专题06 三角形中的导角模型-平行线+拐点模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题06 三角形中的导角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）【模型解读】 图1 图2 图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.例1．（2022·河南·统考二模）如图，，，，则的度数为（　　）A． B． C． D．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　）A． B． C． D．例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ）A． B． C． D．例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ）A． B． C． D．例5．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（   ）A．23° B．33° C．44° D．46°例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知，那么（    ）  A．180° B．270° C．360° D．540°例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）  A． B． C． D．例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ）A． B． C． D．例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．   例5．（2022春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知，则 ，则等于 （用含的式子表示）．模型3：牛角模型 图1 图2如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：.例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（   ）A． B． C． D．例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：(3)问题应用：如图3，，，，求的值．例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　．模型4：羊角模型 图1 图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（   ）A．20° B．25° C．30° D．40°例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（    ）A． B． C． D．例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点．  （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）．模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ）A．50° B．40° C．30° D．20°例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）A．115° B．130° C．140° D．150°例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）  A． B． C． D．例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，平分，若，则的度数为（     ）A． B． C． D．例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 ．课后专项训练1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，，则的度数为（    ）  A． B． C． D．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）  A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线，D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（    ）．A． B． C． D．4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线、平行，则（    ）．A． B． C． D．5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若，，那么（   ）A． B． C． D．6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A．30° B．35° C．36° D．45°7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ）A．56 B．66 C．98 D．1048．（2023春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（　　）A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示，，，，则 度．11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知，，求的度数．14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：如图，，当与满足什么关系时，?小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）．∵，∴①_____________∵∴②_________，∵，∴③__________，∴④_____________∴．所以满足的关系为：当时，．15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．  16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若，，则　 　；如图1，若，，则　 　；(2)如图2，试说明，；(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， ABCD．（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．20．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，  (1)求证：：(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　．21．（2023春·广东·七年级专题练习）（1）如图1，，，，直接写出的度数．（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．发现：在图1中，；如图5小明是这样证明的：过点Р作∴___________∵，．∴__________∴∴即（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）理解：①在图2中，与、的数量关系为_____________________；②在图3中，若，，则的度数为_________________；（3）拓展：在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．23．（2023春·山东·七年级专题练习）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）