2023-2024学年江苏省苏州市昆山中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市昆山中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，可得，解得，即可判断出结论．
【详解】由，可得，解得，
因为，所以是“”的充分不必要条件.
故选：A．
2．已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，解得.
即实数的取值范围是.
故选：A.
3．不等式解集是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】直接解不等式即可.
【详解】由，得，
解得，即，
故选：B.
4．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求解集合A,然后进行交集补集运算即可.
【详解】集合,
或,则
故选：C
5．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由区间单调性及二次函数性质求参数范围即可.
【详解】由开口向上且对称轴为，在上是增函数，
所以，即.
故选：A
6．已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，对恒成立，可得，再结合基本不等式可求得最大值.
【详解】设，，当时，，
又在上恒成立，所以，
所以由基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A.
7．已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.
【详解】的定义域为A，
所以，
所以或，
①当时，,
满足，
所以符合题意；
②当时，
，
所以若，
则有或，
所以或（舍）
③当时，
，
所以若，
则有或（舍），
，
综上所述，，
故选：B.
8．已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，分析出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出，即可求得原不等式的解集.
【详解】令，则，
对任意的、，总有，则，
令，可得，可得，
令时，则由，即，
当时，，即，
任取、且，则，即，即，
所以，函数在上为增函数，且有，
由，可得，即，
所以，，所以，，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：A.
二、多选题
9．集合，，若，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】分类讨论：当时，；当时，分别讨论中元素为1和-1两种情况，依次求解.
【详解】由题：
当时，符合题意；
当时，，或
所以，或1，所以实数的取值为，0或1.
故选：ABC.
【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的值，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，依次分类讨论即可避免此类问题.
10．在下列函数中，既具有奇偶性又在区间上为增函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性逐项分析即可.
【详解】函数的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
函数是偶函数，且在区间上为增函数，故B正确；
函数，是偶函数，且在区间上为增函数，故C正确；
函数，是偶函数，且在区间上为增函数，故D正确；
故选：BCD.
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
12．下列命题中为真命题的是（ ）
A．函数与不表示同一个函数
B．“”的充要条件是
C．不等式的解集为
D．若，，且满足，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】选项A：函数定义域不同，进而判断函数不同即可；
选项B：分析集合间的关系判断；
选项C：对进行分类讨论进行判断；
选项D：将变形为：，然后利用1的代换，根据基本不等式求解；
【详解】选项A: ，定义域为,定义域不同，不表示同一函数，选项正确；’
选项B：即，即，两者等价，故“”的充要条件是，选项正确；
选项C：，当时，无解；当时，解集为；
当时，解集为，选项错误；
选项D：若，，且满足，所以，
所以
所以
当且仅当即且时取等号，选项正确；
故选:ABD
三、填空题
13．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将为假命题转化为为真命题,分离参数求解即可.
【详解】 “”为假命题即为 “”为真命题,
则在区间上有解,
设，
函数的对称轴为，且,
当时函数取得最大值为.
．
故答案为：.
14．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】二次函数在[－2，＋∞)上是增函数，则二次项系数为正，且对称轴不大于－2.另外还要讨论的情形.
【详解】时，函数在给定区间上是增函数；时，函数是二次函数，对称轴为，
由题意知，∴，综上．
【点睛】实际上对二次函数，当时，函数在递减，在上递增，当时，函数在递增，在上递减.
15．已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
【详解】解：因为，，且，
所以，
则
，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值．
故答案为：．
16．已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据题意可得，，进而将原不等式转换为不等式组，解之即可.
【详解】由题意知，
，，
故答案为：.
四、解答题
17．设，已知集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，由并集的定义即可得出答案.
（2）由“”是“”的必要条件可得，则，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由可得，即，则，
时，.
（2）由“”是“”的必要条件可得，
则，则，实数的取值范围是.
18．已知集合，，若.
(1)求实数，的值；
(2)当，，且满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）依题意可得，，即可得到，的方程，解得，的值；
（2）原不等式等价为，运用基本不等式可得最小值，然后解关于的不等式，得到的取值范围．
【详解】（1）解：因为，且，
所以，，
所以，，可得，
所以，；
（2）解：由（1）可得，，且，所以，
不等式恒成立，等价为，
由，
当且仅当，上式取得等号．
则，解得，
即的取值范围是．
19．已知函数的定义域为.
(1)根据单调性的定义，证明在上是增函数；
(2)若函数是上的减函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据函数的单调性的定义即得；
（2）由题可得，进而可得在上恒成立，然后求函数的最值即得.
【详解】（1），，且，
则，
由于，且，
所以，，，
所以，
则有，
即，
所以在上是增函数；
（2）由于函数是上的减函数，且，
所以，
又，所以，即在上恒成立，
由（1）可知在上是增函数，
所以，
即的取值范围为.
20．某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本)
【答案】(1)20元
(2)当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元
【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价.
（2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价.
【详解】（1）设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶，
所以提价少月销售总利润为万元．
因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润，
所以，即，
所以，所以售价最多为(元)，
故该饮料每瓶售价最多为20元．
（2）由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为，
整理得
因为，所以，
所以，
当且仅当时取到等号，
故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元．
21．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，函数在有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案.
（2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】（1）若恒成立，则恒成立.
当时，不恒成立；
当时，，解得：.
实数的取值范围为：.
（2）当时，在有解，
即在有解，
因为的开口向上，对称轴，
①即，时，函数取得最小值，即，
∴.
②即时，当取得最小值，此时，
解得.
③当即时，当时取得最小值，此时，
解得，
综上，或.
所以的范围为.
22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【详解】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间上单调递增,且值域也为满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设是已知函数定义域的子集,我们可以用表示出的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.
试题解析：（1）y=x2在区间[0，1]上单调递增．
又f（0）=0，f（1）=1，
值域为[0，1]，
区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程的同号的相异实数根．
x2﹣3x+5=0无实数根，
函数不存在“和谐区间”．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
x≠0，
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程，即的同号的相异实数根．
，
m，n同号，只须，即a＞1或a＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m，n]，
当a=3时，n﹣m取最大值
【解析】1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.
【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．