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    2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级(上)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级(上)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年江西省赣州市大余县八年级(上)期末数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案,其中是轴对称图形的是( )
    A. B.
    C. D.
    2.若长度分别为2,5,a的三条线段组成一个三角形,则整数a的值为( )
    A. 2B. 3C. 4D. 7
    3.下列计算正确的是( )
    A. 2a+a=3a2B. a3⋅a2=a6C. a5−a3=a2D. a3÷a2=a
    4.如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的( )
    A. 中线
    B. 中位线
    C. 高线
    D. 角平分线
    5.已知点M(3,a)和N(b,4)关于x轴对称,则(a+b)2022的值为( )
    A. 1B. −1C. 72022D. −72022
    6.某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
    A. 400x−50=300xB. 300x−50=400xC. 400x+50=300xD. 300x+50=400x
    二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
    7.计算3a2⋅2a4= ______ .
    8.用科学记数法表示0.000000356为______ .
    9.六边形的外角和的度数是______ .
    10.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=2:3:5,则△ABC是______ 三角形.(填“钝角”“锐角”或“直角”)
    11.分式1x−3有意义的条件是______ .
    12.在△ABC中,∠B=80°,过点A作一条直线,将△ABC分成两个新的三角形,若这两个三角形都是等腰三角形,则∠C的度数为______ .
    三、解答题:本题共11小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    13.(本小题6分)
    计算
    (1)因式分解:a3−a;
    (2)计算:π0+(12)−1.
    14.(本小题6分)
    解分式方程:xx+1−4x2−1=1.
    15.(本小题6分)
    如图,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,求证:BD=CE.
    16.(本小题6分)
    先化简,再求值:(1−1x+1)÷x−2x+1,从−1,2,3中选择一个适当的数作为x值代入.
    17.(本小题6分)
    如图,请仪用无刻度的直尺按下列要求画图:
    (1)如图1,在△ABC中,AB=AC,M、N分别是边AB,AC上的两点,且BM=CN,请画出△ABC的对称轴;
    (2)如图2,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,请画出等腰梯形ABCD的对称轴.
    18.(本小题8分)
    已知a,b,c是三角形的三边长.
    (1)化简|a+b−c|+|a−b−c|;
    (2)若a=5,b=4,c=2,求(1)中式子的值.
    19.(本小题8分)
    我们约定a⊗b=10a÷10b,如4⊗3=104÷103=10.
    (1)求10⊗4和9⊗6的值;
    (2)求8⊗3×102和5⊗3⊗4的值.
    20.(本小题8分)
    如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点.
    (1)求证:△BCD是等腰三角形;
    (2)若△BCD的周长是26,BC=10,求△ACD的周长.
    21.(本小题9分)
    今年,某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装,经了解,在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元,用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等.
    (1)求在甲,乙两个商店租用的服装每套各多少元?
    (2)若租用10套以上服装,甲商店给以每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装,请问在哪家商店租用服装的费用较少,并说明理由.
    22.(本小题9分)
    如图(1)是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中的虚线剪开,平均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形.
    (1)图(2)中的阴影部分的正方形边长是______ (用含m,n的式子表示);
    (2)请用两种不同的方法求图(2)阴影部分的面积:
    方法一:______ ;方法二:______ ;
    (3)观察图(2),请你写出(m+n)2,(m−n)2,mn之间的等量关系是:______ ;
    (4)根据(3)题中的等量关系,解决下列问题:若a+b=7,ab=5,求(a−b)2的值.
    23.(本小题12分)
    【自主学习】(1)填空:
    如图1,点C是∠MON的平分线OP上一点,点A在OM上,用圆规在ON上截取OB=OA,
    连接AC,BC,可得△OAC≌______,其理由根据是______;
    【理解运用】(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB交边AB于点D,试判断BC和AC、AD之间的数量关系并写出证明过程.
