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浙江省杭州市2023-2024学年九年级（上）数学期末教学质量分析模拟卷（考卷解析卷+答题卡）
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这是一份浙江省杭州市2023-2024学年九年级（上）数学期末教学质量分析模拟卷（考卷解析卷+答题卡），文件包含浙江省杭州市2023-2024学年九年级上数学期末教学质量分析模拟卷解答卷doc、浙江省杭州市2023-2024学年九年级上数学期末教学质量分析模拟卷考卷doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图几何体从正面看是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从正面看几何体，即可得到答案．
【解答】解：几何体从正面看是C中的图形，
故选：C．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票，座位号是奇数
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．五个人分成四组，这四组中有一组必有2人
D．打开电视，正在播放动画片
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；
C、五个人分成四组，这四组中有一组必有2人是必然事件；
D、打开电视，正在播放动画片是随机事件；
故选：C．
3．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
【分析】根据函数的解析式可以直接写出抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，4），
故选：C．
4．若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用合比性质解答．
【解答】解：由，得＝＝．
故选：A．
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝40°，则∠BOC＝（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝40°，
∴∠BOC＝80°，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝2EC，BD＝3，AE＝4，则CE＝（ ）
A．2B．C．3D．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝2EC，BD＝3，AE＝4，
∴＝，
∴CE＝（负值舍去），
故选：B．
7．如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ）
A．米B．80cs27°米
C．80tan27°米D．米
【分析】作BC⊥AC于C，根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：如图，作BC⊥AC于C，
由题意得，∠ABC＝27°，
在Rt△ABC中，cs∠ABC＝，
∴BC＝AB•cs∠ABC＝80cs27°（米），
故选：B．
8．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y1＝y2＞y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），
∵2＜4，
∴y2＞y1＝y3，
故选：B．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．πD．
【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为以点B为圆心，OB，BH为半径的两个扇形组成的一个环形．
【解答】解：连接BH，BH1，
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
利用勾股定理可求得BH＝＝，
所以利用扇形面积公式可得＝＝π．
故选：C．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，下列结论：①∠GOP＝∠BCP，②BC＝BP，③BG：PG＝+1，④DP＝PO．正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【分析】求得∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∠BCP＝67.5°即可判断①；根据等角对等边即可判断②；设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，即可得到BG＝x+x，即可得到BG：PG＝+1，即可判断③；由即可判断④．
【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
又∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC＝22.5°，
∵∠BGC＝90°，
∴∠BCP＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠GOP＝∠BCP，故①正确；
∵∠GOP＝∠BCP，
∴BC＝BP，故②正确；
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝DH＝x，
∴BG＝x+x，
∴BG：PG＝+1，故③正确；
∵BG：PG＝+1，
∴BG：DH＝+1，
∵DE∥BG，
∴△PDH∽△PBG，
∴，
∵OB＝OD，
∴DP≠PO，故④错误，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．cs60°＝ ．
【分析】根据记忆的内容，cs60°＝即可得出答案．
【解答】解：cs60°＝．
故答案为：．
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是 5 个．
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：＝0.25，
解得x＝5，
即袋子中红球的个数可能是5个，
故答案为：5．
13．如图⊙O的直径为20，圆心O到弦AB的距离OM的长为6，则弦AB的长是 16 ．
【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AM＝BM，然后利用勾股定理计算出AM，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM，∠OMA＝90°，
在Rt△OAM中，∵OA＝10，OM＝6，
∴AM＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故答案为：16．
14．如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上A，D两端点的距离为6cm，，则容器的内径BC的长为 10 cm．
【分析】依题意得△AOD∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得BC的长度．
【解答】解：如图，连接AD，BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴＝，
∴BC＝10．
故答案为：10．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB、CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cs∠BPC的值等于 ．
【分析】利用“两直线平行，内错角相等”，将∠BPC转化为∠ABE即可解决问题．
【解答】解：因为CD∥BE，
所以∠BPC＝∠ABE．
在Rt△ABC中，
，
