2023-2024学年辽宁省部分学校高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省部分学校高一上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以.
故选：B
2．命题：，的否定为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题：，为存在量词命题，
则为，.
故选：D
3．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可直接求的对应方程的根，即可.
【详解】由，解得，因为，
所以，则函数的零点所在区间为.
故选：C
4．已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】解得.
对于选项A，，反之不能推出，所以是命题p的一个充分不必要条件，故A错误；
对于选项B，，反之不能推出，所以是命题p的一个必要不充分条件，故B正确；
对于选项C，不能推出，反之也不能推出，所以是命题p的一个既不充分也不必要条件，故C错误；
对于选项D，是命题p的充要条件，故D错误.
故选：B
5．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分类讨论法计算可得.
【详解】不等式，等价于或，
解得或，
即不等式的解集为.
故选：A
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式判断函数的符号，利用排除法选出答案.
【详解】由可知，当时，，故排除A；当时，，排除BD.
故选：C
7．已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（ ）种．
A．4B．6C．7D．9
【答案】B
【分析】根据函数的定义，分类讨论，即可求解.
【详解】由集合，，f：为定义在集合上的一个函数，
根据函数的定义知：
若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况；
若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况，
所以函数的值域的不同情况有种.
故选：B.
8．若，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.
【详解】若，且满足，则有，所以，，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：D
二、多选题
9．已知，下列不等式中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D.
【详解】对于A：当、时，满足，但是，故A错误；
对于B：当、时，满足，但是，故B错误；
对于C：当时，，故C错误；
对于D：因为，所以，故D正确；
故选：ABC
10．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的最大值为3B．
C．有两个零点D．的解集为
【答案】BCD
【分析】画出函数的图象，求出的最大值可判断A；求出可判断B；求出的零点可判断C；求出的解集可判断D.
【详解】当时，单调递增，所以，令，可得，
由得，且；
当时，单调递减，所以，
令，可得，由，得；
所以无最大值，，有两个零点，的解集为.
故A错误，B正确，C正确，D正确.
故选：BCD.
11．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况：方程有且仅有一个不为和的解、方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为、方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由此可解得所有可能的值.
【详解】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
综上所述：或或.
故选：ABD.
12．若（其中为整数，），则把整数叫做离实数最近的整数，并用符号“”表示“离实数最近的整数为”设函数，下列结论正确的为（ ）
A．B．函数为偶函数且其值域为
C．D．是函数图象的一条对称轴
【答案】BCD
【分析】对于A、C选项根据定义计算即可；对于B.通过函数解析式看以看出代表的含义是在数轴上实数与离实数最近的整数的距离；对于D，证明，即可证明是函数对称轴.
【详解】对于A：由题可知，所以，；
又，所以，故A错误；
对于B：的定义域为，
若时，又，
则，所以，则，
若时，又，
则，此时，则，
若，即，则，又，
则，此时，则，
综上可得，所以为偶函数，
又代表的含义是在数轴上实数与离实数最近的整数的距离，
又，所以，所以，所以的值域为，故B 正确；
对于C：，得，
，得，，
即，故C正确；
对于D：当时，，
所以函数图象的对称轴方程为，
即是函数图象的一条对称轴，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．若，则实数a的值是 ．
【答案】0或4
【分析】依题意可得或，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，
所以或，
解得或或，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
所以或.
故答案为：或
14．若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出方程的解，即可判断.
【详解】由，解得或，
又“，”是假命题，所以.
故答案为：
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门900步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里300步）
【答案】
【分析】设里，里，根据几何关系列出关于的等量关系，结合基本不等式求解出结果.
【详解】设里，里，且步里，步里，
因为，所以，
所以，所以，
所以小城周长，当且仅当时取等号，
所以周长的最小值为里，
故答案为：.
四、双空题
16．设函数的定义域是，对于任意的实数x，y，都有恒成立，已知，且时，，则
（1） ；
（2）不等式的解集是 .
