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2023-2024学年四川省成都市武侯区川大附中高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年四川省成都市武侯区川大附中高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合,，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简集合，根据交集的定义计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
2．若命题:，则（ ）
A．命题为真命题，且：
B．命题为真命题，且：
C．命题为假命题，且：
D．命题为假命题，且：
【答案】B
【分析】本题主要考查命题的真假判断和存在量词的否定，先根据二次函数的性质判断命题的真假，再根据存在量词的否定要将“”改为“”，结论否定即可.
【详解】因为，所以命题:为真命题；排除选项；又因为存在量词的否定要将“”改为“”，结论否定，
所以：，排除选项，
故选：.
3．设函数，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式求解.
【详解】由解析式可知，
所以，
故选：D
4．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.
【详解】的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于D，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：B．
5．函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】化简函数为分段函数，利用解析式即判断图象.
【详解】函数的定义域为，，所以C中的图象满足题意.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项．
6．已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数为减函数的条件列出不等式组求解即可.
【详解】因为是上是减函数，
所以，解得，
故选：B
7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，
即函数的定义域为，
又由函数当时，单调递减，
则不等式可化为，
可得不等式组，解得，即不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
8．已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据条件代入消去，变形后利用均值不等式求解.
【详解】由可得，
所以，
因为正实数a，b满足，所以，
故，
当且仅当，即，
故选：D
二、多选题
9．已知a＞b＞0＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a-b＞b-cB．C．a²c＞b²cD．a+c＞b+c
【答案】BD
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】A.当时，，故错误；
B.因为，所以，又，所以，故正确；
C.因为 ，所以，又，所以，故错误；
D.因为，所以，故正确；
故选：BD
10．已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.
【详解】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
11．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分必要条件
B．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或
C．不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是.
D．已知，其中a，b为常数，若，则
【答案】ACD
【分析】根据集合并集及子集的概念、充分条件、必要条件判断A，由不等式的解得出关系，再解不等式即可判断B，分离参数根据不等式恒成立求解判断C，利用函数奇偶性求函数值判断D.
【详解】对A，，，故“”是“”的充分必要条件，故A正确；
对B，不等式的解集是，则，则可得，
所以，解得，故B错误；
对C，由原不等式分离参数可化为在上恒成立，故，
因为，所以，故C正确；
对D，，令，，
因为，所以为奇函数，
由，可得，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．已知函数关于对称，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．在上为减函数B．的最大值是1
C．的图象关于直线对称D．在上有5个零点
【答案】BCD
【分析】根据函数的性质可推导出函数为偶函数且关于成中心对称，推导出函数的周期为，
据此可得关于，对称，判断AC，作出函数图象判断BD.
【详解】因为函数关于对称，所以由函数图象平移知关于对称，即为偶函数，因为当时，单调递减，所以函数在上为减函数错误，故A错误；
因为是奇函数，所以，即，
即函数关于成中心对称，且由可知，，
所以，即，所以周期，
据此，所以函数图象关于对称，由周期，可知函数图象也关于对称，故C正确；
由上述分析作函数图象如下，
由图象知，的最大值是1，在上有5个零点，故BD正确.
故选：BCD
三、填空题
13．的值为 ．
【答案】
【分析】根据指数的运算性质求解即可．
【详解】
=
=；
【点睛】本题主要考查指数的运算性质，属于基础题．
14．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 .
【答案】-1
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
15．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】分a=3和两种情况讨论，当a=3时恒成立；当时，为二次不等式在上恒成立问题.
【详解】当a=3时，不等式可化为：恒成立，符合题意；
当时，要使不等式对一切恒成立，
只需，解得：；
所以.
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数为定义上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为
【答案】
【分析】令，根据题意，得到为偶函数，且上递增，在上递减，又由，把不等式转化为，分类讨论，即可求解.
【详解】由对于，都有，
不妨设且，所以且，
令，则，
所以函数在上单调递增，
又由函数为定义在上的奇函数，
所以为偶函数，且在上单调递减，
因为，可得，
由于不等式，即为，
当时，不等式可化为，可得；
当时，不等式可化为，可得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数的定义域为R，且图象关于原点对称，当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意可得为奇函数，则，设，则，然后时的解析式结合奇函数的性质可求出时的解析式，从而可求得在上的解析式；
（2）先画出函数在轴右侧的图象，再根据对称性画出轴左侧的图象即可，从而可求出其增区间
【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，则．
设，则，因为当时，．
所以当时，．
于是有.
