2023-2024学年浙江省宁波市奉化区奉港中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市奉化区奉港中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是( )
A. 15B. 12C. 12或15D. 9
3.如图，∠ABC=∠DCB，要说明△ABC≌△DCB，添加的条件不能是( )
A. AB=DC
B. ∠A=∠D
C. BE=CE
D. AC=DB
4.设aA. a23b−3
5.由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. AB：BC：AC=3：4：5
C. ∠A+∠B=∠CD. AB2=BC2+AC2
6.尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法可得△OCP≌△ODP，判定这两个三角形全等的根据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
7.在平面直角坐标系内，线段MN的两个端点坐标分别为M(−1,2)、N(2,1)，平移线段MN得到线段M′N′，若点M的对应点M′的坐标为(0,1)，则N′的坐标为( )
A. (3,2)B. (1,2)C. (1,0)D. (3,0)
8.能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是( )
A. ∠1=91°，∠2=50°B. ∠1=89°，∠2=1°
C. ∠1=120°，∠2=40°D. ∠1=102°，∠2=2°
9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
10.如图，分别以直角三角形的三边向外作等腰直角三角形，然后将较小的两个等腰直角△ADE和△BFD放在最大的等腰直角△ABC内(如图)，DE与FG交于点H，连结AH，EG.若要求△GCE的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可( )
A. △ABCB. △AEHC. △AFHD. △DFH
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为______．
12.已知等腰三角形一个外角等于80°，则这个等腰三角形的顶角的度数是______ ．
13.“对顶角相等”的逆命题是 .(用“如果…那么…”的形式写出)
14.在平面直角坐标系中，将点A(−4,1)向右平移7个单位长度得到点B，则点B关于y轴的对称点C的坐标是______ ．
15.如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是______cm．
16.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC=______．
17.若关于x的不等式组x−2a≥05−2x>0的整数解共有4个，则a的取值范围是______ ．
18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，射线CD与边AB交于点D，E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则线段CD的最小值为______ ，m+n的最大值为______ ．
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
解不等式组2x−5>3(x−1)x3−x−22≤2，并把解集表示在数轴上．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−3,3)，B(−4,−4)，C(0,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)在图中作出三角形中AB边上的中线CD；
(3)求△ABC的面积．
21.(本小题10分)
如图，BD=BE，∠D=∠E，∠ABC=∠DBE=90°，BF⊥AE，且点A，C，E在同一条直线上．
(1)求证：△DAB≌△ECB；
(2)若AD=3，AF=1，求BE的长．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=4 2，∠ABC=45°，D是BC边上一点，且AD=AC，若BD−DC=1.求DC的长．
23.(本小题10分)
某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本.已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元．
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元.请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
24.(本小题12分)
如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC=∠DAE=α，AB=AC，AD=AE，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．
(1)【模型探究】
如图1，线段BD与线段CE存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
(2)【应用模型】
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=2 3，点P是BC边的中点，直线MN经过点P，且∠DPB=30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连结DE．
①如图3，当点E落在BC边上时，求CE．
②直接写出在点D运动过程中，点C和点E之间的最短距离．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：(1)若3为腰长，6为底边长，
由于3+3=6，则三角形不存在；
(2)若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为6+6+3=15．
故选：A．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴选项A，可以根据SAS证明△ABC≌△DCB，
选项B，可以根据AAS证明△ABC≌△DCB，
选项C，可以根据ASA证明△ABC≌△DCB，
选项D，SSA不能判定三角形全等，
故选：D．
根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】C
【解析】解：A.当a=−3，b=−2时，符合ab2，故本选项不符合题意；
B.∵a∴−a>−b，
∴2−a>2−b，故本选项不符合题意；
C.∵a∴a3∴a3+1D.∵a∴3a<3b，
