2023-2024学年河北省邢台市质检联盟高一上学期第三次月考（11月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省邢台市质检联盟高一上学期第三次月考（11月）数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解方程，再结合充分不必要条件定义判断即可.
【详解】由，解得或2，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“0”、“1”分析判断.
【详解】因为在上单调递增，且，则，即，
又因为在上单调递减，且，则，即，
又因为在上单调递减，且，则，即，
所以.
故选：B.
4．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
5．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解.
【详解】由，解得，
故函数的定义域为，
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为减函数，
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
6．某工厂准备建造一个长方体无盖的蓄水池，其容积为7200立方米，深度为2米.已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为80元，则该蓄水池的最低造价为（ ）
A．793200元B．745800元C．739200元D．758400元
【答案】D
【分析】根据已知条件列式，再应用基本不等式求解即可.
【详解】设蓄水池底面长为米，宽为米，总造价为元，则，得.
根据题意可得.
因为，所以，
当且仅当时，等号成立.故该蓄水池的最低造价为758400元.
故选：D.
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值法排除即可求解.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，排除选项.
因为，所以排除选项.
当时，，则，排除选项D.
故选：C
8．已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解.
【详解】由题意知：，
可得，
且，即，
令，不妨设，可得，则，
即，所以在上单调递减，
则不等式，且，转化为，
因为，所以，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题
9．下列函数的零点仅为0的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据零点的概念，令运算求解即可判断.
【详解】对于A：令，解得，所以函数的零点仅为0，故A正确；
对于B：令，解得，所以函数的零点仅为0，故B正确；
对于C：令，解得或，所以函数的零点为0或7，故C错误；
对于D：令，解得或（舍去），
可得，所以函数的零点仅为0，故D正确；
故选：ABD
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．若，则
C．的最小值为
D．若正数满足，则
【答案】ABD
【分析】根据存在量词命题（特称命题）的否定即可判断A；根据集合间的包含关系可得，进而求解即可判断B；由，令，结合对勾函数的单调性求解即可判断C；根据基本不等式即可求解判断D.
【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确；
对于B，令，解得或2，
当时，，不满足元素的互异性，不符合题意，
当时，，满足题意.
综上所述，，故B正确；
对于C，由，
令，则，
因为函数在上单调递增，
则时，取得最小值为，
即的最小值为，故C错误；
对于D，由，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
11．已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】根据题意，令令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得，
再令，得到，可判定D正确.
【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有，
对于A中，令，得，所以A正确；
对于B中，令，得，则，所以B正确；
对于C中，令，得，
再令，得，
可得，所以C错误.
对于D中，令，得，则，
再令，得，则为奇函数，所以D正确.
故选：ABD.
12．已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】AB
【分析】根据题意，分别求得函数在两段区间上的单调性，画出函数图象，根据方程根的个数可知方程的两个不相等的实数根，满足，即可得，可得，即可得出结论.
【详解】当时，.
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由，得；
当时，单调递增，，如下图所示：
令，当或时，方程只有一解；
当时，方程有两解；
当时，方程有三解.
方程有四个不相等的实数根，
等价于关于的方程有两个不相等的实数根，，且.
令，
因为，所以，
即，得，此时，
故的取值范围为.
故选：AB
三、填空题
13．已知函数是定义在上的偶函数，则 .
【答案】1
【分析】根据奇偶函数的定义域的对称性列式求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故答案为： 1.
14．若幂函数的图象过点，则 .
【答案】2
【分析】根据幂函数的解析式和性质，求的解析式进而可得函数值
【详解】由题意得，则，由，得.
故答案为：2.
15．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为100元，则此户居民本月用水量为 立方米.
【答案】20
【分析】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，设此户居民本月用水量为立方米，列出方程求解即可.
【详解】因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，
设此户居民本月用水量为立方米，且，则，解得.
故答案为：20.
16．已知实数满足，则 .
【答案】36
【分析】根据函数单调性利用试根可求得，，即可得.
【详解】易知函数为增函数，
且，得；
由函数为增函数，且，得；
所以.
故答案为：36
四、解答题
17．（1）求值：.
（2）已知正数满足，求的值.
【答案】（1）3（2）
【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可；
（2）根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：（1）原式.
（2）因为，所以.
所以.
18．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明.
【答案】(1)
(2)为奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据对数的性质即可列不等式求解，
（2）根据奇偶性的定义，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）由
解得或，
故的定义域为.
（2）为奇函数.
由（1）知的定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以为奇函数.
19．已知函数且的图象与轴交于点，且点在一次函数的图象上.
(1)求的值；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数过点Q列式求参即可；
（2）把不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.
【详解】（1）因为点在轴上，且在一次函数的图象上，
所以点的坐标为，
所以，
又，所以.
（2）因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以对恒成立
即对恒成立.
当时，，
所以，即的取值范围为.
20．小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）
【答案】(1)，
(2)54天
【分析】（1）由题意可得，进而结合指数与对数的相互转化求解即可；
（2）令，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）依题意可得，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，则.
（2）令，
得，
故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.
21．已知函数.
(1)求的值；
(2)设函数，证明：在上有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先计算得出，再分组求和得出函数值即可；
（2）先判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）
因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，
，
所以，
所以，即在上有且仅有一个零点.
22．已知函数且.
(1)若的值域为，求的取值范围.
(2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）首先设函数的值域为，根据对数函数定义域和值域的关系，可得，讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）分，和三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数的值.
【详解】（1）设函数的值域为，因为的值域为，所以.
当时，的值域为，符合题意.
当时，由，解得.
综上，的取值范围为.
（2）当时，，因为，所以不符合题意，舍去.
当时，，不符合题意.
下面只讨论的情况.
若，则在上单调递增，由，
解得，
此时，
得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.
若，则在上单调递减，
由，解得，
此时，
得，则当，即时，存在，符合题意.
综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.
每户每月用水量
水价
不超过12立方米的部分
4元/立方米
超过12立方米但不超过18立方米的部分
6元/立方米
超过18立方米的部分
8元/立方米