（2）先画出函数在轴右侧的图象，再根据对称性画出轴左侧的图象，如图，
由图象可知函数的单调递增区间是，单调减区间是．
18．设函数自变量的取值范围为集合，集合．
（1）若全集，，求；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）求出集合A，B，进而可得；
（2）根据条件可得，分，讨论，列不等式求解即可.
【详解】解：（1）要使函数有意义，则，即，
所以函数的定义域为．
所以集合．
又，∴，
因为全集，
∴或
或；
（2）由（1）得，若是的充分条件，即，
①当时，，即，∴，
②当时，，，
综上所述：的取值范围为．
19．已知函数，其中
(1)解关于x的不等式；
(2)若的解集为，求的最小值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）不等式可化为，分类讨论求解即可；
（2）根据不等式的解集可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解.
【详解】（1）由可得，
即
①当时，，解得，
②当时，，解得，
③当时，，解得，
综上，时，不等式解集，时，不等式解集，时，不等式解集.
（2）由可得，
由题意，故，
，
当且仅当，即时等号成立.
即的最小值为.
20．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
【答案】(1)3年
(2)方案①较为合算
【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利.
（2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.
【详解】（1）由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
21．已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件：
①对任意x，，都有.
②当时，；
(1)求；
(2)判断在R上的单调性，并证明你的结论；
(3)已知，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)2023
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，可得答案；
（2）在上为减函数，利用单调性的定义证明即可；
（3）由原不等式可化为，利用单调性可得， 分离参数求解即可.
【详解】（1）令，，则，
所以.
（2）在上为减函数，证明如下：
设，则，
则
，
又，则，
所以，即，
故在上为减函数.
（3）由可得，，
即，
由在上为减函数可得对恒成立，
即，恒成立，
令，则，对称轴方程为，
所以当时，，故，解得.
22．已知函数.
(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求得范围；
(2) 根据方程有三个不相等的实数根，建立条件关系，分类讨论即可求得.
【详解】（1）由函数，，
函数的对称轴为，函数的对称轴为，若函数在R上是增函数，则，解得；
（2）当时，函数在R上是增函数，关于x的方程不可能有三个不相等的实数根；
当时，即，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，关于的方程有三个不相等的实数根，即，即
，因为，所以，
设，存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，下面证明函数在上单调递增，
任取，且，则
，因为，则，所以，则在上单调递增，
，所以.
综上：.
一、单选题
1．已知集合,，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简集合，根据交集的定义计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
2．若命题:，则（ ）
A．命题为真命题，且：
B．命题为真命题，且：
C．命题为假命题，且：
D．命题为假命题，且：
【答案】B
【分析】本题主要考查命题的真假判断和存在量词的否定，先根据二次函数的性质判断命题的真假，再根据存在量词的否定要将“”改为“”，结论否定即可.
【详解】因为，所以命题:为真命题；排除选项；又因为存在量词的否定要将“”改为“”，结论否定，
所以：，排除选项，
故选：.
3．设函数，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式求解.
【详解】由解析式可知，
所以，
故选：D
4．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.
【详解】的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于D，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：B．
5．函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】化简函数为分段函数，利用解析式即判断图象.
【详解】函数的定义域为，，所以C中的图象满足题意.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项．
6．已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数为减函数的条件列出不等式组求解即可.
【详解】因为是上是减函数，
所以，解得，
故选：B
7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.
【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，
即函数的定义域为，
又由函数当时，单调递减，
则不等式可化为，
可得不等式组，解得，即不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】求解函数不等式的方法：
1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
8．已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据条件代入消去，变形后利用均值不等式求解.
【详解】由可得，
所以，
因为正实数a，b满足，所以，
故，
当且仅当，即，
故选：D
二、多选题
9．已知a＞b＞0＞c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a-b＞b-cB．C．a²c＞b²cD．a+c＞b+c
【答案】BD
【分析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】A.当时，，故错误；
B.因为，所以，又，所以，故正确；
C.因为 ，所以，又，所以，故错误；
D.因为，所以，故正确；
故选：BD
10．已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.
【详解】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
11．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分必要条件
B．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或
C．不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是.
D．已知，其中a，b为常数，若，则
【答案】ACD
【分析】根据集合并集及子集的概念、充分条件、必要条件判断A，由不等式的解得出关系，再解不等式即可判断B，分离参数根据不等式恒成立求解判断C，利用函数奇偶性求函数值判断D.
