2023-2024学年辽宁省鞍山市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知，若为上的奇函数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，从而可求出的值
【详解】由题意可得当时，，
因为为上的奇函数，
所以
所以，
，
所以（舍去），或，
因为
所以.
故选：C.
4．下列命题中为真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假.
【详解】，，故是假命题；
当时，，故是假命题；
，，故是真命题；
方程中，此方程无解，故是假命题.
故选:：C.
5．关于的不等式的解集为，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式与解集之间的关系可得、，结合
计算即可.
【详解】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件B．60件C．80件D．100件
【答案】B
【分析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
7．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分、、三种情况，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】当时，，则，得，即定义域为，不符合题意；
当时，，定义域为R，符合题意；
当时，由题意得关于x的不等式恒成立，
故，解得或.
综上，实数a的取值范围是.
故选：D
8．设a，bR，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.
【详解】因为，则，所以，即，故A错误；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，故B错误；
∵由，因为，所以，又因为，所以，即，故C错误；
由可得，，故D正确.
故选：D.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．
B．集合A，B，若且，则
C．集合，，则
D．集合，，若，则或
【答案】BC
【分析】由是无理数可判断A错；根据集合相等的概念知B对；对于C，求得x和y的取值范围均为R，从而可判断C对；对于D，根据集合的包含关系可求，从而可判断.
【详解】因为是无理数，所以，故A错误；
由集合相等的概念知B正确；
因为中的x和y的取值范围均为R，所以，故C正确；
因为，所以或.当时，；
当时，，此时.故或，解得或.
综上所述，a的取值为0，或，故D错误.
故选：BC.
10．已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是1
B．的最小值是2
C．的最小值是4
D．的最小值是
【答案】ABD
【解析】多项选择题需要对选项一一验证；用均值不等式判断A，对B、D进行“1的代换”，对C取特殊值进行验证.
【详解】由，得，所以(当且仅当时取等号)，故A正确；(当且仅当时取等号)故B正确；
∵，∴(当且仅当时取等号)，故C错误；(当且仅当时取等号)，故D正确.
故选ABD.
【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
11．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.
【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．
A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；
C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．
故选：ABD．
12．下列几种说法中，正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若不等式的解集是，则的解集是
D．“”是“不等式对一切x都成立”的充要条件
【答案】BC
【分析】利用充分必要条件的定义可判断A；由命题的否定可判断B；由不等式的解法可判断C；由不等式恒成立求出k的取值范围，再由充分必要条件的定义可判断D．
【详解】对于A，x＞y不能推出x2＞y2，例如x＝﹣1，y＝﹣2，
x2＞y2也不能推出x＞y，例如x＝﹣2，y＝﹣1，故“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要，故A错误；
对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确；
对于C，若不等式x2+ax﹣b＜0的解集是（﹣2，3），则﹣2，3是方程x2+ax﹣b＝0的两个根，
由根与系数的关系可得﹣a＝﹣2+3，﹣b＝﹣6，可得a＝﹣1，b＝6，
所以ax2﹣x+b＞0即为﹣x2﹣x+6＞0，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，可得不等式ax2﹣x+b＞0的解集为（﹣3，2），故C正确；
对于D，不等式对一切x都成立，当k＝0时，不等式0恒成立，
当k≠0时，＝k2﹣4×2k×（）＜0，解得﹣3＜k＜0，
综上，k∈（﹣3，0]，所以“k∈（﹣3，0）”是“不等式对一切x都成立”的充分不必要条件，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．已知且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】试题分析：
，当且仅当时，等号成立.
【解析】基本不等式求最值
14．设函数，当时，恒成立，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】由已知可得，分、、三种情况讨论，结合可得出的取值范围，综合即可得解.
【详解】，
当时，，可得；
当时，，可得，；
当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
则，.
故的最大值是.
故答案为：.
15．已知,其中.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围 .
【答案】
【分析】解不等式求出p与q的的取值范围，再利用q是p的必要不充分条件即可求解.
【详解】p：，
所以不等式的解集为，
q：，其中，
解得，不等式的解集为.
由q是p的必要不充分条件，
则且，
所以，
则且等号不同时成立，解得.
故答案为：.
16．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据题意得，进而得，故当时，，且在上单调递减，进而根据奇函数性质得函数在上的单调递减函数，然后讨论即可.
【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
因为当时，，
所以，解得，
所以当时，，
当时，
所以由二次函数的性质得时，函数单调递减，在上单调递减
易知
当时，原不等式，解得；
当时，无实数解；
当，无实数解；
当，即时，原不等式，解得；
当，即时，，，满足题意；
当，即时，，，不满足题意.
综上，原不等式的解集为：
故答案为：
四、解答题
17．已知非空集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用，利用交集运算，求出，即可求出结果.
（2）根据条件得出是的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果.
【详解】（1）方法一：当时，，
所以或．
因为，
所以或，
所以或．
方法二：当时，，
故，
所以或．
（2）因为是成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当时，或
解得或，
综上，实数a的取值范围是．
18．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7
【分析】（1）由题意列不等式，求解即可；
（2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，
解得，
又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人;
（2）假设存在实数满足条件.
由技术人员年人均投入不减少得, 解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
,
两边同除以得,
整理得,
故有,
因为, 当且仅当时等号成立, 所以,
又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以,
，即存在这样的m满足条件，其值为7.
19．定义域在R的单调函数满足恒等式，且.
(1)求，；
(2)判断函数的奇偶性，并证明；
(3)若对于任意都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)函数是奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）取代入函数满足的等式，整理可得，再令，根据，可算出；
（2）令，可得，即，可得函数为奇函数；
（3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围.
【详解】（1）令可得，令∴∴∴；
（2）令∴∴，即
∴函数是奇函数.
（3）是奇函数，且在时恒成立，
∴在时恒成立，
又∵是定义域在R的单调函数，且∴是R上的增函数，∴即在时恒成立，∴在时恒成立.令，
∵∴.由抛物线图象可得∴，则实数的取值范围为.
20．已知函数的定义域为R，对任意的，都有.当时，，且.
(1)求的值，并证明：当时，.
(2)判断的单调性.
(3)若，求不等式的解集.
【答案】(1)，证明见解析
(2)在R上单调递减
(3)
【分析】（1）令求得的值，当时，由判断的范围；
（2）根据单调性定义及的范围判断；
（3）将不等式转化为结合的单调性求解.
【详解】（1）令，则，
又，所以.
证明：当时，，所以，
又，
所以，所以.
（2）令，，
则
，
又，所以，所以，
所以，
又当时，，当时，，当时，，
所以，所以，
所以，即，
所以在R上单调递减.
（3）因为，
所以，
所以，
由（2）知在R上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为.