2023-2024学年山东省淄博第一中学高一上学期期中教学质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省淄博第一中学高一上学期期中教学质量检测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化简集合A并求出其补集，然后求得解.
【详解】因，则，于是得，
而，所以.
故选：D
3．下列函数是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来.
【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；是偶函数，当时，在上是增函数；在上是减函数.只有选项C满足条件.
故选：C.
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性，与特殊值比较大小，即可判断选项.
【详解】，，，
所以最小，又，，即，
所以，即.
故选：C
6．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】利用函数的定义域，单调性以及特值，结合选项得到答案．
【详解】函数定义域为
，则为奇函数，排除选项C，D
又
故选：A
7．已知实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将所求代数式变形，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，则，
则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：A.
8．已知函数，则
A．4B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】可令，通过比较关系，可知为奇函数，然后计算，可得结果.
【详解】令，可知函数定义为
则
即
所以可知函数为奇函数，
则
由
所以
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，难点在于对式子的分析，掌握是奇函数，属基础题.
二、多选题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．
B．“”是“”成立的充分条件
C．若幂函数经过点，则
D．若函数的定义域是，则的定义域是
【答案】ABD
【分析】根据对数的运算公式判断A正确；根据不等式的性质判断B正确；根据指数运算判断C错误；根据抽象函数定义域的求法判断D正确.
【详解】A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：代入得，所以，故C错误；
D：函数的定义域是，即，所以，所以，所以的定义域是，故D正确.
故选：ABD
10．设，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的可加性和取倒的性质可判断AB，作差可判断C，用的单调性可判断D.
【详解】由，不等式的可加性可知A正确；
由，可得，所以，故B不正确；
由，由于的正负不能确定，所以与的大小不能确定，故C不正确；
因为在上单调递增，所以当时，，所以D正确.
故选：AD.
11．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A．且B．
C．D．不等式的解集是
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.
【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，
又因为，所以；
A．，故正确；
B．因为，所以，故正确；
C．因为解集为，所以，故错误；
D．因为即为，即，解得，故正确；
故选：ABD.
12．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A．B．是增函数
C．在，上有最大值D．的解集为
【答案】AD
【分析】用赋值法，令，可判断A正确；根据函数奇偶性与单调性的定义，判断函数奇偶性和单调性，可判断B，C错误；结合单调性解不等式，可得出D正确.
【详解】令，则，故.选项A正确；
令，则，则，即，故函数为奇函数，选项B正确；
设，则，由题意可得，，即，
即，故函数为上的减函数，在上的最大值为，选项B ，C错误；
等价于，又为上的减函数，故，解得，选项D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：
本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题方法是赋值法．赋值时注意函数性质的定义，如奇偶性中需要出现的关系，因此有令这个操作．
三、填空题
13．函数恒过定点 ．
【答案】(1,2)
【详解】当时，.
所以函数恒过定点(1,2).
14．已知函数若，则实数 .
【答案】或16
【分析】分两种情况分别求出的表达式，得到关于的方程，解方程即可.
【详解】当时，由题意知，，解得符合题意；
当时，由题意知，，
解得（舍），符合题意；
综上可知，实数a的值为16或.
故答案为: 16或.
15．函数的值域为 .
【答案】
【分析】由函数定义域求出的取值范围，再由的单调性即可得解.
【详解】函数的定义域为R，而，当且仅当x=0时取“=”，又在R上单调递减，
于是有，
所以函数的值域为.
故答案为：
16．已知函数.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】设的值域为A,设的值域为B,求出集合B，由题意分析出，由得到只需，列不等式组求出的范围.
【详解】设的值域为A,
设的值域为B,
因为所以在单调递减，所以.
因为对任意，总存在，使得，
所以.
因为，时，，所以在恒成立，
所以只需，只需，解得：，
故实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
①若，，有成立，则有；
②若，，有成立，则有；
③若，，有成立，故；
（2）不等关系
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
四、解答题
17．化简求值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数的运算法则计算即可；
（2）根据对数的运算法则及换底公式计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式=，
.
18．已知集合，，．
(1)求集合
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可得集合与，即可得；
（2）求得，再根据，列不等式，解不等式.
【详解】（1）又已知，或，
所以；
（2）由已知或，
又，
在，解得，
即实数的取值范围是.
19．某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，.测得部分数据如表所示.
（1）求关于的函数关系式；
（2）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.
【答案】（1）；（2）4.
【分析】（1）当时，设出二次函数解析式，代入点坐标列方程组，解方程组求得函数解析式.当时，将代入，由此求得的值.从而求得关于的函数关系式.
（2）利用二次函数的性质求得当时的最大值，根据指数函数的单调性求得当时函数的最大值，由此确定出当时，产品的性能达到最佳.
【详解】（1）当时，是的二次函数，可设.依题意有，解得：，，，即.
当时，，由，可得，即.
综上可得
（2）当时，，即当时，取得最大值12；
当时，单调递减，可得，即当时，取得最大值3.
综上可得，该新合金材料的含量为4时产品的性能达到最佳.
【点睛】本小题主要考查待定系数法求分段函数解析式，考查二次函数、指数函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
20．已知函数为奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）解不等式>0.
【答案】（1）1；（2）在R上是增函数，证明见解析；（3）(1,+).
【解析】（1）利用特殊值，求，并代入函数验证；（2）根据含特征判断函数的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）首先求，再解不等式的解集.
【详解】解：（1）∵的解集是R，
∴的定义域是R.
又∵是奇函数，∴=0.∴a-1=0，即a=1.
经检验知，当a=1时，，符合题意.
（2）由（1）知
经判断可知在R上是增函数.
任取R，且<，则-
=，
∴y=为增函数，<，∴0.
∴>0，>0<0.
∴-0，即<.
∴在R上是增函数.
⑶由，可得
∴
解得>1，
∴原不等式的解集为(1，+).
【点睛】易错点睛：1.本题第一问，利用函数的奇偶性求参数时，一般都需根据奇偶函数的定义，求参数，但如果是根据特殊值求参数时，还需有一步代入验证的过程;2.本题第三问，解不等式时，容易忽略函数的定义域，这点也需注意.
21．已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）；（2）
【分析】（1）把代入解析式并化简，从而可得，从而求出定义域．
（2）由得，从而可得，
令从而化为最值问题．
【详解】（1）当时，，则，故或，
所以函数的定义域为或．
（2），，
由得，即，令，
则，当时，恒成立，
故实数的取值范围为
【点睛】本题考查了函数的定义域的求法以及恒成立问题，注意“分离参数法”求参数的取值范围．
22．定义在上的函数满足，且当时，．
（1）求当时，的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用时的解析式以及与的关系：当时，通过的范围求解，从而得到；
（2）由的单调性和奇偶性列出和的不等式，然后根据一次函数在指定区间上恒小于零列出对应不等式，求解出的范围.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，所以，
所以当时，；
（2）当时，，
因为在上单调递减，在上单调递减，
又因为时，与函数值相同，所以在上单调递减，
因为对任意成立，所以是偶函数，所以在上单调递增，
因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，
所以即对任意的恒成立，
令，所以在时恒有，
所以，解得：，即.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，难度一般.
（1）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；
（2）已知函数是偶函数，在已知函数单调性的情况下可将关于函数值的不等式转化为含绝对值的关于自变量的不等式.
0
2
6
10
…
－4
8
8
…