    【拓展延伸】(3)如图3,在△ABC中,∠A=60°,CD,BE分别是∠ACB,∠ABC的平分线,CD,BE交于点F,若CE=3,BD=2,请直接写出BC的长.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:A.不能沿一条直线折叠完全重合;
    B.不能沿一条直线折叠完全重合;
    C.不能沿一条直线折叠完全重合;
    D.能够沿一条直线折叠完全重合;
    故选:D.
    在平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形.
    本题考查了轴对称图形的概念,关键在于熟练掌握轴对称图形的概念,并对选项作出正确判断.
    2.【答案】C
    【解析】解:由三角形三边关系定理得:5−2即3即符合的整数a的值可以是4,
    故选:C.
    根据三角形三边关系定理得出5−2本题考查了三角形三边关系定理,能根据定理得出4−33.【答案】D
    【解析】解:A、2a+a=3a,故A不符合题意;
    B、a3⋅a2=a5,故B不符合题意;
    C、a5与a3不能合并,故C不符合题意;
    D、a3÷a2=a,故D符合题意;
    故选:D.
    根据整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则,逐一进行计算即可解答.
    本题考查了整式加法法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则,熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.
    4.【答案】D
    【解析】解:由已知可得,
    ∠1=∠2,
    则l为△ABC的角平分线,
    故选:D.
    根据翻折的性质和图形,可以判断直线l与△ABC的关系.
    本题考查翻折变换、角平分线,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
    5.【答案】A
    【解析】解:∵点M(3,a)和N(b,4)关于x轴对称,
    ∴a=−4,b=3,
    则(a+b)2022=(−4+3)2022=(−1)2022=1,
    故选:A.
    直接利用关于x轴对称点的性质,得出a,b的值,然后代入求解即可.
    此题考查了关于x轴对称的点的特点,正确得出a,b的值是解题的关键.
    6.【答案】B
    【解析】解:由题意可得,
    400x=300x−50,
    故选:B.
    根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同,可以列出相应的分式方程,本题得以解决.
    本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的方程.
    7.【答案】6a6
    【解析】解:3a2⋅2a4=(3×2)⋅a2+4=6a6,
    故答案为:6a6.
    根据单项式乘单项式的法则,将它们的系数和同底数幂分别相乘,即可计算求值.
    本题考查了单项式乘单项式,同底数幂乘法,熟练掌握相关运算法则是解题关键.
    8.【答案】3.56×10−7
    【解析】解:0.000000356=3.56×10−7.
    故答案为:3.56×10−7.
    根据科学记数法的表示方法求解即可.
    本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.解题关键是正确确定a的值以及n的值.
    9.【答案】360°
    【解析】解:凸多边形的外角和为360°,
    故答案为:360°.
    根据多边形外角和定理可得答案.
    本题考查多边形内角与外角,掌握凸多边形的外角和为360°是正确解答的关键.
    10.【答案】直角
    【解析】解:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,且∠A:∠B:∠C=2:3:5,
    ∴∠C=180°×52+3+5=90°,
    ∴△ABC是直角三角形.
    故答案为:直角.
    由∠A,∠B,∠C三角之间的关系,可求出∠C的度数,进而可得出△ABC是直角三角形.
    本题考查了三角形内角和定理,牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键.
    11.【答案】x≠3
    【解析】解:∵分式1x−3有意义,
    ∴x−3≠0,
    即x≠3.
    故答案为:x≠3.
    根据分式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
    本题考查的是分式有意义的条件,即分式的分母不等于零.
    12.【答案】10°或25°或40°
    【解析】解:设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D,分三种情况讨论.
