2023-2024学年四川省眉山市彭山区第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省眉山市彭山区第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，
“，”的否定是，.
故选：B
2．函数（且）的图象过定点（ ）
A．（0，－2）B．（0，－1）C．（1，－2）D．（1，－1）
【答案】D
【分析】根据指数函数的定义，令即可求解.
【详解】依题意，因为（且），
所以令，解得：，
所以，
所以函数（且）的图象过定点.
故选：D.
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法及并集的定义即可求解.
【详解】由，即，解得，
所以.
所以.
故选：B.
4．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性和单调性逐个判断即可.
【详解】对于A：，是偶函数，在区间上随着的增大减小，所以在上是减函数，A错误；
对于B：易知是非奇非偶函数，B错误；
对于C：，所以是奇函数，C错误；
对于D：，所以是偶函数，且在区间上随着的增大增大，所以在上是增函数，
故选：D
5．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以．
故选：A
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题函数在上单调递减，则 解之得
故选C
7．下列可能是函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.
【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当时，，排除选项D，
故选：C.
8．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别计算出与的最大值，满足即可.
【详解】，，有，解得，即A正确.
故选：A.
二、多选题
9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】根据相等函数的定义域、值域和对应关系均相同判断即可.
【详解】对于A，由于的定义域为，的定义域为，故A错误；
对于B，由于，与的定义域与值域均为，且对应关系也相同，故B正确；
对于C，由于的定义域为，的定义域为，故C错误；
对于D，由于与的定义域均为，值域均为，且对应关系也相同，故D正确.
故选：BD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【详解】选项A：由，可得.判断正确；
选项B：令，
满足，但是
则不成立.判断错误；
选项C：由，可得，
则不等式两边均除以可得.判断正确；
选项D：
又，则，
则，则.判断正确.
故选：ACD
11．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．的最大值为
C．的图象关于成中心对称
D．不等式对一切实数恒成立的充要条件是
【答案】AC
【分析】对A：注意定义域是的范围即可得；
对B：借助复合函数的单调性即可得；
对C：先将函数化简后利用图象的平移性质即可得；
对D：注意二次项系数是否为，分类讨论即可得.
【详解】对A：由的定义域为，即中满足，即，故A正确；
对B：由，故，故有最小值为，故B错误；
对C：由，可看成由函数先向左平移两个单位长度，
再向上平移一个单位长度得到，又的图象关于中心对称，
故函数的图象关于成中心对称，故C正确；
对D：当时，有恒成立，即时，恒成立，故D错误.
故选：AC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．若是定义在上的幂函数，则
C．函数在内单调递增，则的取值范围是
D．若，则
【答案】BC
【分析】A、C由指数函数、复合函数单调性判断、求解；B由幂函数的性质判断；D换元法求解析式，注意定义域.
【详解】A：，在上递增，在上递减，
在定义域上递增，故的单调递增区间为，错；
B：由是定义在上的幂函数，则必过，故，对；
C：由，则上递增，上递减，
在定义域上递增，故在内单调递增，则，
所以的取值范围是，对；
D：令，则，故，
所以且，错.
故选：BC
三、填空题
13．已知幂函数在区间上单调递增，则 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可.
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，
所以，解得.
故答案为：
14．已知函数，且，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性化简求值.
【详解】设，则为奇函数，
且，
又，则，
所以，
，
故答案为：.
15．已知，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】设,则解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案为：.
16．已知定义在上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，，不等式恒成立，则不等式的解集为
【答案】
【分析】由题设得到为定义在上的奇函数，且，令，易得为偶函数，在上递减，在上递增，且，讨论不同区间上对应解集，即可得结果.
【详解】由函数的图象关于点中心对称，即关于原点中心对称，
所以为定义在上的奇函数，则，
令，则对任意，，恒成立，
所以在上递增，又，定义域为R，
所以为偶函数，在上递减，在上递增，且，
时，，在上，则；在上，则；
综上，不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题
17．计算下列各式的值．
(1)
(2)已知求的值．
【答案】(1)7；
(2)7
【分析】（1）根据指数幂运算即可；
（2）利用平方关系求解即可.
【详解】（1）原式；
（2），等号两边同时平方，得，
所以.
18．已知指数函数的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由指数函数所过的点求解析式即可；
（2）由指数函数的单调性有，即可求参数范围.
【详解】（1）设，则，解得，则；
（2）由在上单调递减，则，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
五、证明题
19．已知函数过点．
(1)求的解析式；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明．
(3)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)在区间上单调递增，证明见解析
(3)最小值为，最大值为.
【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式；
（2）利用定义法证明函数单调性；
（3）利用函数单调性，可函数在区间内的最值.
【详解】（1）由函数过点，有，
解得，所以的解析式为：．
（2）在区间上单调递增.
证明：，且，有
．
由，得．
则，即．
所以在区间上单调递增．
（3）由在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
六、解答题
20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）借助奇函数的性质即可得；
（2）由定义在上的奇函数有，再设出时有，即可代入求解；
（3）结合函数单调性与奇偶性即可得.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，可得．
又当时，，可得；
（2）当时，；
当时，，则，
又，可得时，．
所以；
（3）由的解析式可得奇函数在上单调递增，
所以即为，
化为，解得，
即的取值范围是.
七、应用题
21．某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)求函数的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案.
【详解】（1）根据题意，，化简得，
；
（2）由（1）得
，
当时，，
当时，，所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当时，，
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.
八、证明题
22．已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件：
①对任意x，，都有.
②当时，；
(1)求；
(2)判断在R上的单调性，并证明你的结论；
(3)已知，若，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)2023
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，可得答案；
（2）在上为减函数，利用单调性的定义证明即可；
（3）由原不等式可化为，利用单调性可得， 分离参数求解即可.
【详解】（1）令，，则，
所以.
（2）在上为减函数，证明如下：
设，则，
则
，
又，则，
所以，即，
故在上为减函数.
（3）由可得，，
即，
由在上为减函数可得对恒成立，
即，恒成立，
令，则，对称轴方程为，
所以当时，，故，解得.