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    2023-2024学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一上学期期中数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一上学期期中数学试题含答案,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.设是定义域为的函数,命题“,”,则命题的否定是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】C
    【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
    【详解】命题“,”的否定是:,.
    故选:C
    2.设集合,,则=( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】计算,再计算交集得到答案.
    【详解】,,.
    故选:A
    3.若函数的定义域为,值域为,则的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可.
    【详解】对于A,函数在处有意义,不满足定义域为,A错误;
    对于B,函数的定义域为,值域为,满足题意,B正确;
    对于C,函数在处有意义,不满足定义域为,C错误;
    对于D,函数在处有意义,不满足定义域为,D错误.
    故选:B.
    4.“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】通过求出两不等式的解,即可得出结论.
    【详解】由题意,
    在中,或,
    在中,或,
    ∴“”是“”的充分不必要条件,
    故选:A.
    5.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
    A.或B.或
    C.或D.
    【答案】A
    【分析】由已知列出不等式组,求解即可得出答案.
    【详解】由已知可得,,
    解得,或.
    故选:A.
    6.已知且,则的取值范围( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】变换,利用均值不等式计算最值即可.
    【详解】,
    当且仅当,即,时等号成立,
    故选:C.
    7.若函数满足对任意的实数都有成立,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】根据题意,需要保证每段函数在对应区间为增函数,且在分割点处需要满足函数值对应的关系即可,列出不等式求解,则问题得解.
    【详解】因为函数满足:
    对任意的实数,都有成立,
    所以函数在(-∞,+∞)上是增函数,
    所以在(-∞,1),(1,+∞)上均单调递增,
    且-12+2a×1≤(2a-1)×1-3a+6,
    故有,
    解得1≤a≤2.
    所以实数a的取值范围是[1,2].
    故选:B.
    【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围的问题,属基础题.
    8.若定义在上的函数同时满足:①为奇函数;②对任意的,且,都有,则称函数具有性质.已知函数具有性质,则不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】确定函数是上的减函数,且为偶函数,考虑和两种情况,根据函数的单调性和奇偶性解不等式得到答案.
    【详解】对任意的,且,都有,
    即对任意两个不相等的正实数,,不妨设,
    都有,所以有,
    所以函数是上的减函数,
    又因为为奇函数,即有,有
    所以有,所以为偶函数,
    所以在上单调递增.
    ①当,即时,有,由,
    得,所以,解得,此时无解;
    ②当,即时,由,得,
    所以,解得或.
    综上所述:不等式的解集为.
    故选:B
    二、多选题
    9.已知集合,则下列表示正确的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】AC
    【分析】先求得集合,集合元素与集合的关系,集合与集合的关系,即可求解.
    【详解】由方程,解得或,所以集合可表示为,所以C正确,
    根据元素与集合的关系,可得,,所以A正确,B不正确,D不正确.
    故选:AC.
    10.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为,观影人数记为,关于的函数图像如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后关于的函数图像.给出下列四种说法,其中正确的说法是( )
    A.图(2)对应的方案是:提高票价,并提高固定成本
    B.图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低固定成本
    C.图(3)对应的方案是:提高票价,并保持固定成本不变
    D.图(3)对应的方案是:提高票价,并降低固定成本
    【答案】BC
    【分析】由图(1)可设关于的函数为,,,分析出为票价,为固定成本,根据图(2)和图(3)图像的变化,即可分析出正确答案.
    【详解】由图(1)可设关于的函数为,,,为票价,
    当时,,则为固定成本;
    由图(2)知,直线向上平移,不变,即票价不变,变大,则变小,固定成本减小,故A错误,B正确;
    由图(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,即变大,票价提高,不变,即不变,固定成本不变,故C正确,D错误;
    故选:BC.
    11.下列命题正确的是( )
    A.若,,则;
    B.若正数a、b满足,则;
    C.若,则的最大值是;
    D.若,,,则的最小值是8;
    【答案】BD
    【分析】举反例得到A错误,根据函数的单调性计算最值得到C错误,利用均值不等式计算最值得到BD正确,得到答案.
    【详解】对选项A:取,,,则,,错误;
    对选项B:,则,

