2023-2024学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰市元宝山区第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据函数的定义，定义域和对应法则都相同，则两个函数是同一函数，可判断各选项.
【详解】A：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
B：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
C：，，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；
D：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：C.
3．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
又因为函数在区间上都单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
4．设函数则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断自变量的范围，选择对应解析式求解.
【详解】因，故，又成立，故，
又因为，所以，
所以，
因为，所以．
故选：B.
5．若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到命题“，使得成立”是真命题，结合在恒成立，即可求解.
【详解】因为命题“，使得成立”是假命题，
可得命题“，使得成立”是真命题，即在恒成立，
因为，即，所以，即实数的取值范围.
故选：C.
6．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可得，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为函数的图象关于对称，则，
因为函数在上单调递增，且，
所以，，即.
故选：B.
7．已知,且满足,那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】解：∵,且满足,
那么
.
当且仅当时取等号.
∴最小值为.
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用“乘1法”是基本不等式求最值中的重要方法,基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”.
8．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0)B．[-4，-2]C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】CD
【分析】举例说明判断AB；作差判断C；利用不等式的性质推理判断D.
【详解】对于A，，当时，，A错误；
对于B，由于，而有，B错误；
对于C，由，得，即，C正确；
对于D，由，得，而，于是，D正确.
故选：CD
10．下列说法正确的是（ ）
A．，，若p是q的充分条件，则．
B．是命题，成立的一个充分不必要条件．
C．“”是“”的必要不充分条件．
D．“关于x的不等式对任意恒成立”的充要条件“”．
【答案】ABD
【分析】利用集合之间的关系结合充分必要条件即可判断选项A；利用二次函数图象结合充分必要条件即可判断选项B；取特殊值验证即可判断选项C；根据题意对进行分类讨论，即可求出的范围，结合充分必要条件，即可判断选项D.
【详解】对于选项A，，，因为 p是q的充分条件，
所以，解得，故A正确；
对于选项B，若命题，成立，则，
解得或，所以是命题，成立的一个充分不必要条件，故B正确；
对于选项C，因为，取，则不成立，
反之若，取则不成立，
所以”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于选项D，若关于x的不等式对任意恒成立，
则①当时，对于恒成立，
②当时，满足，解得，
综上①②得，
反之当，关于x的不等式对任意恒成立，故D正确.
故选：ABD.
11．若p：，则p成立一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】先解分式不等式求出，再利用充分条件和必要条件的定义判定即可.
【详解】解：p：，，
且，
或，
，，
则成立的一个充分不必要条件是和，，
故选：CD.
12．已知，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据均值不等式判断A，利用“1”的变形技巧及均值不等式判断BD，由重要不等式及不等式性质判断C.
【详解】当，时，，即，所以，即，
当且仅当，即时取等号，故A错误；
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
由A可知，，当且仅当，即时取等号，故C正确；
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域求法和分式、根式有意义的要求可构造方程组求得结果.
【详解】由题意知：，解得：，的定义域为.
故答案为：.
14．已知“，使得”是假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意知“，使得”是真命题，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为“，使得”是假命题，
所以“，使得”是真命题，
即，解得：.
故答案为：.
15．已知，，若集合，，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据集合的包含关系推出，由此判断元素的取值情况，求得，即可求得答案.
【详解】因为且，故，
而集合，，
则，，则，则，
故，
故答案为：
16．已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．
【详解】已知集合，或.
若，则，
当，即时，满足条件；
当时，即当时，若，则或，
解得（舍）或，
综上，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由交集的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得.
当时，，
则.
（2）因为，所以，
显然，则
解得，即a的取值范围是.
18．求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数满足，且；
（2）已知函数满足：；
（3）已知函数满足：.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）设，代入化简可得函数的解析式；
（3）由已知可得出关于、的方程组，即可解得函数的解析式.
【详解】（1）设，
，因为，
所以，，解得，因此，；
（2）令，则，，
代入有，
因此，；
（3）由可得，解得.
19．已知幂函数f（x）的图象过点（2，4）．
(1)求函数f（x）的解析式；
(2)设函数g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，若g（x）＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意利用待定系数法求得幂函数的解析式．
（2）由题意利用二次函数的性质，求得的最小值，再根据此最小值大于零，求得a的范围．
【详解】（1）幂函数的图象过点，即，，故.
（2）函数，对称轴为，开口向上，
在上为减函数，时，，
解得，故a的取值范围为．
20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
(1)求f（x）的解析式；
(2)当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
【答案】(1)
(2)，的最小值为
【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；
（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．
【详解】（1）若，则，则，
为偶函数，则，
故.
（2）当时，，开口向上，对称轴，
当时，，函数最小值为；
当时，，函数最小值大于.
故，.
21．“绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
(2)该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？
【答案】(1)500
(2)不能获利，该市政府需要补贴元
【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；
（2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意，，
所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低.
（2）设该企业每月的利润为，
则，
因为，
所以当时，函数取得最大值，即，
所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损.
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）先判断函数在上的单调性，并证明；
（3）求使成立的实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见详解；（3）.
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由可得的值，将、的值代入函数的解析式即可得答案；
（2）设，用作差法分析可得，由函数单调性的定义即可得证明；
（3）由奇函数的性质可以将变形为，结合函数的定义域与单调性可得的取值范围．
【详解】（1）根据题意，是奇函数，
则有，
则有，
解可得；
．
，
，
解可得.
；
（2）在上为增函数；
证明如下：设，
则，
，
则有，，，，
则有，
即．
在上为增函数；
（3），
，
又是定义在上的奇函数，
，
则有，
解可得：；
故不等式的解集为．
【点睛】关键点睛：利用函数单调性定义证明时，需要严格按照步骤格式，注意取值的任意性，作差后注意变形，变形的目的利用条件及不等式性质判断差的正负.