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2023-2024学年四川省眉山市青神县青神中学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年四川省眉山市青神县青神中学校高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
又，
所以.
故选：A.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
注意到要否定结论而不是否定条件，所以D选项正确.
故选：D
3．“”是“关于的一元二次方程有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化简方程有实数根，得到或，再利用集合的关系判断得解.
【详解】因为关于的一元二次方程有实数根，
所以，所以或，
因为是集合或的真子集，
所以“”是“关于的一元二次方程有实数根”的充分不必要条件.
故选：A.
4．不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
【分析】分式不等式的解法.
【详解】由，得，即，
即，解得，D正确.
故选：D
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抽象函数的定义域的求解方法可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为，解得，即的定义域为.
故选：A
6．如图图形，其中能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义即可得解.
【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与对应，
由图可知，ACD三个选项不符合函数的定义，B选项符合函数的定义.
故选：B.
7．已知区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由区间的定义列式即可求得结果.
【详解】由题意可知，，解得.
故选：A.
8．已知函数的对应值图如表所示，则等于（ ）
函数的对应值表
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.
【详解】由表可知，，
所以
故选：D．
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．0不可能属于BB．集合可能是
C．集合不可能是D．集合
【答案】BCD
【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．
【详解】∵，∴，故D正确．
∵集合，
∵，∴集合可能是，故B正确；
∵，∴集合不可能是，故C正确；
∵，∴0可能属于集合，故A错误.
故选：BCD.
10．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为
C．的最大值为2D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，，，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故选：ABD.
11．已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．2D．8
【答案】AC
【分析】利用给定的分段函数，分段计算作答.
【详解】函数，而，
当时，，解得，满足条件，即有，
当时，，解得，显然不满足条件，则有，
所以实数a的值为或2.
故选：AC
12．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟.乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．乙的速度为米/分钟
B．分钟后甲的速度为米/分钟
C．乙比甲晚分钟到达地
D．，两地之间的路程为米
【答案】ABD
【分析】根据图象可知，前5分钟为乙比甲多走的距离，即可计算出乙的速度为米/分钟，可得A正确；利用第5到25分钟的距离差可得，甲的原速度为250米/分钟，所以分钟后甲的速度为米/分钟，即B正确；由图象可看出86分钟后甲乙两人距离越来越小，即可知第86分钟时甲到达地，利用时间差可得乙比甲晚到分钟，即C错误；根据甲行驶的总距离即可计算出，两地之间的路程为米，即D正确.
【详解】因为乙比甲早出发分钟，由图知乙的速度为米/分钟，故选项A正确；
设甲的原速度为，由图可知，解得米/分钟，
所以分钟后甲的速度为米/分钟，故选项B正确；
根据图像当时，甲到达地，此时乙距离地还有米，
所以还需要分钟，所以乙比甲晚分钟到达地，故选项C不正确；
利用甲行驶的路程计算可得，，两地之间的路程为米，故选项D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．已知函数．则= .
【答案】0
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，则.
故答案为：
14．集合的真子集的个数是 .
【答案】31
【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集的个数.
【详解】共5个元素，
则真子集的个数是.
故答案为：31
15．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.
【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．
设，
若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，
所以集合是集合的真子集.
所以．
故答案为：.
16．已知正数满足，则的最大值是 .
【答案】
【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案.
【详解】令，因为，，所以.
则，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以，即，解得，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知定义域为R的函数和，计算下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)12
(2)3
【分析】根据题中函数解析式直接计算得到答案.
【详解】（1）函数，，故；
（2）函数，则，，
所以
18．（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式.
（3）若对任意实数x，均有，求的解析式.
【答案】（1） ；（2）．（3）
【分析】（1）利用待定系数法即可得到解析式；
（2）利用配凑法或换元法即可得到解析式；
（3）利用方程组法即可得到解析式.
【详解】（1）令 ，
因为，所以，则．
由题意可知：
，
得，所以．
所以.
（2）法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则，
．
.
（3）因为①，
所以②，
由①②得：，
解得：.
19．（1）已知 ， 求函数的最大值．
（2）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简，结合基本不等式，即可求解；
（2）结合，利用基本不等式，求得，转化为，即可求解.
【详解】（1）因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为，所以函数的最大值为．
（2）因为，且，
所以
，
当且仅当，即时取等号，所以，
因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
20．已知函数对任意正实数，，都有．
(1)求的值；
(2)若，（，为常数），求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令,代入求解即可；
（2）因为,则,
再次利用求解即可.
【详解】（1）令，，得，解得．
（2）因为，所以
．
21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．
【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；
（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，
则，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以，当时取到最小值，
即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．
（2）设生产万箱时所获利润为，
则，即，，
即，
所以，
所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．
22．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)若不等式的解集为，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
(3)
【分析】（1）分和两种情况求解即可，
（2）分三种情况解不等式，
（3）由条件知对任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最小值即可
【详解】（1）当时，即，则由 ，得，不合题意，
当，即时，由不等式的解集为得
，解得，
所以的取值范围为
（2）因为，所以，即，
当，即时，解得，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为 ，所以，所以，
所以不等式的解集为，
综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
（3）因为不等式的解集为，且，
所以对任意的，不等式恒成立，
即，
因为
所以恒成立，
令，则，，
所以，
令，因为函数在
基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，
因为上递减，在上递增，而当时，，当时，，
所以的最大值为4，
所以的最小值为1，
所以，
所以的取值范围为
0
1
2
3
4
5
3
6
5
4
2
7
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
又，
所以.
