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2023-2024学年山西省大同市平城区大同三中高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年山西省大同市平城区大同三中高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4}D．{x|1【答案】C
【分析】根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3．已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（ ）
A．－1B．0C．3D．4
【答案】A
【分析】根据函数图象和表格直接求解即可.
【详解】由图可知，所以，
又由表可知，
所以．
故选：A
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式的性质可判断D．
【详解】A.当时，，但，故A错；
B. 当时，，故B错；
C. 当时，，但，故C错；
D. 若，则，D正确．
故选：D．
5．函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解，根据充分、必要性的定义判断条件间的关系.
【详解】由，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件B．60件C．80件D．100件
【答案】B
【分析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
二、多选题
9．下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BCD
【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.
【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；
B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；
D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
故选：BCD.
10．下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】AC选项，不满足偶函数；BD满足偶函数，且根据解析式得到函数在. 单调递增.
【详解】A选项，，故不是偶函数，A错误；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，且在单调递增，满足要求，B正确；
C选项，定义域为R，且，故为奇函数，不合要求，C错误；
D选项，定义域为R，且，故为偶函数，且当时，单调递增，满足要求，D正确.
故选：BD
11．下列函数的最小值为4的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断A，B，C选项，取特殊值验证选项D即可.
【详解】对于A，，
当且仅当时等号成立，
，故A正确；
对于B，，
当且仅当即时等号成立，
故B正确；
对于C，，
因为无解，故等号不成立，故不是4，
故C错误.
对于D，，取，则，
故D不正确.
故选：AB.
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数的零点为或
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的值域为
D．设，若关于的不等式在上有解，则
【答案】BCD
【分析】令，结合函数零点的定义，可判定A错误；根据不等式的解集与方程的根的关系，列出方程组，可判定B正确；令，转化为，结合二次函数的性质，可判定C正确；转化为在上有解，结合对勾函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由函数，令，即，
解得或，所以和为函数的两个零点，所以A错误；
对于B中，由不等式的解集为或，
可得和时方程的两个根，
则且，解得，所以，所以B正确；
对于C中，令，则且，
则函数，即为，
根据二次函数的性质得，当时，函数取得最大值，最大值为，
可得的值域为，即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，由不等式在上有解，即在上有解，
设，可得函数在上为单调递增函数，
所以，所以，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】.
【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
15．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的性质，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】由函数是偶函数且在上单调递增，可得函数在为单调递减函数，
又由，可得，
所以，即为，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可；
（2）根据得出，然后即可得出的取值范围．
【详解】（1）当时，，
∴；
（2）因为，所以，
所以，
所以的取值范围为：．
18．设命题实数x满足，其中，命题实数x满足.
(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若P是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别假设为真命题，解二次不等式解得，再取两者交集即可；
（2）先解命题中的二次不等式，再由必要不充分条件得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.
【详解】（1）当时，
若命题p为真命题，则由解得，
若命题q为真命题，则由解得，
因为与均是真命题，所以，即；
（2）由得，
又，则有，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
则有，其中等号不能同时取得，解得，
故实数的取值范围是.
19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求出当时，的解析式；
(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间；
(3)结合函数图象，求当时，函数的值域．
【答案】(1)；
(2)图象见解析，单调增区间为；
(3).
【分析】（1）由奇函数的定义求出解析式作答.
（2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答.
（3）利用（1）（2）的信息，借助单调性求出最值作答.
【详解】（1）依题意，设，有，则，
因为为上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调增区间为：.
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，，
当时，有最大值，
所以当时，函数的值域为.
20．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围
（2）已知正实数，满足：，求的最小值
【答案】（1），；（2）9
【分析】（1）应用不等式的性质计算组合的范围即可;
（2）已知等式,应用常值代换法求出和的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以的取值范围是．
因为，所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
21．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得.
（2）由分离常数，进而求得的取值范围.
【详解】（1）由为二次函数，可设
∵图象的对称轴为，最小值为-1，且，
∴，∴，
∴．
（2）∵，即在上恒成立，
又∵当时，有最小值0，
∴，
∴实数m的取值范围为．
22．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(3)求使成立的实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)在，上是增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.
（2）根据定义法证明函数的单调性即可.
（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；
又，即，解得；
经检验，时，是定义在上的奇函数．
（2）设，，且，
则；
因为，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
（3）由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，
由，得，
所以，即，解得．
所以实数的取值范围是.
