（单位：）分别用来表示，
由题意当时，，当时，，
因此收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式为.
（2）由（1）可知，若，
则只能，解得，
即若王先生某次乘车付车费35元，则此单出租车行驶了的路程.
22．已知为奇函数，为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为1，求的值．
【答案】(1)；
(2)-2.
【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求的解析式；
（2）令，可得，利用二次函数的性质，讨论对称轴与的位置关系求参数m.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，①
又为偶函数，所以，②
由①②联立，可得：．
（2），令，则．
当时， 单调递增，所以．
令．
当，即时，在上单调递增，
所以，不符合题意，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，又，即，
当，即时，在上单调递减，
所以，解得，不合题意，舍去，
综上，的值为-2．
【点睛】关键点点睛：第二问，应用换元法将指数复合函数转化为二次函数，通过讨论二次函数对称轴与闭区间的位置关系，研究最值求参数.