2023-2024学年江西省宜春市高安市灰埠中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省宜春市高安市灰埠中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由补集的运算可得，再由并集的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则.
故选：C
2．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”，
“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B.
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“”的否定是“”.
故选：B.
4．与函数为同一函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数定义域是否相同，再判断解析式是否相同即可.
【详解】函数的定义域为，
对于A：函数的定义域为且，所以A正确；
对于B：函数的定义域为，，所以B错误；
对于C：函数的定义域为，C错误；
对于D：函数的定义域为，D错误，
故选：A
5．设函数，则（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【分析】代入分段函数的解析式，即可求解.
【详解】函数，因为，所以.
故选：A
6．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数，反比例函数和二次函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数在上为减函数，故A不符合；
对于B，函数在区间上为减函数，故B不符合；
对于C，当时，函数在区间上为增函数，故C符合；
对于D，函数在上单调递减，
在上单调递增，故D不符合.
故选：C.
7．已知，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性确定正确答案.
【详解】，
函数在上单调递增，所以.
故选：A
8．已知函数有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由有最大值结合指数函数的图像，得出当时，可取最大值，且该最大值大于等于，列出不等式求解即可．
【详解】当时，的取值范围是，
故当时，可取最大值，且该最大值大于等于，
显然不合题意，
则必有，此时，解得，
故选：B．
二、多选题
9．已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】ACD，由不等式的性质可得到正误；B选项，由函数单调性得到判断.
【详解】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，因为在R上单调递增，故，B正确；
C选项，，不等式两边同时乘以得，，C错误；
D选项，因为，所以，不等式两边同除以得，，D正确.
故选：ABD
10．下列各图中，能表示函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】结合函数的对应关系直接判断即可.
【详解】对A：多个对应一个，可以是函数；
对B：在轴左侧或右侧，一个对应多个，不是函数；
对C：一个对应一个，可以是函数；
对D：为不连续的点函数.
故选：ACD
11．已知函数的值域是，则它的定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意令，，求出对应的x值，结合二次函数的性质以及选项即可求解.
【详解】令，解得；
令，解得；
由二次函数的图象与性质可得，若要使函数的值域是，
则它的定义域是可能是，，．
故选：ACD．
12．用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．，都有
D．与图象所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令可得，结合新定义求得，讨论求的根，即可判断.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，则，
对于，都有，故，对；
D：令，又，
所以，可得，
当时，满足，即2为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
当时，，则，故1不为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
综上，图象所有交点的横坐标之和为，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意令结合分类讨论求对应根为关键.
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】
【分析】根据解析式直接代入即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
14．已知点在幂函数的图象上，则 .
【答案】
【分析】将点的坐标代入计算即可求解.
【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以.
故答案为：.
15．给出函数，如下表，则
【答案】1
【分析】由内到外依次求各函数值即可.
【详解】由题知，，所以.
故答案为：1.
16．已知定义在上的函数满足：是偶函数且在上单调递增，若，，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件分析的对称性以及单调性，然后根据对称性以及单调性将的关系转变为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出的取值范围.
【详解】因为是偶函数，
所以，所以的对称轴为，
又因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小，反之亦然，
因为，恒成立，
所以，恒成立，即恒成立，
所以，恒成立，即恒成立，
所以，
又因为为增函数，为减函数，
所以，，
所以，即，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：
（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；
（2）若函数满足或或，则的一个对称中心为.
四、解答题
17．计算下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化可化简所求代数式；
（2）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】（1）解：原式.
（2）解：原式.
18．设集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，
又因为，则.
（2）解：因为，则，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
因为，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
19．定义上的函数为奇函数，为偶函数，.
(1)求函数、的解析式；
(2)判断并证明的单调性.
【答案】(1)，
(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明详见解析
【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得和的解析式.
（2）根据函数单调性的定义以及函数的奇偶性证得的单调性.
【详解】（1）依题意，定义上的函数为奇函数，为偶函数，且，
则，所以，
两式相加得，
所以.
（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
当时，任取，
，
其中，所以，
所以在区间上单调递增，
由于是偶函数，所以在区间上单调递减.
20．已知幂函数，且的图像关于原点对称．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质求解即可；
（2）直接利用幂函数的单调性解不等式.
【详解】（1）函数为幂函数，
，解得或，
当时，是偶函数，关于轴对称，舍去；
当时，是奇函数，关于原点对称，
；
（2）明显在上单调递增，
对于，有，
解得或
五、应用题
21．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)， 万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
综上，.
（2）由（1）知，，
当时，，
因为，所以，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，又，
所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
六、解答题
22．已知函数
(1)若，写出函数在上的单调区间，并求在内的最小值;
(2)设关于对的不等式的解集为 A，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间，递增区间和，
(2)或
【分析】（1）先求得的解析式，然后求得的单调区间，并求得最值.
（2）对进行分类讨论，根据不等式的解集以及，列不等式来求得的取值范围.
【详解】（1）若，则，
可知递减区间，递增区间和，
因为，，故在的最小值为.
（2）因为，可知为上的奇函数，
由题可知在区间恒成立，显然，则有：
（i）当时，当时，开口向下，对称轴，
可知在上单调递减，则为上的减函数，
此时恒有，符合题意；
（ⅱ）当时，令得：，即，解得：，
①若时，则，
由，即，
整理得，
令开口向上，对称轴，且，
当，即时，则在内单调递增，
可得，符合题意；
当，即时，则在内单调递减，在内单调递增，
可得，解得；
可知：符合题意；
②若时，则，
由，即，
整理得，
因为，则在内单调递增，且，
所以符合题意；
综上所述：的取值范围为或.
x
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
6
8