∴3a−3<3b−3，本选项不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、不妨设AB=3x，BC=4x，AC=5x，此时AB2+BC2=25x2=AC2，故△ABC是直角三角形；
C、∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
D、AB2=BC2+AC2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故选：A．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
6.【答案】D
【解析】解：由画法得OC=OD，PC=PD，
而OP=OP，
所以△OCP≌△ODP(SSS)，
所以∠COP=∠DOP，
即OP平分∠AOB．
故选：D．
由画法得OC=OD，PC=PD，加上公共边OP，则可根据“SSS”可判定△OCP≌△ODP，然后根据全等三角形的性质可判定OP为∠AOB的平分线．
本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．比较对应点的坐标变化，寻找变化规律，并把变化规律运用到其它对应点上．比较M(−1,2)与M′(0,1)的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加1，纵坐标减1，由于点M、N平移规律相同，坐标变化也相同，即可得N′的坐标．
【解答】
解：∵点M(−1,2)平移后的对应点M′的坐标为(0,1)，
∴线段MN的平移方向和距离为：向右平移1个单位，向下平移1个单位，
则点N(2,1)平移后的对应点N′的坐标为(3,0)，
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：A、91°−50°=41°是锐角，不符合题意；
B、89°与1°是两个锐角，不符合题意；
C、120°−40°=80°是锐角，不符合题意；
D、102°−2°=100°是钝角，符合题意．
故选：D．
分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论．
本题考查的是命题与定理，熟知锐角及钝角的定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+CD
=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．
故选：C．
10.【答案】D
【解析】解：∵CE=c−b，CG=c−a，
∴S△CEG=(c−b)(c−a)=c2−bc−ac+ab，
由勾股定理可得：2a2+2b2=2c2，
∴2(c2−bc−ac+ab)=2c2−2bc−2ac+2ab=a2+b2+c2−2bc−2ac+2ab=(a+b−c)2，
又∵a+b−c=DH=FH，
∴只知道△DFH的面积就可以知道△CEG的面积．
故选：D．
用a，b，c表示出△CEG的面积，然后根据勾股定理得出a，b，c的关系，最后进行因式分解得出结论即可．
本题主要考查了勾股定理以及因式分解的应用，结合图形正确的进行因式分解是本题解题的关键．
11.【答案】2x−3≥0
【解析】解：由题意得：2x−3≥0．
故答案为：2x−3≥0．
首先表示出x的2倍与3的差为2x−3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x−3≥0．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．
12.【答案】100°
【解析】解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100°
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以100°只可能是顶角．
故答案为：100°．
三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
13.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】【分析】
本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】
解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
14.【答案】(−3,−1)
【解析】解：点A(−4,−1)向右平移7个单位长度得到的B的坐标为(−4+7,−1)，即(3,−1)，
则点B关于y轴的对称点C的坐标是：(−3,−1)．
故答案为：(−3,−1)．
首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
15.【答案】14
【解析】解：因为DE是AB的垂直平分线，
所以AB=2AE=2×1=2cm，DB=DA，
所以△ABC的周长为：BA+AC+CD+DB=BA+(AC+CD+DA)=2+12=14cm．
△ABC的周长是14cm．
故答案为14．
由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，进行线段的等量代换后将△ABC的周长转化为△ACD的周长和线段AB的和即可得△ABC的周长=BA+AC+CD+DB=BA+(AC+CD+DA)．
本题考查了线段垂直平分线的性质；根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，得到DB=DA，是正确解答本题的关键．
16.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查勾股定理，翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能应用勾股定理列方程解决问题．
设EC=x，在Rt△ABE中，由勾股定理得42+(8−x)2=x2，即可解得答案．
【解答】
解：设EC=x，则BE=8−x，
∵将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，
∴AE=EC=x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴EC=5．
17.【答案】−1【解析】解：由题知，
解不等式x−2a≥0得，
x≥2a；
解不等式5−2x>0得，
x<2.5；
因为不等式组的整数解有4个，
所以−2<2a≤−1，
解得−1故答案为：−1先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有4个即可解决问题．
本题考查一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组整数解的个数建立关于a的不等式组是解题的关键．
18.【答案】4.8 5
【解析】解：如图，连接CE，CF，过E作CD垂线，垂足为M点，过F作CD垂线，垂足为N点，即EM=m，EN=n，
则S△CDF=12CD×n，S△CDE=12CD×m，
∵E，F分别为AD，BD中点，
∴S△CDE=12S△CDA，S△CDF=12S△CDB，
