2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集运算直接求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“”为存在量词命题，
其否定为：.
故选：D
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】首先求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】幂函数的图象经过点，，
则，即，所以，解得，
所以，则.
故选：A
4．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数和单调性性质逐项判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为R，且，所以为奇函数，不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，且，所以为偶函数，
当时，单调递增，符合题意；
对于C，函数的定义域为，且，
所以为奇函数，不符合题意；
对于D，函数的定义域为R，且，所以为偶函数，
当时，单调递减，不符合题意；
故选：B
5．已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可.
【详解】设，则，又.
故选：A
6．若，，则下面不等式中成立的一个是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质和关系进行判断即可．
【详解】，，
，则，
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合同向不等式相加的性质是解决本题的关键．
7．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的定义域是可求出，令代替，可得，即可求出的定义域.
【详解】因为函数的定义域是
由，得，
所以的定义域是，
由
得.
所以的定义域为.故选：A
【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题 .
8．若存在，有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解.
【详解】因为存在，有成立，
所以在上有解，所以，
记，，令，则，，
由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增，
又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且,
所以，即实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】A选项，两函数对应法则不一致；BD选项，两函数定义域和对应法则均相同；C选项，两函数定义域不相同.
【详解】A选项，，，故两函数不是同一函数，A错误；
B选项，，，故两函数为同一函数，B正确；
C选项，的定义域为R，的定义域为，故两函数不是同一函数，C错误；
D选项，的定义域为，且，
的定义域为，且，
故两函数是同一函数，D正确.
故选：BD
10．“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有 （ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.
【详解】若关于的不等式对恒成立，
当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且
解得，
故的范围为，
故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，
考查选项知满足条件.
故选：
11．已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）．
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．
【详解】，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确
由选项A有，设，则在上单调递减.
所以，所以选项B正确
(当且仅当时取得等号)，
．所以选项C正确.
（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．
故A，B，C正确
故选：ABC
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
12．设，则下列选项中正确的有（ ）
A．若有两个不同的实数解，则
B．若有三个不同的实数解，则
C．的解集是
D．的解集是
【答案】BC
【分析】根据函数解析式画出函数图象，再数形结合即可判断.
【详解】因为，
当时，令，解得，令，
即，解得或，
令，即，解得；
当时，显然，令，即，解得，
令，即，解得；
所以的图象如下所示：
对于A：若有两个不同的实数解，即与有两个交点，
由图可知，即，故A错误；
对于B：若有三个不同的实数解，即与有三个交点，
由图可知，即，故B正确；
对于C：由图可得的解集是，故C正确；
对于D：令，则不等式，即，
则，即，
当时解得，
当时由图可得或，
综上可得的解集是，故D错误；
故选：BC
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】/
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
14．已知，则的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．
【详解】∵，∴，求得，或，
故函数的定义域为或
由题即求函数在定义域内的增区间．
由二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．
15．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是 .
【答案】
【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.
【详解】是偶函数，，
∴不等式等价为，
在区间单调递增，
，解得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.
16．已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数，显然该函数在上单调递增，
由函数在上的值域为，则，
等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，
且在上恒成立，则，
解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，或.
(2)
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得；
（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）由，即，解得，
所以，
当时，
所以，或，
所以或.
（2）因为，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，实数的取值范围是．
18．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据根式的性质及幂的运算法则计算可得；
（2）根据幂的运算法则计算可得.
【详解】（1）
；
（2）因为，所以，
即，所以，
所以
，
所以.
19．已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义结合函数奇偶性分析求解；
（2）根据二次函数单调性运算求解.
【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或，
当时，则为奇函数，不合题意；
当时，则为偶函数，符合题意；
综上所述：
（2）由（1）可得：，其对称轴，
因为在区间上不单调，则，解得，
实数的取值范围.
20．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)，
(2)函数在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知得，求出、的值，即可求得函数的解析式，再检验即可；
（2）根据函数单调性的定义可证明；
（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，
所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故，；
（2）函数在上单调递增.证明如下：
任取且，
则，
因为且，所以，，
，，，
所以，所以，即，
所以在上单调递增.
（3）因为在上单调递增，且为奇函数，
所以不等式，即，
等价于，解得，
即不等式的解集为.
21．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)，
(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题知，时，，
于是，，解得.
所以，.根据题意，
即
所以
（2）
当且仅当，即时，等号成立.
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.
22．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数在上的最小值为0，求的值．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)
【分析】（1）写出分段函数形式，画出其图象，数形结合得到单调区间；
（2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性和图象，表达出在上的最小值，得到方程，求出的值.
【详解】（1）当时，，
画出函数图象，如下：
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）当时，
因为，所以，
开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递减，
在上的最小值为，
令，解得，舍去；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为，
令，解得（舍去）；
当时，因为，
所以，
此时图象如下：
函数在上的最小值为或，
其中在恒成立，
故，
在上的最小值为，
令，解得（负值舍去），
综上，，