1
2
3
4
3
－1
一、单选题
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2
【分析】根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3．已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（ ）
A．－1B．0C．3D．4
【答案】A
【分析】根据函数图象和表格直接求解即可.
【详解】由图可知，所以，
又由表可知，
所以．
故选：A
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式的性质可判断D．
【详解】A.当时，，但，故A错；
B. 当时，，故B错；
C. 当时，，但，故C错；
D. 若，则，D正确．
故选：D．
5．函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解，根据充分、必要性的定义判断条件间的关系.
【详解】由，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件B．60件C．80件D．100件
【答案】B
【分析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
二、多选题
9．下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BCD
【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.
【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；
B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；
D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
故选：BCD.
10．下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】AC选项，不满足偶函数；BD满足偶函数，且根据解析式得到函数在. 单调递增.
【详解】A选项，，故不是偶函数，A错误；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，且在单调递增，满足要求，B正确；
C选项，定义域为R，且，故为奇函数，不合要求，C错误；
D选项，定义域为R，且，故为偶函数，且当时，单调递增，满足要求，D正确.
故选：BD
11．下列函数的最小值为4的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断A，B，C选项，取特殊值验证选项D即可.
【详解】对于A，，
当且仅当时等号成立，
，故A正确；
对于B，，
当且仅当即时等号成立，
故B正确；
对于C，，
因为无解，故等号不成立，故不是4，
故C错误.
对于D，，取，则，
故D不正确.
故选：AB.
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数的零点为或
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的值域为
D．设，若关于的不等式在上有解，则
【答案】BCD
【分析】令，结合函数零点的定义，可判定A错误；根据不等式的解集与方程的根的关系，列出方程组，可判定B正确；令，转化为，结合二次函数的性质，可判定C正确；转化为在上有解，结合对勾函数的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由函数，令，即，
解得或，所以和为函数的两个零点，所以A错误；
对于B中，由不等式的解集为或，
可得和时方程的两个根，
则且，解得，所以，所以B正确；
对于C中，令，则且，
则函数，即为，
根据二次函数的性质得，当时，函数取得最大值，最大值为，
可得的值域为，即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，由不等式在上有解，即在上有解，
设，可得函数在上为单调递增函数，
所以，所以，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】.
【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得,
即
解得，
故函数的定义域为.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
15．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合函数的性质，把不等式，转化为，即可求解.
【详解】由函数是偶函数且在上单调递增，可得函数在为单调递减函数，
又由，可得，
所以，即为，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可；
（2）根据得出，然后即可得出的取值范围．
【详解】（1）当时，，
∴；
（2）因为，所以，
所以，
所以的取值范围为：．
18．设命题实数x满足，其中，命题实数x满足.
(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若P是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别假设为真命题，解二次不等式解得，再取两者交集即可；
（2）先解命题中的二次不等式，再由必要不充分条件得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.
【详解】（1）当时，
若命题p为真命题，则由解得，
若命题q为真命题，则由解得，
因为与均是真命题，所以，即；
（2）由得，
又，则有，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
则有，其中等号不能同时取得，解得，
故实数的取值范围是.
19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求出当时，的解析式；
(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间；
(3)结合函数图象，求当时，函数的值域．
【答案】(1)；
(2)图象见解析，单调增区间为；
(3).
【分析】（1）由奇函数的定义求出解析式作答.
（2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答.
（3）利用（1）（2）的信息，借助单调性求出最值作答.
【详解】（1）依题意，设，有，则，
因为为上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调增区间为：.
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，，
当时，有最大值，
所以当时，函数的值域为.
20．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围
（2）已知正实数，满足：，求的最小值
【答案】（1），；（2）9
【分析】（1）应用不等式的性质计算组合的范围即可;
（2）已知等式,应用常值代换法求出和的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以的取值范围是．
因为，所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
21．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得.
（2）由分离常数，进而求得的取值范围.
【详解】（1）由为二次函数，可设
∵图象的对称轴为，最小值为-1，且，
∴，∴，
∴．
（2）∵，即在上恒成立，
又∵当时，有最小值0，
∴，
∴实数m的取值范围为．
22．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(3)求使成立的实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)在，上是增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.
（2）根据定义法证明函数的单调性即可.
（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；
又，即，解得；
经检验，时，是定义在上的奇函数．
（2）设，，且，
则；
因为，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
（3）由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，
由，得，
所以，即，解得．
所以实数的取值范围是.
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