∴S△CEF=S△CDE+S△CDF=12(S△CDA+S△CDB)=12S△ABC，
∵S△CEF=S△CDF+S△CDE=12CD(m+n)，
∵S△ABC=12×6×8=24，
∴12CD(m+n)=12，
∴CD(m+n)=24，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= 82+62=10，
设AB上的高为h，
∴12AB⋅h=24，
∴h=4.8，
当CD最小时，即CD⊥AB，此时CD=h=4.8时，m+n最大，
∴m+n=244.8=5，
∴最大值为5．
故答案为：4.8，5．
连接CE，CF，根据面积关系可以求得12S△ABC=12CD(m+n)，当CD最小为AB边上高时，即可求出m+n的最大值．
本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练掌握三角形的中线的含义是解题的关键．
19.【答案】解：2x−5>3(x−1)①x3−x−22≤2②，
解不等式①得：x<−2；
解不等式②得：x≥−6；
∴不等式组的解集为−6≤x<−2；
把解集表示在数轴上如下：

【解析】分别解出每个不等式的解集，再求出公共解集，最后把解集表示在数轴上即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，CD即为所求．

(3)△ABC的面积为12×(3+4)×7−12×3×4−12×4×3=492−6−6=252．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)取AB的中点D，连接CD即可．
(3)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换、三角形的中线、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质、三角形的中线的定义是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，∠DBC+∠CBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵BD=BE，∠D=∠E，
∴△DAB≌△ECB(ASA)；
(2)解：∵△DAB≌△ECB；
∴AB=BC，AD=CE，
∵∠ABC=90°，BF⊥AE，
∴CF=BF=AF=1，∠BFE=90°，
∴EF=CF+CE=4，
∴BE= BF2+EF2= 12+42= 17．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
(1)根据角的和差得到∠ABD=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到AB=BC，AD=CE，根据等腰直角三角形的性质得到CF=BF=AF=1，∠BFE=90°，根据勾股定理即可得到结论．
22.【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示．
∵AD=AC，AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，DE=CE．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAE=45°，
∴AE=BE．
在Rt△ABE中，AB=4 2，
∴AE2+BE2=AB2，即BE2+BE2=(4 2)2，
∴BE=4，
∴BD+12DC=4．
又∵BD−DC=1，
∴DC+1+12DC=4，
∴DC=2．
【解析】过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB=90°，DE=CE，结合∠ABC=45°可得出∠BAE=45°，进而可得出AE=BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可求出BE的长，即BD+12DC=4，结合BD−DC=1可求出DC的长．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：2x+y=1006x=7y，
解得x=35y=30．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
(2)设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，
根据题意得n≥12 (50−n)35n+30(50−n)≤1600，
解得：1623≤n≤20，
则n可以取17、18、19、20，
当n=17时，50−n=33，共花费17×35+33×30=1585(元)；
当n=18时，50−n=32，共花费18×35+32×30=1590(元)；
当n=19时，50−n=31，共花费19×35+31×30=1595(元)；
当n=20时，50−n=30，共花费20×35+30×30=1600(元)；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
【解析】(1)设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
(2)设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)结论：BD=CE．
理由：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
BA=CA∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)①如图3中，当点E落在BC边上时，连接BD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴DB=EC，∠ABD=∠ACB=45°，
∴∠DBP=∠ABD+∠ABC=90°，
∵∠DPB=30°，BP=PC= 3，
∴BD=PB⋅tan30°=1，
∴EC=BD=1；
②如图4中，连接BD，EC，过点B作BR⊥PD于点R．

∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴DB=EC，
∴BD最小时，EC的值最小，
根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，BD的值最小，BD的最小值=BR=PB⋅sin30°= 32，
∴EC的最小值为 32．
【解析】(1)结论：BD=CE.证明△BAD≌△CAE(SAS)，可得结论；
(2)①如图3中，当点E落在BC边上时，连接BD，证明BD=EC，解直角三角形求出BD，即可解决问题；
②证明△DAB≌△EAC(SAS)，推出DB=EC，推出BD最小时，EC的值最小，根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，BD的值最小，BD的最小值=BR．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．