    ①当∠B为等腰△ADB的顶角时,如图1,
    ∵∠BAD=∠BDA=12×(180°−80°)=50°,
    又∵△ADC是等腰三角形,DA=DC,
    ∴∠C=∠DAC,
    ∵∠ADC+∠ADB=∠ADC+∠C+∠DAC=180°,
    ∴∠C=∠DAC=12∠ADB=25°;
    ②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时,如图2,
    ∵AD=BD,∠B=80°,
    ∴∠BAD=∠B=80°,
    ∴∠ADB=180°−80°×2=20°,
    又∵△ADC是等腰三角形,DA=DC,
    ∴∠C=∠DAC,
    ∵∠ADC+∠ADB=∠ADC+∠C+∠DAC=180°,
    ∴∠C=∠DAC=12∠ADB=10°;
    ③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时,如图3,
    则∠ADB=∠B=80°,
    又∵△ADC是等腰三角形,DA=DC,
    ∴∠C=∠DAC,
    ∵∠ADC+∠ADB=∠ADC+∠C+∠DAC=180°,
    ∴∠C=∠DAC=12∠ADB=40°.
    故答案为:10°或25°或40°.
    分三种情况讨论:①当∠B为等腰三角形的顶角时;②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时;③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时;综合三种情况即可.
    本题主要考查对等腰三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握,灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键.
    13.【答案】解:(1)原式=a(a2−1)
    =a(a+1)(a−1);
    (2)π0+( 12 )−1
    =1+2
    =3.
    【解析】(1)先提公因式a,再利用平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)即可;
    (2)根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求解即可.
    此题主要考查了因式分解,零指数幂和负整数指数幂的运算,关键是正确确定公因式、套用公式和掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则.因式分解步骤:若有公因式,应先提公因式,再看是否可用公式法,最后检查各因式能否继续分解.
    14.【答案】解:去分母,得
    x(x−1)−4=(x+1)(x−1),
    去括号,得x2−x−4=x2−1,
    整理,得x=−3
    经检验,x=−3为原方程的解.
    故原方程的解为x=−3.
    【解析】根据等式的性质,可得整式方程,根据解整式方程,可得答案.
    本题考查了解分式方程,利用等式的性质得出整式方程是解题关键.
    15.【答案】解:∵∠1=∠2,
    ∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    在△BAD和△CAE中
    AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,
    ∴△BAD≌△CAE(SAS),
    ∴BD=CE.
    【解析】先由∠1=∠2得到∠BAD=∠CAE,然后根据“SAS”可判断△BAD≌△CAE,再根据全等的性质即可得到结论.
    本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.
    16.【答案】解:原式=xx+1⋅x+1x−2
    =xx−2,
    当x=3时,原式=33−2=3.
    【解析】略
    17.【答案】解:(1)如图1,AO即为△ABC的对称轴.

    作法:连接BN,CM,BN和CM交于点O,连接AO.
    证明:∵AB=AC,
    ∴∠MBC=∠NCB,
    在△BMC和△CNB中,
    BM=CN∠MBC=∠NCBBC=CB,
    ∴△BMC≌△CNB(SAS),
    ∴∠MCB=∠NBC,
    ∴OB=OC,
    ∴点O在线段BC的垂直平分线上,
    又∵AB=AC,
    ∴点A也在线段BC的垂直平分线上,
    ∴AO为△ABC的对称轴.
    (2)如图2,EF为等腰梯形ABCD的对称轴.

    作法:连接AC,BD,AC和BD交于点F,作BA,CD的延长线交于点E,作直线EF.
    证明:∵在等腰梯形ABCD中,AB=DC,
    ∴∠ABC=∠DCB,
    在△ABC和△DCB中,
    AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB,
    ∴△ABC≌△DCB(SAS),
    ∴∠ACB=∠DBC,
    ∴FB=FC,
    ∴点F在线段BC的垂直平分线上,
    ∵∠ABC=∠DCB,
    ∴EB=EC,
    ∴点E在线段BC的垂直平分线上,
    ∴EF为等腰梯形ABCD的对称轴.
    【解析】(1)连接BN,CM,BN和CM交于点O,利用SAS证明△BMC≌△CNB,推出OB=OC,可知点O在线段BC的垂直平分线上,即可证明AO为△ABC的对称轴.
    (2)连接AC,BD,AC和BD交于点F,作BA、CD的延长线交于点E,作直线EF.结合等腰梯形的性质可证EF为等腰梯形ABCD的对称轴.
    本题主要考查作轴对称图形的对称轴,涉及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、等腰梯形的性质等,解题的关键是掌握轴对称图形的特点.
