2023-2024学年山西省大同市阳高县第四中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省大同市阳高县第四中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设命题则命题 p 的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，
命题 p 的否定为.
故选：B.
2．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（ ）．
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据图可知，继而根据表格可知.
【详解】由图可知，，
由表格可知，
故选：B.
3．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”，
“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B.
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
【解析】本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式可判断出为奇函数，利用图象对称性可排除C，再利用函数值可排除AD，可得正确选项.
【详解】根据题意易知函数的定义域为，且满足，
即可知为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项；
取可知，故排除AD，即可知B选项符合题意；
故选：B
6．已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ）
A．－B．C．－D．
【答案】B
【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b
【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数
∴有：b＝0，且a－1＝－2a
∴a＝
∴a＋b＝
故选：B
【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，
故选：D
8．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质可得在上单调递增，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
【详解】解：因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选：C
二、多选题
9．下列根式､分数指数幂的互化中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用根式､分数指数幂的运算法则即可得出．
【详解】．，因此不正确；
．，因此不正确；
．，因此正确；
．，因此不正确．
故选：ABD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．函数表示幂函数
C．若表示递增的幂函数，则
D．幂函数的图像都过点，
【答案】AC
【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；
对于B，函数不是幂函数，B错误；
对于C，是幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；
对于D，幂函数不过点，D错误.
故选：AC
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为B．的定义域为
C．，D．为偶函数
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式结合函数的定义域、值域和奇偶性逐一判断即可．
【详解】因为函数，所以函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；
因为或且0与1均为有理数，所以或，故C正确；
函数，故为偶函数，D正确．
故选：BCD
12．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
【答案】ACD
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.
【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，
那么，所以，
所以，且，故A、C正确，B错误；
不等式，
即，解得:,
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由题意可得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．已知函数， 若，则
【答案】或
【分析】对分两种情况讨论得解.
【详解】解：当时，；
当时，，因为.
综上所述，或.
故答案为：或.
15．央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水.若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”崔主持质疑这类问题的合理性.其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量-消耗量=改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题.例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完.假设每小时进､出货量是常数，仓库中的货物量(吨)与时间(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起 小时后该仓库内的货恰好运完.
【答案】8
【分析】由图象计算出进货速度与出货速度，由此可得结果.
【详解】由图象可知，在到小时进货吨，故进货速度是每小时吨，
所以出货速度为每小时吨，
从不进货起，需要小时将该仓库内的货恰好运完.
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：根据图象计算出进货速度与出货速度是解题关键.
16．记号表示，中取较大的数，如.记函数，则函数的最小值是 .
【答案】
【分析】分类讨论，与，结合函数定义及一次函数与二次函数的性质即可得解.
【详解】当，即时，；
当，即或时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，；
综上，，即最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；
写出函数的解析式和值域．
【答案】（1）递增区间是，，图像见解析
（2）
【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间;
直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.
【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:
由图可得函数的递增区间是,.
设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,,
故的解析式为,
由图像可得值域为.
【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.
18．已知集合.
（1）若，求、；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出再与集合B取交集；（2）根据并集的结果可得，分、两种情况进行讨论求解a的取值范围.
【详解】（1），，
（2），
①若；
②若.
综上所述，.
【点睛】本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题.
19．如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪细图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细)．
(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？
(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
【答案】(1)当长、宽皆为20cm时，底面矩形面积最大
(2)当长为60cm、宽为40cm时，用料最少
【分析】(1) 设大矩形的长为x，宽为y，则有，借助基本不等式计算面积的最大值；
(2)易得底面面积，借助基本不等式计算底面周长的最小值.
【详解】（1）设大矩形的长为x，宽为y
依题有：，即，则
当且仅当时，底面矩形面积最大
（2）依题有，
框架用料最少等价于底面用料为最小即可，
，当，即取等
故当长为60cm、宽为40cm时，用料最少
20．已知指数函数（，且）的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入求解即可；
（2）由指数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）∵指数函数（，且）过点，
∴，∴解得，
∴函数的解析式为.
（2）若，则，
∴，
由指数函数的单调性知，在上单调递减，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
21．已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.
（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.
（2）利用集合间的关系求解即可.
【详解】实数满足不等式，即
命题实数满足不等式，即
（1）当时，命题，均为真命题，则且
则实数的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集
则且
解得
故的取值范围为.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
22．已知不等式.
（1）当时，解此不等式；
（2）若此不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先将代入不等式中,再根据根的判别式 ,与轴无交点,则解集为.
（2）把已知的不等式变形为二次不等式的一般形式,然后讨论二次项系,当二次项系数不等于时,需开口向上且判别式小于.
【详解】（1）当时,不等式为.
∵的,
可知不等式的解集为,
所以当时,不等式的解集为.
（2）已知不等式可整理成,
当,即时,不符合题意．
当,即时,也不符合题意．
当,即时,要使恒成立,
则有,解得.
综上所述：使不等式对一切实数恒成立的实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,把已知的不等式变形为二次不等式的一般形式,然后讨论二次项系数,考查了分类讨论思想和数形结合思想,解答此题的关键是三个二次的结合,是常考题型.
1
2
3
2
3
0