2023-2024学年山东省济宁市泗水县高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省济宁市泗水县高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则实数的值等于（ ）
A．B．3
C．D．3或
【答案】A
【分析】分类讨论结合集合中元素的性质求解即可.
【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性；
当时，即或（舍），此时
故选：A
2．设全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】由已知可得，，
因此，.
故选：B.
3．若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可.
【详解】由题知：，且，所以，，故排除D.
因为，故排除A.
因为，故排除C.
故选：B
4．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．3D．0
【答案】C
【分析】根据函数解析式直接求解即可
【详解】由题意得
故选：C.
5．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数性质运算求解即可
【详解】因为函数开口向上，对称轴为，
若函数在区间上是增函数，
则，所以，故实数的取值范围是；
故选：A．
6．若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（ ）
A．和B．
C．D．和
【答案】A
【分析】不等式的解集为，可得方程的两个根为，利用根与系数的关系可得，即可得出结果.
【详解】若不等式的解集为，
则方程的两个根为且，
，解得，
则函数，
令，解得或，
故函数的图象与轴的交点为和.
故选：A.
7．若关于x的不等式在上有解则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意只需求函数在上的最大值即可得答案.
【详解】解：依题意，，令，
故问题转化为求函数在上的最大值；
因为二次函数的对称轴为，且，
故，故，
故选：A.
8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调减函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图像关于直线对称，∴，
又函数在上为单调减函数，∴，
即，∴，
故选：C.
二、多选题
9．下列说法中正确的为（ ）
A．若：，，则：，
B．若：，，则：，
C．若：，，则：，
D．若：，，则：，
【答案】BD
【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题，存在量词命题的否定为全称命题即得.
【详解】对于A，B选项，若：，，则：，，所以B正确；
对于C，D选项，若：，，则：，，故D正确.
故选：BD.
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】AB
【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断
【详解】对于，因为，，所以，故正确；
对于，因为，所以，
又，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，
又，所以，故C错误；
对于D，当时，满足，
但，此时，故D错误，
故选：AB
11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝，则F(x)（ ）
A．最小值－1B．最大值为7－C．无最小值D．无最大值
【答案】BC
【分析】首先根据解析式得到它们的函数图象，结合F(x)的定义画出其函数图象，进而判断各选项的正误.
【详解】由的解析式可得函数图象如下：
∴作出F(x)的图象，如下图示，
由图知：F(x)有最大值而无最小值，且最大值为7－
故选：BC.
12．已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是（ ）
A．(－∞，－6]B．(－6，6)C．(－3，5]D．[6，＋∞)
【答案】AD
【分析】先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】任取，
，
由于，结合可知，
即，所以在上递增.
所以.
由可得，
即对任意恒成立.
构造函数，则，
即，解得或.
故选：AD
【点睛】求解多变量的不等式恒成立问题，可考虑减少变量来进行求解.
三、填空题
13．已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义以及单调性，建立方程与不等式，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
14．函数的定义域为，则的定义域为 .
【答案】
【分析】利用抽象函数的定义域可得出关于的不等式组，即可求得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
对于函数，则有，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：
15．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以其否定“任意，”是真命题，
即在上恒成立，
当时，不等式化为恒成立，
当时，若在R上恒成立，
则，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：
16．已知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得在上单调递减，列不等式组求解即可.
【详解】因为对任意，且，都有成立，
所以在上单调递减.
所以，解得.
故答案为:.
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得；
（2）由条件可得是Q的真子集，再分集合是否为空集讨论求出结果即可
【详解】（1）当时，集合，可得或，
因为，所以
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集，
当时，即时，此时，满足是的真子集，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数的取值范围为.
18．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若时，不等式无解，求t的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据给定条件利用换元法计算作答.
(2)利用(1)的结论借助均值不等式求出的最小值即可作答.
【详解】（1）函数，设，则，
则，则，
所以函数的解析式.
（2）由(1)知，，当时，，当且仅当时取“=”，
因此，当时，，
若时，不等式无解，即恒成立，则有，
所以t的取值范围为.
五、证明题
19．已知函数，满足条件.
(1)求的解析式；
(2)用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据，代入得到方程组，解得即可；
（2）利用定义法证明，再根据单调性求出函数的最值.
【详解】（1）因为，且，
所以解得
所以；
（2）由，
设任意的且，
则
因为且，所以，
所以，则在上单调递增，
所以.
六、应用题
20．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
(2)设备占地面积为多少时，的值最小？
【答案】(1)
(2)设备占地面积为时，的值最小.
【分析】（1）由题意解不等式，即可求得；
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得.
要满足题意,则，
即，解得：.
即设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当时等号成立.
所以设备占地面积为时，的值最小.
七、解答题
21．已知幂函数，且在定义域内单调递增.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且.
【分析】（1）结合幂函数的定义、单调性求得的值.
（2）求得的解析式，对进行分类讨论，结合的最小值为来求得的取值范围.
【详解】（1）函数是幂函数，
，
解得或.
由于在定义域内递增，所以不符合，
当时，，符合题意.
（2），，
图象开口向上，对称轴为，
当，即时，在上递增，.
当，即时，，不符合题意.
当，即时，在上递减，，不符合题意.
综上所述，存在使得的最小值为.
八、证明题
22．已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；
(2)函数为R上的减函数，证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据题意赋值以及奇函数、偶函数的定义即可证出；
（2）根据单调性的定义即可判断并证明；
（3）先利用赋值法可求出，从而原不等式可化为，再根据函数的单调性可得，然后通过分离参数求最值即可解出．
【详解】（1）因为函数的定义域为R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函数为奇函数．
（2）不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．
（3）由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．