    18.【答案】解:(1)∵a,b,c为三角形的三边长,
    ∴a+b−c>0,a−b−c<0,
    ∴|a+b−c|+|a−b−c|
    =a+b−c+[−(a−b−c)]
    =a+b−c−(a−b−c)
    =a+b−c−a+b+c
    =2b;
    (2)当b=4时,原式=2×4=8.
    【解析】(1)根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边的差小于第三边,得出a+b−c>0,a−b−c<0,再利用绝对值的性质化简即可;
    (2)将数据代入求值即可.
    本题主要考查了三角形的三边关系,化简绝对值,解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.
    19.【答案】解:(1)10⊗4=1010÷104=106,
    9⊗6=109÷106=103;
    (2)8⊗3×102=108÷103×102=105×102=107;
    ∵5⊗3=105÷103=102=100,
    ∴5⊗3⊗4=100⊗4=10100÷104=1096.
    【解析】(1)根据同底数幂除法法则进行计算即可得到答案;
    (2)根据同底数幂除法法则先计算5⊗3,再计算100⊗4,即可得到答案.
    本题考查了同底数幂的除法运算,解题关键是掌握同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减,此题应注意运算顺序.
    20.【答案】(1)证明:∵AB=AC,∠A=36°,
    ∴∠B=∠ACB=12(180°−∠A)=72°,
    ∵DE是AC的垂直平分线,
    ∴DA=DC,
    ∴∠A=∠ACD=36°,
    ∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°,
    ∴∠CDB=∠B=72°,
    ∴CD=CB,
    ∴△BCD是等腰三角形;
    (2)解:∵△BCD的周长是26,
    ∴BC+BD+CD=26,
    ∵AD=CD,
    ∴BC+BD+AD=26,
    ∴BC+AB=26,
    ∵BC=10,
    ∴AB=26−10=16,
    ∴AC=AB=16,
    ∵BC=CD=AD=10,
    ∴△ACD的周长=AC+AD+CD
    =16+10+10
    =36,
    ∴△ACD的周长是36.
    【解析】(1)先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B=∠ACB=72°,再利用线段的垂直平分线性质可得DA=DC,从而利用等腰三角形的性质可得∠A=∠ACD=36°,然后利用三角形外角的性质可得∠CDB=72°,最后根据等角对等边即可解答;
    (2)根据已知和(1)的结论易得BC+AB=26,从而可得AC=AB=16,然后利用三角形的周长公式进行计算即可解答.
    本题考查了等腰三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,熟练掌握等腰三角形的判定与性质,以及线段垂直平分线的性质是解题的关键.
    21.【答案】解:(1)设乙商店租用服装每套x元,则甲商店租用服装每套(x+10)元,
    由题意可得:500x+10=400x,
    解得:x=40,
    经检验,x=40是该分式方程的解,并符合题意,
    ∴x+10=50,
    ∴甲,乙两个商店租用的服装每套各50元,40元.
    (2)该参赛队伍准备租用20套服装时,
    甲商店的费用为:50×20×0.9=900(元),
    乙商店的费用为:40×20=800(元),
    ∵900>800,
    ∴乙商店租用服装的费用较少.
    【解析】(1)设乙商店租用服装每套x元,则甲商店租用服装每套(x+10)元,由题意列500x+10=400x,解分式方程并检验即可得出答案;
    (2)分别计算甲、乙商店的费用,比较即可得出答案.
    本题考查了分式方程的应用,根据题意列出分式方程是解决问题的关键.
    22.【答案】m−n (m−n)2 (m+n)2−4mn (m+n)2−4mn=(m−n)2
    【解析】解:(1)由题可得,图(2)中的阴影部分的正方形的边长等于m−n;
    故答案为:m−n;
    (2)解:方法一:
    图(2)中阴影部分的面积=(m−n)2;
    方法二:
    图(2)中阴影部分的面积=(m+n)2−4mn;
    故答案为:(m−n)2,(m+n)2−4mn;
    (3)∵(m−n)2和(m+n)2−4mn表示同一个图形的面积;
    ∴(m−n)2=(m+n)2−4mn;
    故答案为:(m−n)2=(m+n)2−4mn;
    (4)∵(a−b)2=(a+b)2−4ab,
    而a+b=7,ab=5,
    ∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=72−4×5=29.
