2023-2024学年山东省聊城市高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省聊城市高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合是10的正约数}，是小于10的素数}，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正约数的概念化简集合A，根据素数的概念化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】根据正约数的概念知，，根据素数的概念知，，
所以.
故选：B.
2．设命题p：，，则下列表示的正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，
命题p：，的否定为：：，.
故选：D
3．下列四个条件中，是“”成立的充分不必要的条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时一定有，但反之不一定，是充分必要条件，A正确；
时满足但不满足，不是充分条件，B错；
时满足，但不满足，不充分，C错；
根据不等式的性质与是等价的，即为充要条件，D错，
故选：A．
4．设函数，，则的值为（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的定义即可求解.
【详解】由题意，，
则.
故选：B.
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如，．若不等式成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合取整函数的定义，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，则，根据取整函数定义可知．
故选：D.
6．设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可.
【详解】，当时，，
当且仅当即时，等号成立；
当时，，要使是的最小值，
只需在上递减，且，
即，解得.
故选：B
7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，，所以
，故；同理，
，故.因为，故.故最低费用为.故选B.
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定函数的周期，再结合偶函数的性质及已知函数计算即得.
【详解】由，得，则是以4为周期的周期函数，
又函数是定义在R上的偶函数，当时，，
所以．
故选：C
二、多选题
9．已知集合，.则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】解一元二次方程求解集合A，然后求解集合B，逐项判断即可.
【详解】因为，所以，
则，，均正确，错误.
故选：ABD
10．已知函数是奇函数，则实数t的可能取值为（ ）
A．1B．4C．9D．16
【答案】AB
【分析】利用，求得，根据函数的定义域得到，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得，且，且，
因为函数为奇函数，可得，即，
整理得，则，
要使得函数的定义域关于原点对称，只需．
结合选项，A、B符合题意.
故选：AB.
11．设，若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式的应用依次计算，即可判断选项.
【详解】A：，，当且仅当时等号成立，
又，所以，故A错误；
B：，当且仅当即时等号成立，
又，所以，故B正确；
C：，当且仅当时等号成立，
又，所以，故C正确；
D：，
又，所以，故D错误.
故选：BC.
12．对于分式不等式有多种解法，其中一种方法如下，将不等式等价转化为，然后将对应方程的所有根标注在数轴上，形成，，，，五个区间，其中最右边的区间使得的值为正值，并且可得x在从右向左的各个区间内取值时的值为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集．利用此法求解下列问题：定义区间、、、的长度均为，若满足的x构成的区间的长度和为2，则实数t的取值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】ACD
【分析】根据题意转化分式不等式为整式不等式，然后根据各选项中值写出不等式的解集，计算区间长度和即可得．
【详解】等价于且，且．
当时满足条件的x构成的区间为，长度为2，符合题意，A正确；
当时满足条件的x构成的区间为，长度为1，不符合题意，B不正确；
当时满足条件的x构成的区间为，长度为2，符合题意，C正确；
当时满足条件的x构成的区间为，长度为2，符合题意，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．若关于x的不等式的解集是，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，转化为，且和是的两根，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由的解集是，
可得，且和是的两根，
则且，即且，
解得，所以．
故答案为：.
14．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】讨论，，结合一次函数和二次函数的单调性得出实数a的取值范围.
【详解】当时，在上单调递增，
当时，要使得函数在上单调递增，
必须，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：
15．对于任意实数a，b，定义设函数，，则函数的最小值为 ．
【答案】1
【分析】首先求解函数的解析式，再求解函数的最小值.
【详解】令，，即，，得，
当，，当，，
所以
当时，单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，．
故答案为：
16．为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文x，密文t密文t明文y．现在加密密钥为幂函数，解密密钥为反比例函数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送密文“2”，接受方通过解密密钥得到明文“6”．若接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为 ．
【答案】9
【分析】设加密密钥为幂函数，代点求出解析数，解密密钥为反比例函数，代点求出解析式，再代入明文“4”得出答案.
