专题07 三角形中的重要模型-等积模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
专题07 三角形中的重要模型-等积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
如图1，当//，则； 反之，如果，则可知直线//。

图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（ ）

A．4B．3C．2D．1
例2．（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（ ）

A．9B．12C．18D．20
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为 ．
例4．（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为边上一点且，相交于F，四边形的面积为6，则的面积是 ．

例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，是边上的中线，则．
理由：因为是边上的中线，所以．
又因为，，所以．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：在如图2至图4中，的面积为a．
(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
例6．（2023春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．

(2)解答下题．①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．
②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．
(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：①或；②。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：①；②；③梯形的对应份数为。
例1．在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分三角形BCO的面积为 ．
例2、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△COB为 平方厘米。
例3、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．

例4、如图，梯形中，、的面积分别为和，则梯形的面积为 ．
例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，则三角形DOC的面积是 平方厘米。
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为 。
模型3.燕尾（定理）模型
条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点，结论：S1S2S3S4S1+S3S2+S4BEEC。
例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为 。
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交于点O，若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，则△PQC的面积为（ ）
A．22B．22.5C．23D．23.5
例3．如下图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为 ．
例4．（2023江苏淮安九年级月考）已知的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“