2023-2024学年河南省新乡市原阳县第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省新乡市原阳县第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解指数不等式化简集合N，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.
【详解】依题意，，而，
对于A，，因此，A是；
对于B，，因此，B不是；
对于C，，因此或，C不是；
对于D，或，因此或，D不是.
故选：A
2．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】解：因为，，即，
，
所以.
故选：A
3．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】B
【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可.
【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求；
当时，即有，解得且；
综上所述，.
故选：B.
4．若规定，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意化简，直接求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
解得或，
故选：D
5．在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是（ ）
A．y＝m(1－x)2B．y＝m(1＋x)2C．y＝2m(1－x)D．y＝2m(1＋x)
【答案】A
【解析】根据指数函数模型列式求解．
【详解】第一次降价后价格为，第二次降价后价格变为．
故选：A．
【点睛】本题考查指数函数模型的应用，平行增长率问题．属于基础题．
6．已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】 ，，，再比较的大小.
【详解】，，，，故选A.
【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.
7．某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A．2026年B．2027年C．2028年D．2029年
【答案】C
【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.
【详解】设第年获利元，则是正整数，年是第一年，
故，解得
故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元.
故选：C
8．定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据＜0，得到在上递减，然后由，得到， 将不等式转化为求解.
【详解】因为定义在上的函数满足：＜0，
所以在上递减，
因为，
所以，
因为不等式，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、多选题
9．已知函数的值域为，则的定义域可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据的图象求得正确答案.
【详解】画出的图象如下图所示，由解得，
的图象是函数的图象的一部分，
依题意，的值域为，
由图可知，的定义域可以是、.
故选：AB
10．已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．
故选：ABC.
11．（多选）已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意求出的定义域，将的解析式中绝对值符号去掉，结合二次函数的图象与性质即可判断.
【详解】因为函数的定义域为，对称轴为直线，开口向下，所以函数满足，所以.
又且图象的对称轴为直线，所以由二次函数的图象与性质可知，函数的单调递增区间是和.
故选BC.
【点睛】本题主要考查含绝对值的二次函数的单调性问题，注意数形结合思想的应用，属于提升题.
12．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】AB
【分析】先作出函数的图像，有三个不同的实数根，化为函数与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.
【详解】解：作出函数图像如下：
又有三个不同的实数根，
所以函数与直线有三个交点，
由图像可得：.
故选：AB
三、填空题
13．已知奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为 ．
【答案】9
【详解】由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，
因为f(x)是奇函数，所以f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9.
答案：9.
14．若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
15．若正数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.
【详解】因为正数，满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值9，则的最大值为．
故答案为：
四、双空题
16．设函数，，（其中），
（1） ；
（2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，推得，即可求得的值，作出函数和的图象，结合和，结合图象，即可求得的取值范围.
【详解】由题意，函数，
所以；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得，
画出函数和的图象，如图所示，
由，可得；又由，可得，
由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：；.
五、解答题
17．求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】（1）解：根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（2）解：由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：
.
18．（1）已知集合，满足，，求实数，的值；
（2）已知集合，函数的定义域为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题目条件得到，从而得到方程组，求出实数，的值；
（2）先根据对数函数的定义域得到，分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1），，故，
故，解得；
（2）由题意得，解得，故，
，当时，，解得，
当时，需满足或，
解得或，
综上，实数的取值范围是.
19．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1（2）
【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可
【详解】（1）时， ，
令可得，即．
的零点是．
（2）令，显然，则．
有两个零点，且为单调函数，
方程在上有两解，
，解得：．
的取值范围是．
【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题
20．某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为，，其中为污水治理调节参数，且．
(1)若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
(2)规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？
【答案】(1)一天中早上点该厂的污水污染指数最低
(2)调节参数应控制在内.
【分析】（1）时，令，解得即可得出；
（2）利用换元法，再利用函数的单调性即可得出.
【详解】（1）因为，.
当时，，即，解得.
所以一天中早上点该厂的污水污染指数最低.
（2）设，则当时，.
设,
则,
在上是减函数，在上是增函数，
则,
因为,
则有 ，解得，
又，故调节参数应控制在内.
21．（1）对任意，函数的值恒大于0，求实数的取值范围；
（2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）化简后分离参数，求出函数的最小值即可得解；
（2）转化为二次不等式恒成立，利用判别式建立不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，当时，恒成立，
则，
因为，所以，
所以，由单调递减，知当时，，
即.
（2）因为对于任意的成立，
所以对于任意的成立.
即恒成立，
由二次不等式的性质可得，
，
所以，解得.
故实数入的取值范围为.
六、证明题
22．已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）
(1)求m；
(2)证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点；
(3)若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．
【答案】(1)0.
(2)见解析；
(3)2.
【分析】（1）根据，单调性求出最小值，两个最小值相等求出m的值.
（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.
（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为，，之间的关系，转化为即可求解.
【详解】（1）由，
时，
时
则在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
时，，
时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
，
即
令，
所以在定义域上单调递增，
因为，
所以解得.
（2）由（1）知，即；
因为，
所以当时，考虑与解的个数，
根据，单调性作图如下：

易知时，；时，；
时，；时，；
则在区间与各有一个根，
在区间与各有一个根，
要证：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点，
即证：在上有交点.
当时，
令
，所以在上单调递增，
，，
所以存在，使，
即在上有交点，得证.
所以存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点.
（3）
如图与函数，恰好共有三个不同的交点，
三个交点的横坐标分别为，，，，
则有，
因为
而单调递减，所以，
因为，
而单调递增，所以，
又因为.
所以.
【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.