【答案】
【分析】（1）先令，求解，再令，求解；
（2）先证明函数在单调递增，转化，结合函数单调性即得解.
【详解】（1）由题意，令，则，解得，
令，则，解得；
（2）由题意，
函数的定义域是，故,即.
取，故，
又时，，，故，
即，故函数在单调递增；
故，
即
即.又，
故.
故答案为：（1）；（2）.
五、解答题
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合，
(1)当时，求；
(2)若 ，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）代入的值表示出，求解出一元二次不等式的解集表示出，根据并集运算求解出结果；
（2）若选①：根据条件得到，然后分类讨论是否为空集，由此列出不等式组求解出结果；
若选②：根据条件得到，然后列出不等式组求解出结果；
若选③：根据交集结果分析集合的端点值的关系，列出不等式并求解出结果.
【详解】（1）当时，，，
因此，．
（2）选①，因为，可得．
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，，
由可得，解得，此时．
综上所述，实数a的取值范围是或；
选②，因为，可得．
可得，此时不等式组无解，
所以实数a的取值范围是；
选③，当时，即当时，，，满足题意；
当时，即当时，，
因为，则或，解得或，
此时或，
综上所述，实数a的取值范围是或．
18．（1）设，比较与的大小关系并证明．
（2）已知，，，求的最小值．
【答案】（1），证明见解析 ； （2）．
【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解；
（2）根据题意，化简得到和，结合基本不等式，即可求解.
【详解】解：（1）.
证明如下：由，
因为，所以，，，
所以，所以．
（2）因为，，且，
所以，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
19．已知为二次函数，且，．
(1)求的解析式：
(2)若，试求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据求出，由得到，求出、，即可求出解析式；
（2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得.
【详解】（1）设，∵，∴．
又∵，
∴，解得，
∴．
（2）由（1）知，，则对称轴为，开口向上，
若，则在上是增函数，；
若，即，则在上是减函数，；
若，即，则．
综上可得．
20．（1）若不等式的解集为或，求，的值；
（2）求关于的一元二次不等式的解集．
【答案】（1） ；（2）答案见解析 ．
【分析】（1）依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得，首先判断，再分、两种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以和为方程的两根且，
所以，解得；
（2）由，得，即，
因为是关于的一元二次不等式，所以，
当时，解得或，故不等式的解集为；
当时，不等式即为，
①时，即，不等式无解，故不等式的解集为；
②时，，解得，故不等式的解集为；
③时，，解得，故不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间､人的反应时间､系统反应时间､制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）.
(1)请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？
【答案】(1)；2秒
(2)20千米/小时
【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间.
（2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围.
【详解】（1）由题意得，
所以；
当时，，
（秒）.
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒.
（2）根据题意要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
由，得.
所以，
即，
即，解得.
所以.
故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在20千米/小时.
22．已知函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)10
【分析】（1）将函数解析式写成分段函数形式，再根据二次函数的性质分析各段的单调性，即可得解；
（2）分和两种情况讨论，结合奇偶性的定义判断即可；
（3）依题意可得在恒成立，参变分离可得在恒成立，结合对勾函数的性质分和两种情况讨论求出，从而分别求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，
所以在上单调递增，
又为连续函数，所以的单调递增区间为.
（2）函数的定义域为，
当时，，对于，，
故为偶函数；
当时，，故不是奇函数；
又，，显然，即，故不是偶函数，
综上所述，当时，是偶函数，
当时，既不是偶函数又不是奇函数．
（3）当时，“在恒成立”，
等价于“在恒成立”，也就是在恒成立，
令，，设任意的且，
则，
因为且，所以，，所以，
则在上单调递增，
所以，即，
若，则，所以，
∴故，当，时取到3；
若，则，
∴所以，
于是，当，时取到10．
综上所述，的最大值为10．
阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间
秒
秒
距离
米
米