【详解】对A，，，故“”是“”的充分必要条件，故A正确；
对B，不等式的解集是，则，则可得，
所以，解得，故B错误；
对C，由原不等式分离参数可化为在上恒成立，故，
因为，所以，故C正确；
对D，，令，，
因为，所以为奇函数，
由，可得，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．已知函数关于对称，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．在上为减函数B．的最大值是1
C．的图象关于直线对称D．在上有5个零点
【答案】BCD
【分析】根据函数的性质可推导出函数为偶函数且关于成中心对称，推导出函数的周期为，
据此可得关于，对称，判断AC，作出函数图象判断BD.
【详解】因为函数关于对称，所以由函数图象平移知关于对称，即为偶函数，因为当时，单调递减，所以函数在上为减函数错误，故A错误；
因为是奇函数，所以，即，
即函数关于成中心对称，且由可知，，
所以，即，所以周期，
据此，所以函数图象关于对称，由周期，可知函数图象也关于对称，故C正确；
由上述分析作函数图象如下，
由图象知，的最大值是1，在上有5个零点，故BD正确.
故选：BCD
三、填空题
13．的值为 ．
【答案】
【分析】根据指数的运算性质求解即可．
【详解】
=
=；
【点睛】本题主要考查指数的运算性质，属于基础题．
14．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 .
【答案】-1
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
15．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】分a=3和两种情况讨论，当a=3时恒成立；当时，为二次不等式在上恒成立问题.
【详解】当a=3时，不等式可化为：恒成立，符合题意；
当时，要使不等式对一切恒成立，
只需，解得：；
所以.
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数为定义上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为
【答案】
【分析】令，根据题意，得到为偶函数，且上递增，在上递减，又由，把不等式转化为，分类讨论，即可求解.
【详解】由对于，都有，
不妨设且，所以且，
令，则，
所以函数在上单调递增，
又由函数为定义在上的奇函数，
所以为偶函数，且在上单调递减，
因为，可得，
由于不等式，即为，
当时，不等式可化为，可得；
当时，不等式可化为，可得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数的定义域为R，且图象关于原点对称，当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意可得为奇函数，则，设，则，然后时的解析式结合奇函数的性质可求出时的解析式，从而可求得在上的解析式；
（2）先画出函数在轴右侧的图象，再根据对称性画出轴左侧的图象即可，从而可求出其增区间
【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，则．
设，则，因为当时，．
所以当时，．
于是有.
（2）先画出函数在轴右侧的图象，再根据对称性画出轴左侧的图象，如图，
由图象可知函数的单调递增区间是，单调减区间是．
18．设函数自变量的取值范围为集合，集合．
（1）若全集，，求；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）求出集合A，B，进而可得；
（2）根据条件可得，分，讨论，列不等式求解即可.
【详解】解：（1）要使函数有意义，则，即，
所以函数的定义域为．
所以集合．
又，∴，
因为全集，
∴或
或；
（2）由（1）得，若是的充分条件，即，
①当时，，即，∴，
②当时，，，
综上所述：的取值范围为．
19．已知函数，其中
(1)解关于x的不等式；
(2)若的解集为，求的最小值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）不等式可化为，分类讨论求解即可；
（2）根据不等式的解集可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解.
【详解】（1）由可得，
即
①当时，，解得，
②当时，，解得，
③当时，，解得，
综上，时，不等式解集，时，不等式解集，时，不等式解集.
（2）由可得，
由题意，故，
，
当且仅当，即时等号成立.
即的最小值为.
20．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
【答案】(1)3年
(2)方案①较为合算
【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利.
（2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.
【详解】（1）由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
21．已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件：
①对任意x，，都有.
②当时，；
(1)求；
(2)判断在R上的单调性，并证明你的结论；
(3)已知，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)2023
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，可得答案；
（2）在上为减函数，利用单调性的定义证明即可；
（3）由原不等式可化为，利用单调性可得， 分离参数求解即可.
【详解】（1）令，，则，
所以.
（2）在上为减函数，证明如下：
设，则，
则
，
又，则，
所以，即，
故在上为减函数.
（3）由可得，，
即，
由在上为减函数可得对恒成立，
即，恒成立，
令，则，对称轴方程为，
所以当时，，故，解得.
22．已知函数.
(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求得范围；
(2) 根据方程有三个不相等的实数根，建立条件关系，分类讨论即可求得.
【详解】（1）由函数，，
函数的对称轴为，函数的对称轴为，若函数在R上是增函数，则，解得；
（2）当时，函数在R上是增函数，关于x的方程不可能有三个不相等的实数根；
当时，即，
所以函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，关于的方程有三个不相等的实数根，即，即
，因为，所以，
设，存在，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，下面证明函数在上单调递增，
任取，且，则
，因为，则，所以，则在上单调递增，
，所以.
综上：.
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