江西省吉安市宁冈中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省吉安市宁冈中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了 在等比数列中，，则， 设椭圆，双曲线的离心率分别为， “”是“椭圆的离心率为”的， 双曲线的左焦点的坐标是， 已知曲线C的方程为，则等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知向量，，若，分别是平面，的法向量，且，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】转化为，利用空间向量数量积的坐标运算，即得解
【详解】由题可知，，则，即.
故选：C
2. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】解：直线的倾斜角，则直线的斜率
故选：C.
3. 双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：本题可转化为一条直线截圆的弧长之比为，再求出 的值，得出双曲线的离心率．
详解：在双曲线中，，一条渐近线方程为，圆的圆心坐标为，半径为2，由已知有直线截圆的弧长之比为，所以圆心到直线的距离为圆半径的一半，为1，所以有，求得（负值舍去），故离心率，选B.
点睛：本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及的知识点有双曲线的简单几何性质，圆的一般方程化为标准方程，以及点到直线距离公式，属于中档题．
4. 在等比数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比中项的性质计算可得.
详解】由，∴．
故选：D
5. 设椭圆，双曲线的离心率分别为.若，则的所有可能取值的乘积为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率的公式即可代入求解值.
【详解】由，得，当时，有，得，
当时，有，得，故的所有可能取值的乘积为，
故选：C
6. “”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的离心率为求出m，进而求得答案.
【详解】椭圆的离心率为，当时，，得；
当时，，得．
即“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件．
故选：A.
7. 在正四面体ABCD中，P，Q分别为棱AB，CD中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M是EF中点，且满足，则M的轨迹是（ ）
A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线
【答案】A
【解析】
【分析】由正四面体性质得的夹角，作出所在的平面，再由条件化简后判断
【详解】由题意作图如下，取各边中点连接成，
在正四面体中，易得，故四边形为正方形，
由对称性可知中点，与EF中点，均在平面上，
，
则，而，
故，得，得M的轨迹是圆
故选：A
8. 双曲线的左焦点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线方程求参数c，即可写出左焦点坐标.
【详解】由题设，，故左焦点的坐标为.
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A. 若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量
B. 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定
C. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
D. 在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线方向向量的定义，空间向量基本定理，以及空间向量、空间点的坐标定义逐一判断可得.
【详解】当时，不能作为直线方向向量，A错误；
由确定直线条件可知，B正确；
根据空间向量基本定理可知，C正确；
由空间向量的坐标定义和空间点的坐标定义可知，D正确.
故选：BCD
10. 已知曲线C的方程为，则（ ）
A. 当时，曲线C是半径为2的圆
B. 存在实数k，使得曲线C的离心率为的双曲线
C. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
D. “”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据曲线C的方程，由圆、椭圆和双曲线的标准方程，结合充分条件和必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，曲线C的方程为，
当时，曲线C为，曲线C为圆，半径为2，所以A正确；
使得曲线C为离心率为的双曲线，可得，方程无解，所以B不正确；
当时，曲线C为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以C正确；
当时，曲线C为椭圆，焦点坐标在x轴上；当，曲线表示焦点坐标在y轴上的椭圆，所以“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”可知“”，反之不成立，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以D正确.
故选：ACD
11. 数列满足，，是的前项和，以下正确的是（ ）
A. 是数列的最小项
B. 是等差数列
C.
D. 对于两个正整数，，的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题知数列为等差数列，进而得，再根据通项公式，依次研究各选项即可.
【详解】解：因为，
所以，数列为等差数列，且公差为2，
又， ，
所以，，
所以，，又，
所以，当时，取得最小值，故A正确；
，故C不正确；
所以，，是常数，
所以是等差数列，故B正确；
对于两个正整数，，，
由，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12. 如图，已知在棱长为1的正方体中，点，，分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ）
A. 平面B. 平面
C. 直线与直线相交D. 直线与直线所成的角为30°
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A，利用线面平行的判定定理，即可判断；对B，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积即可判断；对 C，求出平面的法向量，由向量的数量积判断与平面相交，即可判断；对 D，利用向量的数量积求夹角即可．
【详解】解：对A，如图所示：
由题意，，平面，平面，
平面， 故A正确；
对B，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
故， ， ；
，，
故，，
即，
又，
平面，故B正确；
对C， ，
，， ，
，
故即为平面的法向量，
又，
故与平面相交，且交点为，
直线与直线不相交，故C错误；
对D，，
，
则，
即直线与直线所成的角为30°，故 D 正确..