同理可得，
．
又因为∠AEB＝90°，
则在Rt△ABE中，
cs∠ABE＝，
所以cs∠BPC＝cs∠ABE＝．
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，函数y1＝ax2+bx+c，y2＝ax+b，y3＝ax+c，其中a，b，c为常数，且a＜0．函数y1的图象经过点A（1，0），B（x1，0），且满足﹣4＜x1＜﹣3；函数y2的图象经过点（x2，0）；函数y3的图象经过点（x3，0），若m＜x2＜m+1，n＜x3＜n+1，且m，n是整数，则m＝ ﹣3 ，n＝ 3 ．
【分析】根据对称轴公式判断出，﹣3＜﹣＜﹣2，再结合已知条件，可得结论．
【解答】解：由题意，a＜0，A（1，0），B（x1，0），且满足﹣4＜x1＜﹣3，
∵函数y2的图象经过点（x2，0）；函数y3的图象经过点（x3，0），
∴x2＝﹣，x3＝﹣，
把A（1，0）代入y1＝ax2+bx+c，可得a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b，
∵＜﹣＜，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∵m＜x2＜m+1，﹣3＜x2＜﹣2，m是整数，
∴m＝﹣3，
∵x3＝＝1+，
∴3＜x3＜4，
∵n＜x3＜n+1，n是整数，
∴n＝3．
故答案为：﹣3，3．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌，已知路灯的高度CD＝6米，测得树影BE＝3.6米，树与路灯的水平距离BD＝4米，则树高AB为多少？
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△CED∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝（m），
答：树高AB为米．
18．（8分）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次取出都是一等品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，
∴第一次取出的杯子是一等品的概率是．
（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况数；
（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，
∴两次取出都是一等品的概率是．
19．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60]
【分析】根据等腰三角形的性质可得CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
【解答】解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∴CE＝BC＝80m．
在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴．
∴CF≈133.3．
∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．
答：河宽EF的长约为53m．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，连接OC，点F、E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO＝∠EFM．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求证：．
【分析】（1）由已知条件可得：CO⊥AB，从而可求得∠OCB＝∠B＝45°，再结合∠FCO＝∠EFM，可求得∠FEC＝∠FCE，即可得CF＝EF；
（2）由（1）得∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，从而有△BFC∽△CNE，利用相似比以及CF＝EF，即可得证．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，
∴∠OCB＝∠B＝45°，
∵∠EFM＝∠FCO，
∵∠FEC＝∠EFM+∠B，∠FCE＝∠FCO+∠OCB，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴CF＝EF；
（2）由（1）得：∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，
∴△BFC∽△CNE，
∴，
∵CF＝EF，
∴．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠ADC＝∠ABD．
（2）解：如图，连接OD．
在Rt△OED中，DE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，
∵sin∠A＝＝，
∴＝，
∴OF＝．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．
【分析】（1）令x＝0，则c＝﹣4，将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得2a+b＝2；
（2）当a＞0，对称轴x＝﹣＝1﹣≤0，当a＜0时，对称轴x＝1﹣≥2，即可求a的范围；
（3）①m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，则有1﹣＝﹣1；②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3等式成立，则可证明N点在直线上，再由直线与抛物线的两个交点是M、N，则有根与系数的关系可得p+（﹣2﹣p）＝，即可求a．
【解答】解：（1）令x＝0，则c＝﹣4，
将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，
∴2a+b＝2；
（2）当a＞0时，
∵A（0，﹣4）和B（2，0），
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，
∴0＜a≤1；
当a＜0时，
对称轴x＝1﹣≥2，
∴﹣1≤a＜0；
综上所述：﹣1≤a≤1且a≠0；
（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝1﹣＝﹣1，
∴a＝；
②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，
∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，
∴N点在y＝﹣2x﹣3上，
联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，
∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∵p+（﹣2﹣p）＝，
∴a＝1，
经检验，a＝1是方程的根，
∴a＝1．
23．（12分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论．
【解答】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴，
∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE•CE＝DE•BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴OD•OD＝24，
∴OD＝＝OA，
∴CD＝，BD＝，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC＝．
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图几何体从正面看是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从正面看几何体，即可得到答案．