    当且仅当,即时等号成立,正确;
    对选项C:在上单调递减,故函数的最大值为,错误;
    对选项D:,,,故,,

    当且仅当,即,时等号成立,正确;
    故选:BD
    12.已知函数的定义域是,对,都有,且当时,,且,下列说法正确的是( )
    A.
    B.函数在上单调递增
    C.
    D.满足不等式的的取值范围为
    【答案】ABD
    【分析】令求出的值可判断A;令可得,利用函数单调性的定义证明单调性可判断B;由以及可判断C;通过计算可得,原不等式等价于,利用单调性求出的取值范围可判断D,进而可得正确选项.
    【详解】对于A:令,得,所以,故选项A正确;
    对于B:令,得,所以,
    任取,,且,则,
    因为,所以,所以,所以在上单调递增,故选项B正确;
    对于C:
    ,故选项C不正确;
    对于D:因为,由可得,所以,
    所以不等式等价于即,
    因为在上单调递增,所以 解得:,
    所以原不等式的解集为,故选项D正确;
    故选:ABD.
    【点睛】利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是:(1)在已知区间上任取;(2)作差;(3)判断的符号(往往先分解因式,再判断各因式的符号), 可得在已知区间上是增函数, 可得在已知区间上是减函数.
    三、填空题
    13.已知幂函数在上为增函数,则实数m的值是 .
    【答案】3
    【分析】根据幂函数的定义求得,再由单调性确定最终结论.
    【详解】由题意,解得或,时,在上递减,时,在上递增,所以.
    故答案为:3.
    14.不等式的解集是,则 .
    【答案】
    【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b,即可确定目标式的结果.
    【详解】由题设,,可得,
    ∴.
    故答案为:
    15.已知函数,且,则、的大小关系是 .
    【答案】
    【分析】,两边平方,化简得到答案.
    【详解】,故,即,
    故,即,
    即.
    故答案为:.
    16.设定义域为R的函数,且,则x的值所组成的集合为 .
    【答案】
    【分析】首先换元,令求出的范围,从而对进行分类讨论求方程的根即可.
    【详解】令,
    当时,有单调递增,
    所以此时,
    当时,有,
    当时,有单调递增,
    所以此时,
    综上所述,
    将方程转化成,
    由以上分析可知当且仅当,或时,,
    即当且仅当或,
    由以上分析可知:
    当时, 有,此时方程无解,
    当时,有,此时存在使得恒有解,即此时的解集为,
    当时,有,所以,
    又,所以.
    综上所述:满足题意的x的值所组成的集合为.
    故答案为:.
    【点睛】关键点点睛:本题的关键是换元,令求出的范围,从而分类讨论即可顺利求解.
    四、解答题
    17.设集合,,.
    (1),求;
    (2)若,求实数的取值集合.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)确定得到或,再计算交集得到答案.
    (2)根据得到,解得答案.
    【详解】(1)当时,,故或,
    又,故;
    (2),所以需满足,解得,故的取值集合为.
    18.已知函数,且.
    (1)判断函数在上是单调递增还是单调递减?并证明;
    (2)求在上的值域.
    【答案】(1)函数在上是单调递增,证明见解析
    (2)
    【分析】(1)求出函数的表达式,利用单调性定义即可判断函数的单调性;
    (2)根据单调性即可得出函数在上的值域.
    【详解】(1)单调递增,由题意证明如下,
    函数,且,有,解得,
    所以的解析式为:.
    设,且,有.
    由,得,则,即.
    所以在区间上单调递增.
    (2)由(1)知在上是增函数,
    所以在区间上的最小值为,最大值为,
    所以在上的值域为.
    19.已知定义在上的函数满足,二次函数的最小值为,且.
    (1)分别求函数和的解析式;
    (2)设,,求的最小值.
    【答案】(1),;
    (2).
    【分析】(1)通过构造方程组的方法求得,设,根据已知条件可得的解析式;
    (2)求出,分、、讨论可得答案.
    【详解】(1)定义在上的函数满足①,
    可得②,
    由①②可得;
    设二次函数,
    因为的最小值为,且,
    所以,解得,
    可得;
    (2)

    当时,在上单调递增,
    所以,
    当时,在上单调递减,
    所以,
    当时,所以,
    所以.
    20.某公司生产一类电子芯片,且该芯片的年产量不超过35万件,每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分,其中固定成本为30万元/年,每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为(单位:万元),当年产量不超过14万件时,;当年产量超过14万件时,.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
    (1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
    (2)如果你作为公司的决策人,为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片?
    【答案】(1)
    (2)公司获得的年利润最大,每年应生产9万件该芯片
    【分析】(1)分和两种情况,分别求出函数解析式;
    (2)结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值,即可得解.
    【详解】(1)根据题意得,
    当时,,
    当时,,

    (2)当时,,且当时,单调递增,当时,单调递减,
    此时.
    当时,,当且仅当时,等号成立.
    因为,故当时,取得最大值24,
    即为使公司获得的年利润最大,每年应生产万件该芯片.
    21.已知函数.
    (1)若不等式的解集是空集,求m的取值范围;
    (2)当时,解不等式.
    【答案】(1)
    (2)答案见解析
    【分析】(1)对二次项系数分类讨论,与,当时, ,求解不等式组即可得解;
    (2)分,和三种情况解不等式.
    【详解】(1)①,即时,解集不是空集,舍去,
    ②时,即时,,
    即,∴,
    解得,
    ∴的取值范围是;
    (2)∵化简得:,
    ①时,即时,解集为,
    ②时,即时,,
    ,解集为或,
    ③时,即时,解集为,
    ∵,∴,
    ∴,
    ∴解集为.
    综上,时,解集为或;
    时,解集为;
    时,解集为
    22.设,函数.

    (1)若,在直角坐标系中作出函数的图像,并根据图像写出函数的单调区间.
    (2)若函数的图象关于点对称,且对于任意的,不等式恒成立,求实数的范围.
    【答案】(1)图象见解析,单调递减区间为,;单调递增区间为
    (2)
    【分析】(1)确定函数的解析式,根据解析式画出函数图像,根据图像得到单调区间;
    (2)确定函数为奇函数,计算,变换,构造,根据函数的单调性计算最值得到范围.
    【详解】(1),的图象如下:

    由图知:在,上递减,在上递增,
    故单调递减区间为,;单调递增区间为.
    (2)的图象关于点对称,即关于原点对称,
    所以为奇函数,则,
    所以,即在上恒成立,
    所以,故,则,
    故,
    所以,则恒成立,即,
    由,
    令,构造函数.
    任取,且,
    因为,所以,函数在上递增.
    所以,故,
    综上所述:,即.
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