2023-2024学年新疆阿克苏市实验中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆阿克苏市实验中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知集合A和集合B，由并集的定义直接得到集合
【详解】集合，集合，则集合.
故选：C
2．“”是的什么条件（ ）
A．必要不充分条件B．充要条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】根据，且得到答案.
【详解】因为成立能推出成立，但成立推不出成立，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：D
3．已知，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
4．一元二次不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法，准确计算，即可求解.
【详解】由不等式，解得或，
所以原不等式的解集为.
故选：A
5．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据偶次根式的被开方非负列式可解得结果.
【详解】由得，
所以函数的定义域为.
故选：B
6．下列既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性排除ABD，得到答案．
【详解】对选项A：的定义域为，，函数为奇函数，故A错误；
对选项B：既不是奇函数又不是偶函数，故B错误；
对选项C：的定义域为，，函数为偶函数，
且在上是增函数，故C正确；
对选项D：既不是奇函数又不是偶函数，故D错误；
故选：C.
7．已知函数，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】先求出，进而可得出答案.
【详解】由，得，
所以.
故选：A.
8．已知是偶函数，对任意的,都有，则下列关系式中成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：是偶函数在是减函数，所以
【解析】函数单调性奇偶性
二、多选题
9．下列命题是真命题的有（ ）
A．B．所有的正方形都是矩形
C．D．至少有一个实数x，使
【答案】ABD
【分析】利用配方法即可判断AC，利用正方形概念判断B，解二次方程判断D.
【详解】对于A，，，正确；
对于B，所有的正方形都是矩形，正确；
对于C，，，错误；
对于D，因为，所以，即有两个实数x，使，正确.
故选：ABD
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，那么D．已知，则
【答案】AD
【分析】根据不等式性质判断，或取特值验证即可．
【详解】由不等式的性质可知，若，则，故A正确；
若，当时有，故B错误；
若，满足，但是，故C错误；
由不等式的性质可知，若，则，故D正确．
故选：AD.
11．下列不等关系成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据幂函数，指数函数及对数函数的单调性判断.
【详解】∵在上单调递增，则，故A错误；
∵，，则，故B正确；
∵在上单调递增，则，故C错误；
∵在上单调递减，则，故D正确.
故选：BD.
12．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数是指数函数
B．函数的值域是
C．若，则
D．函数的图像必过定点
【答案】BD
【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.
【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.
选项B. 当时，，故B正确.
选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.
选项D. 由，可得的图象恒过点，故D正确.
故选：BD
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题.
三、填空题
13．函数恒过定点
【答案】（1,2）
【分析】根据指数函数的性质即可得到答案
【详解】函数过定点（0，1）
当时，
此时
故过定点
故答案为
【点睛】本题主要考查了指数函数恒过定点问题，结合函数特征即可计算出结果，本题属于基础题
14．已知，则的最小值是 .
【答案】
【分析】将表达式等价变形，利用基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
15．若关于的一元二次不等式的解集为，求实数的取值范围 .
【答案】
【分析】利用判别式列不等式求解．
【详解】∵关于的一元二次不等式的解集为，
∴，解得.
∴实数的取值范围.
故答案为：.
16．已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【答案】或或
【分析】根据、在上图象，结合奇偶函数的对称性判断上区间函数值的符号，再根据题设不等式求解集即可.
【详解】是偶函数，由图及偶函数对称性知：在上，上；
是奇函数，由图及奇函数对称性知：在上，上；
当时，有或，
∴所求不等式的解集是或或．
故答案为：或或.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据分数指数幂运算法则计算；
（2）由对数运算法则计算.
【详解】（1）
（2）.
18．已知函数.
(1)求的单调增区间；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据函数的图象的对称轴及开口向上确定单调增区间；
（2）根据二次函数的性质确定最大值.
【详解】（1）∵函数的图象是以直线为对称轴，且开口向上的抛物线，
∴的单调增区间是．
（2）∵函数在上单调递减，在上单调递增，，，
∴在区间上，的最大值为．
19．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数在区间上为增函数.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可；
（2）作差判断符号，利用函数的单调性的定义证明即可.
【详解】解：（1）是奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，，关于原点对称，
且，
是奇函数；
证明：（2）任取，，且，
则，
，，
，
即．
在，上单调递增.
20．已知函数，且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据得到，进而由真数大于0得到不等式，求出定义域；
（2）不等式变形得到，结合对数函数单调性和真数大于0得到不等式组，求出不等式的解集.
【详解】（1）因为，解得.
由题意可得，解得，故的定义域为.
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得.
故不等式的解集为.
21．已知幂函数
(1)求的解析式；
(2)若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.
【答案】(1)或
(2)减区间为和，无增区间.
【分析】（1）根据幂函数的定义计算的值，即可求出解析式；
（2）根据幂函数图象特征确定幂函数，然后根据反比例函数性质得到单调区间；
【详解】（1）由题意可知，解得或，
当时，；当时，；
综上，或
（2）因为图象不经过坐标原点，所以，
由反比例函数性质知，函数的单调递减区间为和，无增区间.
22．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断的单调性；
(3)若存在，使成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数在上是减函数
(3)
【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出.
（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断.
（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，
又因为，所以，将代入，整理得，
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以.
经检验符合题意，所以.
（2）由（1）知：函数，
因为为上单调增函数，且，则函数在上是减函数.
（3）因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，
所以，所以，令，
由题意可知：问题等价转化为,又因为，所以.