【解答】解：几何体从正面看是C中的图形，
故选：C．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票，座位号是奇数
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．五个人分成四组，这四组中有一组必有2人
D．打开电视，正在播放动画片
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；
C、五个人分成四组，这四组中有一组必有2人是必然事件；
D、打开电视，正在播放动画片是随机事件；
故选：C．
3．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
【分析】根据函数的解析式可以直接写出抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，4），
故选：C．
4．若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用合比性质解答．
【解答】解：由，得＝＝．
故选：A．
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝40°，则∠BOC＝（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝40°，
∴∠BOC＝80°，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝2EC，BD＝3，AE＝4，则CE＝（ ）
A．2B．C．3D．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝2EC，BD＝3，AE＝4，
∴＝，
∴CE＝（负值舍去），
故选：B．
7．如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ）
A．米B．80cs27°米
C．80tan27°米D．米
【分析】作BC⊥AC于C，根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：如图，作BC⊥AC于C，
由题意得，∠ABC＝27°，
在Rt△ABC中，cs∠ABC＝，
∴BC＝AB•cs∠ABC＝80cs27°（米），
故选：B．
8．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y1＝y2＞y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），
∵2＜4，
∴y2＞y1＝y3，
故选：B．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．πD．
【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为以点B为圆心，OB，BH为半径的两个扇形组成的一个环形．
【解答】解：连接BH，BH1，
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
利用勾股定理可求得BH＝＝，
所以利用扇形面积公式可得＝＝π．
故选：C．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，下列结论：①∠GOP＝∠BCP，②BC＝BP，③BG：PG＝+1，④DP＝PO．正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【分析】求得∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∠BCP＝67.5°即可判断①；根据等角对等边即可判断②；设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，即可得到BG＝x+x，即可得到BG：PG＝+1，即可判断③；由即可判断④．
【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，
∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，
∴∠PBG＝22.5°，
又∵∠DBC＝45°，
∴∠GBC＝22.5°，
∴∠PBG＝∠GBC＝22.5°，
∵∠BGC＝90°，
∴∠BCP＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠GOP＝∠BCP，故①正确；
∵∠GOP＝∠BCP，
∴BC＝BP，故②正确；
设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，
∴EG＝2x，FG＝x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF＝CG＝DH＝x，
∴BG＝x+x，
∴BG：PG＝+1，故③正确；
∵BG：PG＝+1，
∴BG：DH＝+1，
∵DE∥BG，
∴△PDH∽△PBG，
∴，
∵OB＝OD，
∴DP≠PO，故④错误，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．cs60°＝ ．
【分析】根据记忆的内容，cs60°＝即可得出答案．
【解答】解：cs60°＝．
故答案为：．
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是 5 个．
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：＝0.25，
解得x＝5，
即袋子中红球的个数可能是5个，
故答案为：5．
13．如图⊙O的直径为20，圆心O到弦AB的距离OM的长为6，则弦AB的长是 16 ．
【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AM＝BM，然后利用勾股定理计算出AM，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM，∠OMA＝90°，
在Rt△OAM中，∵OA＝10，OM＝6，
∴AM＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故答案为：16．
14．如图是用卡钳测量容器内径的示意图．若卡钳上A，D两端点的距离为6cm，，则容器的内径BC的长为 10 cm．
【分析】依题意得△AOD∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得BC的长度．
【解答】解：如图，连接AD，BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴＝，
∴BC＝10．
故答案为：10．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，联结AB、CD相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到cs∠BPC的值等于 ．
【分析】利用“两直线平行，内错角相等”，将∠BPC转化为∠ABE即可解决问题．
【解答】解：因为CD∥BE，
所以∠BPC＝∠ABE．
在Rt△ABC中，
，
同理可得，
．
又因为∠AEB＝90°，
则在Rt△ABE中，
cs∠ABE＝，
所以cs∠BPC＝cs∠ABE＝．
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，函数y1＝ax2+bx+c，y2＝ax+b，y3＝ax+c，其中a，b，c为常数，且a＜0．函数y1的图象经过点A（1，0），B（x1，0），且满足﹣4＜x1＜﹣3；函数y2的图象经过点（x2，0）；函数y3的图象经过点（x3，0），若m＜x2＜m+1，n＜x3＜n+1，且m，n是整数，则m＝ ﹣3 ，n＝ 3 ．