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 直线的倾斜角为_______，经过点且与直线垂直的直线的斜截式方程为_____
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
由直线的斜率为即可得出倾斜角为，且与直线垂直的直线的斜率为1，利用点斜式即可求出直线方程.
【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，
，，，
与直线垂直的直线的斜率为1，
则所求直线方程为，即.
故答案：；.
14. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________，的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可求得，化简得，讨论的奇偶可求得范围.
【详解】，
当时，，解得，
当时，，
两式相减得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，，
，
当偶数时，，
当为奇数时，，
综上，可得的取值范围为.
故答案为：；.
15. 已知向量，且与互相垂直，则的值是__．
【答案】##
【解析】
【分析】两向量垂直，数量积为0，列方程求解.
【详解】因为与互相垂直，所以，解得．
故答案为：
16. 已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】设则代入圆:化简即可得到点的轨迹方程.
【详解】设则代入圆:
可得即
点的轨迹方程为
故答案为：
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. 作出以下图形
（1）如图1，已知向量 不共线，作向量.
（2）如图2，已知向量，求作向量.
【答案】（1）详见解答
（2）详见解答
【解析】
【分析】（1）根据向量的加法运算法则及几何意义作图即可
（2）根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可
【小问1详解】
如图所示，在平面中取任意一点作，则
【小问2详解】
如图所示，在平面中取任意一点作，则
18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）设，根据动点满足，用两点间距离公式化简求解.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.
【详解】（1）设，则由，
即，
化简得，
所以P点的轨迹方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；
当直线l的斜率存在时，设，
即，
由到l的距离，解得，
所以直线方程为，即，
综上，l的方程为或.
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系有①几何法，就是利用圆心到直线的距离和半径大小；②代数法，就是利用圆的方程和直线方程联立后由判别式求解.
19. 数列的前n项和为，，．
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的各项；
（2）利用求出数列的通项公式；
（3）推导出数列偶数项是以2为首项，9为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出结果．
【小问1详解】
，
，令得，
令得，
令得.
【小问2详解】
①，
当时，②，
①-②得，即，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列；
所以，，
由于不符合通项，
故．
【小问3详解】
，
故数列偶数项是以2为首项，9为公比的等比数列，
所以．
20. 当实数x为何值时，向量与平行？
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示有，求解即可.
【详解】由题设知：，解得.
21. 设数列的前项和为，，，．
（1）求证：是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求得的值，当时，由可得，两式作差变形可得，即，利用等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求得，利用分组求和法结合等比数列的求和公式、裂项相消法可求得.
【小问1详解】
证明：对任意的，，
当时，则有，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，所以，，则，
所以，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为.
【小问2详解】
解：由（1）可知，所以，，
所以，
.
22. 在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，焦点到相应准线的距离为，动直线l与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据焦点到准线距离，可得，然后结合离心率，联立方程，可得结果
（2）先求出直线斜率为零时，的面积，再设直线方程，与椭圆方程联立，使用韦达定理以及，可得关系并判断，表示出,使用换元法结合导数可得结果.
【详解】（1）由题可知：
由，
所以椭圆方程为
（2）设
①当直线时，由可得，，又，解得
而，∴．
②设直线方程为，
∴
所以
由，且
所以
则
化简可得
则
则
而
即
则
符合要求，即直线与椭圆有两个交点
则
由
化简可得：
令
所以
则
令，
则
令，则
令，则
所以在递增，在递减
所以当时有最大，即有最大
所以
所以的范围为
综合①②，的范围为．
【点睛】本题考查椭圆的方程以及椭圆与直线的几何关系的应用，设直线方程，找到关系，此题极大考验分析能力以及计算能力，属难题.