【详解】设加密密钥为幂函数，，则，则，
解密密钥为反比例函数，，，则，所以通过逆运算可得，
当接受方得到明文“4”时，则发送方发送明文为“9”．
故答案为：9
四、解答题
17．已知全集，集合，集合．
(1)若，求；
(2)若集合A，B满足条件______（从下列三个条件中任选一个作答），求实数m的取值集合．
条件①是的充分条件；②；③，，使得，
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）解出集合，结合集合的运算，求出并集即可;
（2）找到集合间的基本关系，建立不等式组，即可求出参数m的取值集合．
【详解】（1）集合，
当时，集合，
所以；
（2）集合，集合．
当选择条件①时，满足是的充分条件，即，
则集合，即，，
要使，只需，解得，
所以，即实数m的取值集合是．
当选择条件②时，，则集合，即，，
由集合，得，或，
要使，只需，解得，
所以，即实数m的取值集合是．
当选择条件③时，，，使得，
则集合,且，即，,
要使，只需解得，
所以，即实数m的取值集合是．
18．已知实数a，b满足，，且.
(1)求的最小值；
(2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：把变为，使用基本不等式求解即可；
解法二：把变形得，利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可；
（2）把不等式恒成立转化为不等式恒成立，利用基本不等式求解最值，从而，解一元二次不等式即可.
【详解】（1）解法一：因为，，且，则，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
解法二：由，，且，得，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
（2）由可得，
由（1）可得，
所以要使不等式恒成立，只需，
即，解得，
所以实数x的取值范围为.
19．已知函数．
(1)若时，求函数的定义域；
(2)若对时，函数均有意义，求实数a的取值范围；
(3)若函数在区间上为减函数，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由二次根式有意义的条件、定义域的概念即可得解.
（2）由题意只需，即可，从而转换为恒成立问题即可得解.
（3）首先由题意或或，其次直接由减函数的定义分析得到，由此即可得解.
【详解】（1）若，要使函数有意义，由，解得，
即函数的定义域为.
（2）由题意，，函数均有意义，即，，，
故只需，，即只需且即可.
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）当时，为常函数，不符合题意，再由（2）可知或或；
设，，且．
，
由，可得，
要使函数在区间上为减函数，只需，则，
解得，或，
综上所述，实数a的取值范围为.
20．随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问题，许多国家都积极响应节约水资源的号召.为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法.近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为（，k为常数）.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）.
(1)试解释的实际意义，根据题意求出y关于x的函数关系式；
(2)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(3)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？
【答案】(1)表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目条件求出k，即可求出解析式；
（2）由题意解不等式即可；
（3）对函数变形，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，则，解得，
所以，即；
（2）要满足题意，则，即，
化简得，解得，
即设备占地面积x的取值范围为.
（3），
当且仅当，即时等号成立，
所以设备占地面积为时，y的值最小.
21．学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换．
(1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件；
(2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值．
【答案】(1)当且仅当且x，y同号时等号成立，此时x，y满足；
(2)当时，T有最小值．
【分析】（1）根据题意，得到，根据，再集合不等式，即可求解；
（2）令且，由（1）得到，求得，，得到，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以， 当且仅当且x，y同号时等号成立，
此时x，y满足.
（2）解：令且，由，即，
则，，解得，，
因为，所以，，则，
所以，
当且仅当，即等号成立，此时，
所以当时，有最小值．
22．已知函数，．
(1)若命题：，为假命题，求实数a的取值范围；
(2)求函数的最小值；
(3)若，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)3
(3)．
【分析】（1）由否定的定义结合一元二次不等式的恒成立问题求解即可；
（2）去掉绝对值，分类讨论得出最值；
（3）由一元二次不等式的恒成立问题得出，，利用基本不等式求出的最小值，从而得出实数a的取值范围．
【详解】（1）解：由命题：，为假命题可得，，
即，，解得；
即实数a的取值范围是；
（2）
当时，；
当时，；
当时，．
则，当且仅当时成立，
（3），，即，
则，即，
则，，
而，当且仅当时等号成立；
又由（2）知当时，有最小值3，
即当时，的最小值为7．
所以．
故实数a的取值范围是．