【分析】根据对称轴公式判断出，﹣3＜﹣＜﹣2，再结合已知条件，可得结论．
【解答】解：由题意，a＜0，A（1，0），B（x1，0），且满足﹣4＜x1＜﹣3，
∵函数y2的图象经过点（x2，0）；函数y3的图象经过点（x3，0），
∴x2＝﹣，x3＝﹣，
把A（1，0）代入y1＝ax2+bx+c，可得a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b，
∵＜﹣＜，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∵m＜x2＜m+1，﹣3＜x2＜﹣2，m是整数，
∴m＝﹣3，
∵x3＝＝1+，
∴3＜x3＜4，
∵n＜x3＜n+1，n是整数，
∴n＝3．
故答案为：﹣3，3．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）小明想利用所学的知识来求出树的高度．如图，他观察到小树AB在路灯C的照射下形成投影BE．若根据灯杆的指示牌，已知路灯的高度CD＝6米，测得树影BE＝3.6米，树与路灯的水平距离BD＝4米，则树高AB为多少？
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△CED∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝（m），
答：树高AB为米．
18．（8分）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次取出都是一等品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，
∴第一次取出的杯子是一等品的概率是．
（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况数；
（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，
∴两次取出都是一等品的概率是．
19．（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）
[参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60]
【分析】根据等腰三角形的性质可得CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度．
【解答】解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE＝45°，
∴CE＝BC＝80m．
在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，
∴．
∴CF≈133.3．
∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．
答：河宽EF的长约为53m．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，连接OC，点F、E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO＝∠EFM．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求证：．
【分析】（1）由已知条件可得：CO⊥AB，从而可求得∠OCB＝∠B＝45°，再结合∠FCO＝∠EFM，可求得∠FEC＝∠FCE，即可得CF＝EF；
（2）由（1）得∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，从而有△BFC∽△CNE，利用相似比以及CF＝EF，即可得证．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，
∴∠OCB＝∠B＝45°，
∵∠EFM＝∠FCO，
∵∠FEC＝∠EFM+∠B，∠FCE＝∠FCO+∠OCB，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴CF＝EF；
（2）由（1）得：∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，
∴△BFC∽△CNE，
∴，
∵CF＝EF，
∴．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，
（1）求证：∠ADC＝∠ABD．
（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠ADC＝∠ABD．
（2）解：如图，连接OD．
在Rt△OED中，DE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，
∵sin∠A＝＝，
∴＝，
∴OF＝．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．
【分析】（1）令x＝0，则c＝﹣4，将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得2a+b＝2；
（2）当a＞0，对称轴x＝﹣＝1﹣≤0，当a＜0时，对称轴x＝1﹣≥2，即可求a的范围；
（3）①m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，则有1﹣＝﹣1；②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3等式成立，则可证明N点在直线上，再由直线与抛物线的两个交点是M、N，则有根与系数的关系可得p+（﹣2﹣p）＝，即可求a．
【解答】解：（1）令x＝0，则c＝﹣4，
将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，
∴2a+b＝2；
（2）当a＞0时，
∵A（0，﹣4）和B（2，0），
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，
∴0＜a≤1；
当a＜0时，
对称轴x＝1﹣≥2，
∴﹣1≤a＜0；
综上所述：﹣1≤a≤1且a≠0；
（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝1﹣＝﹣1，
∴a＝；
②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，
∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，
∴N点在y＝﹣2x﹣3上，
联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，
∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∵p+（﹣2﹣p）＝，
∴a＝1，
经检验，a＝1是方程的根，
∴a＝1．
23．（12分）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．
（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．
（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论．
【解答】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴，
∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE•CE＝DE•BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴OD•OD＝24，
∴OD＝＝OA，
∴CD＝，BD＝，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC＝．
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