故选：A.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
注意到要否定结论而不是否定条件，所以D选项正确.
故选：D
3．“”是“关于的一元二次方程有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化简方程有实数根，得到或，再利用集合的关系判断得解.
【详解】因为关于的一元二次方程有实数根，
所以，所以或，
因为是集合或的真子集，
所以“”是“关于的一元二次方程有实数根”的充分不必要条件.
故选：A.
4．不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
【分析】分式不等式的解法.
【详解】由，得，即，
即，解得，D正确.
故选：D
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抽象函数的定义域的求解方法可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为，解得，即的定义域为.
故选：A
6．如图图形，其中能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义即可得解.
【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与对应，
由图可知，ACD三个选项不符合函数的定义，B选项符合函数的定义.
故选：B.
7．已知区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由区间的定义列式即可求得结果.
【详解】由题意可知，，解得.
故选：A.
8．已知函数的对应值图如表所示，则等于（ ）
函数的对应值表
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】查表可知，先得，所以再查表可得.
【详解】由表可知，，
所以
故选：D．
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．0不可能属于BB．集合可能是
C．集合不可能是D．集合
【答案】BCD
【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．
【详解】∵，∴，故D正确．
∵集合，
∵，∴集合可能是，故B正确；
∵，∴集合不可能是，故C正确；
∵，∴0可能属于集合，故A错误.
故选：BCD.
10．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为
C．的最大值为2D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，，，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故选：ABD.
11．已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．2D．8
【答案】AC
【分析】利用给定的分段函数，分段计算作答.
【详解】函数，而，
当时，，解得，满足条件，即有，
当时，，解得，显然不满足条件，则有，
所以实数a的值为或2.
故选：AC
12．周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟.乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．乙的速度为米/分钟
B．分钟后甲的速度为米/分钟
C．乙比甲晚分钟到达地
D．，两地之间的路程为米
【答案】ABD
【分析】根据图象可知，前5分钟为乙比甲多走的距离，即可计算出乙的速度为米/分钟，可得A正确；利用第5到25分钟的距离差可得，甲的原速度为250米/分钟，所以分钟后甲的速度为米/分钟，即B正确；由图象可看出86分钟后甲乙两人距离越来越小，即可知第86分钟时甲到达地，利用时间差可得乙比甲晚到分钟，即C错误；根据甲行驶的总距离即可计算出，两地之间的路程为米，即D正确.
【详解】因为乙比甲早出发分钟，由图知乙的速度为米/分钟，故选项A正确；
设甲的原速度为，由图可知，解得米/分钟，
所以分钟后甲的速度为米/分钟，故选项B正确；
根据图像当时，甲到达地，此时乙距离地还有米，
所以还需要分钟，所以乙比甲晚分钟到达地，故选项C不正确；
利用甲行驶的路程计算可得，，两地之间的路程为米，故选项D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．已知函数．则= .
【答案】0
【分析】直接计算得到答案.
【详解】，则.
故答案为：
14．集合的真子集的个数是 .
【答案】31
【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集的个数.
【详解】共5个元素，
则真子集的个数是.
故答案为：31
15．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.
【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．
设，
若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，
所以集合是集合的真子集.
所以．
故答案为：.
16．已知正数满足，则的最大值是 .
【答案】
【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案.
【详解】令，因为，，所以.
则，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以，即，解得，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知定义域为R的函数和，计算下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)12
(2)3
【分析】根据题中函数解析式直接计算得到答案.
【详解】（1）函数，，故；
（2）函数，则，，
所以
18．（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式.
（3）若对任意实数x，均有，求的解析式.
【答案】（1） ；（2）．（3）
【分析】（1）利用待定系数法即可得到解析式；
（2）利用配凑法或换元法即可得到解析式；
（3）利用方程组法即可得到解析式.
【详解】（1）令 ，
因为，所以，则．
由题意可知：
，
得，所以．
所以.
（2）法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则，
．
.
（3）因为①，
所以②，
由①②得：，
解得：.
19．（1）已知 ， 求函数的最大值．
（2）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简，结合基本不等式，即可求解；
（2）结合，利用基本不等式，求得，转化为，即可求解.
【详解】（1）因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为，所以函数的最大值为．
（2）因为，且，
所以
，
当且仅当，即时取等号，所以，
因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
20．已知函数对任意正实数，，都有．
(1)求的值；
(2)若，（，为常数），求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令,代入求解即可；
（2）因为,则,
再次利用求解即可.
【详解】（1）令，，得，解得．
（2）因为，所以
．
21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．
【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；
（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，
则，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以，当时取到最小值，
即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．
（2）设生产万箱时所获利润为，
则，即，，
即，
所以，
所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．
22．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)若不等式的解集为，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
(3)
【分析】（1）分和两种情况求解即可，
（2）分三种情况解不等式，
（3）由条件知对任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最小值即可
【详解】（1）当时，即，则由 ，得，不合题意，
当，即时，由不等式的解集为得
，解得，
所以的取值范围为
（2）因为，所以，即，
当，即时，解得，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为 ，所以，所以，
所以不等式的解集为，
综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
（3）因为不等式的解集为，且，
所以对任意的，不等式恒成立，
即，
因为
所以恒成立，
令，则，，
所以，
令，因为函数在
基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，
因为上递减，在上递增，而当时，，当时，，
所以的最大值为4，
所以的最小值为1，
所以，
所以的取值范围为
0
1
2
3
4
5
3
6
5
4
2
7
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