2023-2024学年四川省绵阳市南山中学实验学校高一上学期12月月考数学试题含答案

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果.
【详解】.
故选：B
【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题.
2. 设全集，则图中阴影部分对应的集合是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】图中阴影部分表示，由交集的补集的定义求解即可.
【详解】图中阴影部分表示，，则或，
因为
所以，
故选：D．
3. 下列与函数是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案.
【详解】函数定义域为R.
对A，函数定义域为，故错误；
对B，函数定义域为，故错误 ；
对C，函数定义域为R，函数为，对应关系不同，故错误；
对D，函数定义域为R，函数可化简为，故正确.
故选：D.
4. 已知，，则角的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，即可求解.
【详解】由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，
可得角的终边位于第四象限.
故选：D.
5. 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.
【详解】命题p：因为，所以，解得，
命题q：，
因为p是q的充分不必要条件，
所以.
故选：C
6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求函数的定义域，判断是奇函数，故排除CD；再根据的值，排除A，从而B正确.
【详解】由，得，解得，
∴函数的定义域为，
∵，
∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD；
∵，故排除A，从而B正确.
故选：B.
7. 已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
详解】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调减函数，
∵函数偶函数，即，
∴函数的图像关于直线对称，∴，
又函数在上为单调减函数，∴，
即，∴，
故选：C.
8. 中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（ ）（附：）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.
【详解】当时，；
当时，信道宽度变为原来倍，.
因为.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 的角与角终边重合
B. 命题“”的否定是“”
C. 已知，且满足，则的最小值为16
D. 关于的一元二次不等式的解集为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用终边相同角的集合判断A；根据全称命题的否定是特称命题判断B；利用1的妙用，结合基本不等式判断C；解不等式可求得，即可判断D.
【详解】∵，∴的角与角终边重合，故A正确；
∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“”的否定是“”，故B正确；
已知，且满足，
则，
当且仅当取等号，则的最小值为18，故C错误；
解不等式得，则，得，故D正确.
故选：ABD.
10. 若扇形周长为36，当这个扇形面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A. 扇形的圆心角为2rad
B. 扇形的弧长为18
C. 扇形的半径为9
D. 扇形圆心角所对弦长为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，弧长公式，及二次函数最值可得解.
【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为，
所以扇形弧长为，
所以面积，
当时，面积有最大值，（rad）
此时，，圆心角弧度数，
所对弦长为.
故选：ABC
11. 已知函数且），若，则使不等式成立的解可能是（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】BCD
【解析】
【分析】由条件可得是偶函数，当时是增函数，根据奇偶性及单调性解不等式即可.
【详解】且）的定义域为，
∵，∴是偶函数，
若，则，得，
∴当时，是增函数，
不等式，即，
∴，即，即，解得，
故BCD符合题意.
故选：BCD.
12. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 存在最大值D. 图象关于对称
【答案】CD
【解析】
【分析】求出的定义域，化简函数的解析式，利用二次函数与对数函数的性质，以及复合函数单调性，判断各选项即可．
【详解】由且，得，即的定义域为，
，
令，，则，
二次函数的图象开口向下，对称轴为，
从而图象关于对称，故D正确；
∵在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
∴在上单调递增，在上单调递减，故AB错误；
∵，当时，有最大值1，所以有最大值0，故C正确.
故选：CD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意得且，
∴函数的定义域是.
故答案为：.
14. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：2.
15. 已知幂函数在上单调递增，当时，方程有两个不同的实数解，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组，计算可得答案.
【详解】幂函数，则，解得或，
当时，，在上单调递减，舍去；
当时，，在上单调递增，符合题意，
综上，.
由，得，
由题意，当时，方程有两个不同的实数解，
令，图象开口向上，对称轴是，
则，即，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知函数，若函数有两个零点，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的性质得出，建立方程用表示，结合二次函数的性质计算即可.
【详解】的零点等价于与交点的横坐标，易知在定义域上单调递减，结合一次函数性质可得如下函数图象，

故，，
所以①，
令，则①=，
由二次函数的性质可知当时取得最小值，没有最大值，
故.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解；
（2）利用对数的运算性质求解．
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
18. 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，
【解析】
【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合；
（2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选③，分析可得，同①.
【小问1详解】
解：当时，，或，
所以，，因此，.
【小问2详解】
解：若选①，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选②，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选③，由可得，
当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，.
19. 已知，求下列各式的值.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正余弦函数齐次式化简为正切即可得解；
（2）利用同角三角函数的基本关系化简求解.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
即，
∴，
∵，∴，即，
∴，
∴.
20. 设，
（1）若的解集为，求实数的取值范围；
（2）解关于不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，分为与两种情况讨论即可得到结果；
（2）将原不等式化为，然后分为进行分类讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
，若的解集为，则不等式在上恒成立，
①当时，不恒成立；
②当恒成立等价于，即，解得.
综上：实数的取值范围是.
【小问2详解】
不等式，等价于.
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或.
综上：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．

（1）试求的函数关系式；
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
【答案】（1）
（2）老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，从而得解；
（2）分，，由求解即可
【小问1详解】
由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，．
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，．
则.
【小问2详解】
由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，
解得：.
当时，令，
解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
22. 已知函数，．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若函数的最小值为-4，求m的值．
【答案】（1）
（2）-3
【解析】
【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集；
（2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m值.
【小问1详解】
时，由得，
，，
因为，所以，解得，
所以原不等式的解集为．
【小问2详解】
因为，
令，因为，
所以，（当且仅当时取得等号）
则，，
①当，即时，在上单调递增，
当，即时，，
所以，解得，符合题意；
②当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
当，，
所以，解得，不合题意，舍去．