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2023-2024学年四川省达州外国语学校高一上学期11月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年四川省达州外国语学校高一上学期11月月考数学试题含答案,共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题,作图题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.设全集,集合,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】由交集运算可得.
【详解】因为集合,,
所以,
故选:C.
2.命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】命题“,”的否定是:,,
故选:B
3.“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】首先解不等式,再根据集合的包含关系判断充分必要条件.
【详解】
解得:或
“”“或”,但反过来不成立,
“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
【点睛】本题考查命题以集合形式时,判断充分不必要条件,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.
4.函数的定义域是( )
A. B.C.D.
【答案】D
【分析】根据对数对定义域的要求,可得关于的不等式,解不等式即可.
【详解】函数
根据对数对定义域要求可知,
解不等式可得,即
故选:D
【点睛】本题考查了对数函数定义域的求法,指数不等式的解法,属于基础题.
5.已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系,由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为,,,
因此.
故选:A.
6.已知的大致图象如图所示,则函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】根据函数的大致图象,得到,再结合指数函数的图象和图象的变换,即可求解.
【详解】根据函数的大致图象,可得,
所以函数的图象,可由函数的图象向下平移(其中)个单位长度得到,
结合指数函数的图象,可得函数的图象大致为选项A中的图象.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质,指数函数的图象,以及函数的图象的变换的综合应用,着重考查数形结合思想的应用,属于基础题.
7.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的( )倍.(当较小时,)
A.1.27B.1.26C.1.23D.1.22
【答案】B
【分析】把已知数据代入公式计算.
【详解】由题意,,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查数学新文化,考查阅读理解能力.解题关键是在新环境中抽象出数学知识,用数学的思想解决问题.
8.定义在上的偶函数在区间上单调递减,且,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解,再分解为或,两种情况分别求解即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减,
所以在上单调增,
又,
所以可化为
可得,解得:或,
同理可得的解:,
由可得或,
解得:或,
则不等式的解集为,
故选:A.
二、多选题
9.下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是( )
A.B.
C.D.
【答案】AC
【分析】根据奇偶性的定义和单调性可得答案.
【详解】对A,,,定义域关于原点对称,
,是奇函数,且其为反比例函数,在单调递减,A正确;
对B,,定义域为,,不是奇函数,B错误;
对C,,定义域为,,是奇函数,且在单调递减,C正确;
对D,,由,知,,不满足在区间单调递减,故D错误.
故选:AC
10.已知实数,则下列说法正确的有( )
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
【答案】ABC
【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.
【详解】选项A:因为,所以,故A 正确;
选项B:因为,,
所以,故B正确;
选项C:因为,
所以,所以,故C正确;
选项D: ,取,
故D错误;
故选:ABC.
11.已知都是正实数,且.则下列不等式成立的有( )
A.B.
C.D.
【答案】ACD
【分析】对于已知条件的等式,求解相关解析式最值的题型,有的可以直接利用基本不等式求解,如A项;有的需要常值代换,构造积为定值求解,如B项;有的需要将条件等式两边平方再用基本不等式求解,如C项;有的需将所求解析式取平方后求解,如D项.
【详解】对于A选项,因都是正实数,且,由基本不等式可得,当且仅当时等式成立,故A项正确;
对于B选项,因,则,即当且仅当时等式成立,故B项错误;
对于C选项,因当且仅当时等式成立,故C项正确;
对于D选项,由因,故有,当且仅当时等式成立,
故D项正确.
故选:ACD.
12.定义在上的偶函数满足:,且对于任意,,若函数,则下列说法正确的是( )
A.在上单调递增B.
C.在上单调递减D.若正数满足,则
【答案】ABD
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC,根据单调性比较大小判断B,根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意,,
所以,所以在上单调递增,故选项A正确;
因为的定义域为,所以,
所以为奇函数,所以,由在上单调递增,
所以,故选项B正确;
对于任意,
,
因为,,所以,所以,
所以在上单调递增,故选项C错误;
,即,
又,所以,
因为在上单调递增,所以,
解得,即,故选项D正确.
故选:ABD
三、填空题
13.函数的图像过定点 .
【答案】
【分析】由对数函数的性质直接得答案.
【详解】令得,,
所以函数过定点,
故答案为:.
14.已知,则 .
【答案】
【分析】换元令再代入求解即可.
【详解】令,则,故.
故答案为:
15.已知是上的减函数,那么的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题设可得不等式组,解之得,应填答案.
点睛:解答本题的关键是借助题设条件,建立不等式(组),容易出错的是忽视第三个不等式的建立,因为函数的单调递减很容易想到不等式组中第一与第二个,但第三个不等式更为必要,尤其是其中的等号也会考虑不到而致错.
