2023-2024学年山东省泰安市新泰市第一中学（弘文部）高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省泰安市新泰市第一中学（弘文部）高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如果，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，依次判断选项，举出反例可得中不能恒成立，由，结合即可证明成立.
【详解】根据题意，依次判断选项：
对于A，当时，不成立，
对于B，当时，不成立，
对于C，当时，不成立，
对于D，若，而，必有恒成立，
故选：D.
2．设命题，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】全称命题的否定为特称命题.
【详解】命题的否定为，.
故选：C
3．下列表示方法中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据集合与集合的关系进行判断．
【详解】因为集合与集合之间是包含关系，
所以故不正确，正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查集合与集合的关系，属于基础题．
4．设x∈R，则“2x>4”是“lg(|x|﹣1)>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】“2x>4”⇒“lg(|x|﹣1)>0”，“lg(|x|﹣1)>0”⇒“x>2或x4或”，由此能求出结果.
【详解】解：设x∈R，则“2x>4”⇒“lg(|x|﹣1)>0”，
“lg(|x|﹣1)>0”⇒“x>2或x4或”，
∴“2x>4”是“lg(|x|﹣1)>0”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
5．某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年增产，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件（已知，）（ ）
A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年
【答案】D
【分析】根据2016年开始每年比上一年增产，由求解即可.
【详解】2015年为初始值，再过1年，即2016年，产品的年产量为，
再过n年（），这家工厂生产这种产品的年产量为，
由得，，
两边取对数得，，
即，
而，故，即2022年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于读懂函数模型，熟练掌握对数的运算，才能根据实际情况突破难点.
6．若函数，则的值为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】D
【分析】利用分段函数求出，然后求解的值．
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题。
7．下列不等式：①；②；③，其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】对于①，因为，
当且仅当时，取等号，
所以，故①错误；
对于②，当时，，
当且仅当，即时，取等号，故②错误；
对于③，因为，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以，故③正确.
故选：B.
8．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令幂函数且过 (2,)，即有，进而可求的值
【详解】令，由图象过(2,)
∴，可得
故
∴
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题
二、多选题
9．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据基本初等函数的值域判断即可.
【详解】解：的值域为，，，的值域为；
故选：BCD.
10．下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】AB
【分析】当两个函数的定义域相同，且对应关系相同时，这两个函数是同一函数．
【详解】对于，与的定义域都是，
，对应法则不同，故不是同一个函数；
对于B，与的定义域都是R，
∵，对应法则不同，故不是同一函数；
对于C，与的定义域都是，
，故是同一函数；
对于D，与定义域都是R，对应法则也相同，故是同一函数.
故选：AB
11．当时，下列函数的最小值为4的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】根据对勾函数的单调性分析A；利用基本不等式分析BC；利用函数的单调性直接分析D.
【详解】A．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增，所以函数最小值为：，故不符合；
B．，
取等号时，即，所以函数的最小值为，故符合；
C．，
取等号时，即，所以函数的最小值为，故符合；
D．在为单调递增函数，所以函数的最小值为，故符合；
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、单选题
12．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项
【详解】
化简得，
的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出的图象，再进行平移画出的图象，
明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，
所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，图象关于直线对称，所以，D正确；A、B、C错误.
故选：D
四、填空题
13．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，维恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有 个.
【答案】2
【分析】先求出集合,再求出M∩N＝{1，3}，即得解.
【详解】由题得M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，
则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，
即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查维恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．已知非空集合，集合，若，则实数的取值范围为
【答案】或
【分析】化简集合，对集合是否为空集分类讨论，若满足题意，若，根据条件确定集合的端点位置，即可求解.
【详解】由得，
若，满足题意；
若，可得或，
解得或；
综上：或．
故答案为：或
【点睛】本题考查集合间的运算，不要遗漏空集情况，属于中档题．
15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的1%. 已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为(k，均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是 小时.
【答案】5
【分析】根据给定条件求出k值，再由排放的污染物含量不超过的1%列出不等式求解即得.
【详解】依题意，过滤5小时，污染物数量，于是得，解得，
排放污染物时，，即，解得，，
所以排放前至少还需要过滤的时间是5小时.
故答案为：5
16．若函数，，对于，，使，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可知函数在区间的值域是函数在区间的值域的子集，转化为子集问题求的取值范围.
【详解】在定义域上是单调递增函数，
所以函数在区间的值域是
函数在区间是单调递增函数，
所以函数的值域是，
由题意可知，
所以 ，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查双变量等式中任意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型.
五、解答题
17．，，求.
【答案】
【分析】根据指数的运算以及对数的运算可求出m，n，从而求解问题．
【详解】∵
，
∴．
18．（1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据1的变形及均值不等式求解即可；（2）根据不等式的性质运算求解.
【详解】（1）∵，即
，
当且仅当，即时等号成立，
∴，故的最小值为.
（2）∵，则，
∴，
又∵，则，
∴，故的取值范围为.
19．设集合 ，，
（1）若，求实数的值；
（2）若为空集，求实数的取值范围．
【答案】（1）m=1或2；（2）或
【分析】（1）化简集合和集合，然后根据，得到答案；（2）为空集，先考虑不为空集，得到的不等式，得到的范围，再取其补集，得到为空集时，的取值范围，得到答案.
【详解】（1）集合，
集合
因为，
所以当集合只有一个元素时，即，，
当集合有两个元素时，，，
所以的值为或；
（2）集合，集合，
当不为空集时，得到 或
解得或，
所以得到的范围为，
因此若为空集，则或.
【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，根据集合交集运算的结果求参数范围，属于简单题.
20．已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并利用定义证明．
【答案】(1)；(2)为减函数；证明见解析．
【解析】(1)根据奇函数的定义，即可求出；
(2)利用定义证明单调性．
【详解】解：(1)，
由得，
解得．
另解：由，令得代入得：
验证，当时，，满足题意
(2)为减函数．
证明：由(1)知，
在上任取两不相等的实数，，且，
，
由为上的增函数，，，，，
则，．
函数为减函数．
【点睛】定义法证明函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)下结论．
21．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）有两个不等实根时，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值；
(2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集；
(3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围
【详解】解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)
又因为A点在上，则：
（2）由题意知：
而在定义域上单调递增，知
，即
∴不等式的解集为
（3）由知：，方程有两个不等实根
若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示
由图像可知：，故b的取值范围为
【点睛】本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数图象求参数范围
22．随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知该厂每月的污水处理量最少为150万吨，最多为300万吨，月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一万吨污水产生的收益为万元.
(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
(2)该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润.
【答案】(1)该厂每月污水处理量为200万吨时，才能使每万吨的处理成本最低
(2)该污水处理厂每月能获利，且当月处理量为250万吨时，利润最大，为万元
【分析】（1）利用基本不等式求最值；
（2）利用二次函数的性质求得最大值.
【详解】（1）由题意可知，每万吨污水的处理成本为：
，
当且仅当时等号成立，
故该厂每月污水处理量为200万吨时，才能使每万吨的处理成本最低.
（2）设该厂每月获利为万元，则
，
，
当时，有最大值，
故该污水处理厂每月能获利，且当月处理量为250万吨时，利润最大，为万元.