2023-2024学年辽宁省阜新市高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省阜新市高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的描述法结合交集的运算分析求解.
【详解】由，解得
所以．
故选：B．
2．函数的定义域是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解析式中的被开方数大于等于0，分母不为0，对数的真数大于0，从而列出关于的不等式组.
【详解】据题意，得，，且．
故选D．
【点睛】本题考查具体函数的定义域求法，考查基本运算求解能力，注意函数的定义域是集合或区间的形式.
3．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质及指数函数的单调性一一判定即可.
【详解】对A，由，所以，A正确；
对B，因为函数为增函数，，所以，B正确；
对C，取，，则，，，C错误；
对D，易知，，所以，D正确.
故选:C.
4．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由幂函数的定义即可求解.
【详解】由于幂函数的一般表达式为：；
逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.
故选：C.
5．设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质，补全图象，结合图象解不等式组或即可.
【详解】解：因为函数是奇函数，
所以在上的图象关于坐标原点对称，
由在上的图象，知它在上的图象如图所示，
则不等式或，
结合图象可得两不等式组的解集为.
即的解集为.
故选:D.
6．已知实数a，b满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分性和必要性判断.
【详解】由得，即，又，所以，所以，充分性成立；
显然由，可得，必要性成立，
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．已知函数，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为偶函数，，
又当时，单调递减，
由以及，
可得，
即．
故选:D．
8．已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性解不等式得出的取值范围.
【详解】当时，在上单调递增；
当时，易知函数在上单调递增，且.
即函数在上单调递增，
因为，
所以，即
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ACD
【分析】根据指对数的运算即可判断.
【详解】根据任何不为0的数的0次方为1，真数为1，对数运算为0，故A正确，
，，故B错误，
，故C正确，
，故D正确.
故选：ACD.
10．下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最小值为2
【答案】AB
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
B：当时，，当且仅当时，即时等号成立，故本选项正确；
C：当时，显然不成立，因此本选项不正确；
D：因为，当且仅当时，此时无实数解，故取不到等号，所以本选项不正确，
故选：AB
11．在同一平面直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由函数与都过，即可判断D，再由指数函数与对数函数的单调性，即可得到结果.
【详解】函数与的图像都过定点，故D错误；
又因为与单调性相反，故B错误，AC正确.
故选：AC.
12．已知函数（，且），则（ ）
A．有两个零点B．不可能为偶函数
C．的单调递增区间为D．的单调递减区间为
【答案】ABD
【分析】由函数可知，定义域为，故为非奇非偶函数，令，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间.
【详解】对于A，令，则或，所以或有两个零点，A正确；
对于B，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；
对于C，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．命题“”的否定是 .
【答案】
【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得其否定.
【详解】根据“”的否定是“，
可得命题“”的否定是“”.
故答案为：
14．函数（且）的图象恒过定点是 .
【答案】
【分析】先求出时，为定值，从而求出函数图象所过定点.
【详解】当，即时，为定值，此时，
故（且）的图象恒过定点.
故答案为：
15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的性质将原不等式转换为，再结合对数函数的单调性求解即可
【详解】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数．，∴．则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为．
故答案为：
16．已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 .
【答案】
【分析】分离常数后，不等式可化为，变形后，利用基本不等式求出右边函数的最大值即可.
【详解】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，所以，
所以在上恒成立，
又，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，故a的最小值为.
故答案为：
四、计算题
17．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)1
(2)7
【分析】(1)根据分数指数幂的定义和根式的运算性质化简；
(2)根据对数的运算法则和性质运算即可.
【详解】（1）因为，所以，，
所以原式；
（2）
.
五、解答题
18．设集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，若且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.
（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得.
【详解】（1），且，所以.
若，此时，解得；
若，此时，且，解得，
则实数的取值范围是.
（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数.
或，，要使中至少存在一个整数，
则，解得，则实数的取值范围是.
六、证明题
19．函数和的大致图象如图所示，两个函数的图象在第一象限内的交点为．
(1)指出图中曲线分别对应哪一个函数（无需证明）；
(2)比较的大小，并按从小到大的顺序用“