16.正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式变形得到,由基本不等式“1”的妙用求出,从而得到,从而得到不等式,求出实数m的取值范围.
【详解】,变形为,
其中,则,
故,
当且仅当,即时,等号成立,
其中,
故,
所以,解得:.
故答案为:.
四、解答题
17.计算:
(1);
(2).
【答案】(1)5
(2)
【分析】(1)根据指数运算公式直接化简即可;
(2)利用对数运算公式和换底公式化简可得.
【详解】(1).
(2)
.
18.已知函数
(1)求的值;
(2)若,求.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)根据给定函数,先求,再求即可;
(2)根据给定条件按和分段讨论计算作答.
【详解】(1)依题意,,,
所以的值是2;
(2)因,依题意有,解得,或者,无解,于是得,
所以.
19.已知集合,,
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【详解】试题分析:(Ⅰ)两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合,并集为所有元素构成的集合,A的补集为全集中除去A中的元素,剩余的元素构成的集合;(Ⅱ)由得到,对集合C是否为空集分两种情况讨论可分别求解m的取值范围
试题解析:(Ⅰ)
……………………6分
(Ⅱ)∵ ∴
①当时,∴ 即
②当时,∴ ∴ ZXXK]
综上所述:的取值范围是 即 ………………12分
【解析】集合运算及子集关系
五、作图题
20.已知是定义在上的奇函数,且当时,.
(1)求函数在上的解析式;
(2)作出函数的草图(不用列表),并指出它的单调递减区间;
(3)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)图象见解析,;(3).
【分析】(1)先分析时,,即可求解出的解析式,然后由奇函数的性质运算即可得解;
(2)作出图象,数形结合即可得函数的单调递减区间;
(3)根据函数的单调性,数形结合即可得关于的不等式,由此可求解出的取值范围.
【详解】(1)∵是定义在R上的奇函数,∴,
又当时,,
当时,
∵满足,;
(2)作出函数的图象如图所示:
由图象可知,函数的单调递减区间为;
(3)在区间上单调递增
由函数的图象可得,解得
的取值范围为.
【点睛】方法点睛:利用函数奇偶性求解函数解析式的方法(已知奇偶性以及的解析式):
(1)先设,则,根据的解析式求解出;
(2)根据函数的奇偶性,得到与的关系,由此求解出时的解析式;
(3)结合(1)(2)可求解出的解析式.
六、解答题
21.已知函数f(x)=|2x﹣3|+x+1.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当x≥1时,关于x的不等式f(2x)<4x+2a恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)f(x)的最小值为1(2)(0,+∞)
【分析】(1)根据绝对值的意义,将绝对值符号去掉,分段研究函数的单调性,从而求得函数的最小值;
(2)当x≥1时,2x≥2,所以f(2x)<4x+2a即为3•2x﹣2<4x+2a,即2a>3•2x﹣2﹣4x,利用换元,令t=2x,t≥2,式子可转化为2a>﹣t2+3t﹣2,利用最值求得结果.
【详解】(1)当x时,f(x)=3x﹣2,f(x)递增,可得f(x)≥1;
当x时,f(x)=4﹣x,f(x)递减,可得f(x),
则f(x)的最小值为1;
(2)当x≥1时,关于x的不等式f(2x)<4x+2a恒成立,
可得2x≥2,f(2x)<4x+2a即为3•2x﹣2<4x+2a,
即2a>3•2x﹣2﹣4x,令t=2x,t≥2,可得2a>﹣t2+3t﹣2,
设g(t)=﹣t2+3t﹣2,t≥2,可得g(t)在[2,+∞)递减,g(t)的最大值为g(2)=﹣4+6﹣2=0,
可得2a>0,即a>0,
则a的取值范围是(0,+∞).
【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有含有绝对值的式子,去掉绝对值符号研究函数的单调性求得其最值,恒成立问题向最值靠拢,属于简单题目.
22.已知函数是偶函数.
(1)求实数的值;
(2)设, 若函数与的图象有且仅有一个公共点, 求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)由偶函数得对恒成立,结合对数运算性质化简可求解;
(2)化简,则,令,则命题等价于有且只有一个正根,结合判别式与韦达定理求解即可
【详解】(1)∵为偶函数,∴对任意,有,
∴对恒成立.
∴对恒成立,
∴对恒成立,∴.
(2)由(1)知,,
∴由题意知有且只有一个实数根.
令,则关于t的方程(*)有且只有一个正根.
若,则,不合题意,舍去;
若,则方程(*)的两根异号或方程有两相等正根.
方程(*)有两相等正根等价于,解得.
方程(*)的两根异号等价于,解得.
综上所述,实数a的取值范围是.
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