    (1)根据图(2)中的阴影部分的正方形的边长等于小长方形的长减去宽进行判断;
    (2)图(2)中阴影部分的面积既可以用边长的平方进行计算,也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积进行计算;
    (3)根据(m−n)2和(m+n)2−4mn表示同一个图形的面积进行判断;
    (4)根据(a−b)2=(a+b)2−4ab,进行计算即可.
    本题考查了完全平方公式的背景知识,解题关键是认真观察题中给出的图示,用不同的形式去表示面积,熟练掌握完全平方公式,并能进行变式.特别要注意:a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab.
    23.【答案】解:(1)△OBC;SAS
    (2)BC=AC+AD.
    证明:在CB上截取CE=AC,连接DE.
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ACD=∠BCD,
    在△ACD和△ECD中,
    AC=EC∠ACD=∠ECDCD=CD,
    ∴△ACD≌△ECD(SAS),
    ∴AD=DE,
    ∴∠CAD=∠CED=60°,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠B=30°,
    ∴∠EDB=30°,
    即∠EDB=∠B,
    ∴DE=EB,
    ∵BC=CE+BE,
    ∴BC=AC+DE,
    ∴BC=AC+AD.
    (3)BC=5
    【解析】分析:
    (1)由角平分线的定义得出∠AOC=∠BOC,根据SAS可证明△OAC≌△OBC;
    (2)先截取CE=CA,连接DE,根据SAS判定△CAD≌△CED,得出AD=DE,∠A=∠CED=60°,AC=CE,进而得出结论BC=AC+AD;
    (3)在BC上取一点M,使CM=CE,证明△CEF≌△CMF(SAS),由全等三角形的性质得出∠CFE=∠CFM=60°,证明△FBM≌△FBD(ASA),由全等三角形的性质得出BM=BD,则可求出答案.
    解:(1)∵点C是∠MON的平分线OP上一点,
    ∴∠AOC=∠BOC,
    在△OAC和△OBC中,
    OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OC,
    ∴△OAC≌△OBC(SAS),
    故答案为:△OBC;SAS;
    (2)BC=AC+AD.
    证明:在CB上截取AC=EC,
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ACD=∠BCD,
    在△ACD和△ECD中,
    AC=EC∠ACD=∠ECDCD=CD,
    ∴△ACD≌△ECD(SAS),
    ∴∠CAD=∠CED=60°,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠B=30°,
    ∴∠EDB=30°,
    即∠EDB=∠B,
    ∴DE=EB,
    ∵BC=CE+BE,
    ∴BC=AC+DE,
    ∴BC=AC+AD.
    (3)在BC上取一点M,使CM=CE,
    在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
    ∵∠A=60°,
    ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°,
    ∴∠BFC=180°−(∠BCF+∠CBF)=180°−12(∠ACB+∠ABC)=120°,
    ∴∠CFE=60°,
    ∴∠BFD=∠CFE=60°,
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ECF=∠MCF,
    在△CEF和△CMF中,
    CE=CM∠ECF=∠MCFCF=CF,
    ∴△CEF≌△CMF(SAS),
    ∴∠CFE=∠CFM=60°,
    ∴∠BFM=∠BFC−∠CFM=60°,
    ∴∠BFM=∠BFD=60°,
    ∵BE是∠ACB的平分线,
    ∴∠FBM=∠FBD,
    在△FBM和△FBD中,
    ∠BFM=∠BFDBF=BF∠FBM=∠FBD,
    ∴△FBM≌△FBD(ASA),
    ∴BM=BD,
    ∴BC=CM+BM=CE+BD=3+2=5.
    本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据线段的和差关系进行推导.
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