四川省广安第二中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省广安第二中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 已知，，且，则的值为， 已知表示的曲线是圆，则的值为， 已知为椭圆C， 已知数列的通项公式为，则等内容，欢迎下载使用。

2023年秋广安二中高2022级第二次月考
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班次、学号、智学网号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将直线化为斜截式方程得出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案.
【详解】将直线化为斜截式方程为，斜率.
设直线的倾斜角为，则.
又，所以.
故选：C.
2. 设等差数列的公差为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】由已知可得，解得.
故选：B.
3. 已知，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量共线列出关于的方程，由此求解出结果.
【详解】因为，所以，，
解得，
故选：A.
4. 如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算直接得解.
【详解】由是的中点，
可知，
所以，
故选：D.
5. 已知表示的曲线是圆，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.
【详解】由方程可得，
所以当时表示圆，解得.
故选：C.
6. 已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线上的点到焦点的最近距离为，结合离心率计算可得答案.
【详解】结合题意：双曲线上的点到焦点的最近距离为，
因为双曲线离心率为，所以，解得，
故双曲线的方程为.
故选：B.
7. 直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可.
【详解】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，
当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，
当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，
如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，
由图知，当或，与曲线有1个交点，
故选：C
8. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.
【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
.
等于的最小值的3倍，
.
椭圆中，
，即，
则.
，
，解得或（舍）.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知数列的通项公式为，则（ ）
A. 数列为递增数列B.
C. 为最小项D. 为最大项
【答案】CD
【解析】
【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的性质即可判断A、C、D；求得即可判断B．
【详解】，
当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减，
则为最小项，为最大项，故C、D正确，A错误；
，，则，故B错误，
故选：CD．
10. 已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数，使得曲线为圆
B. 若曲线C为椭圆，则
C. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则
D. 当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.
【详解】A正确：曲线C为圆即 ；
B错误：C为椭圆
C正确：C为焦点在x轴上的双曲线，
D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值.
故选：AC
11. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PD的中点，则（ ）
A. 直线CM与AD所成角的余弦值为B.
C. D. 点M到直线BC的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】过A作，垂足为E，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各个选项即可.
【详解】过A作，垂足E，则，
以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
，，
因为，
所以直线CM与AD所成角的余弦值为，故A正确；
因为，所以B正确；
因为，
所以BM与PC不垂直，故C不正确；
设点M到直线BC的距离为d，则，
即点M到直线BC的距离为，故D正确．
故选：ABD.
12. 已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A. 若点，则直线的方程为
B. 面积的最小值为
C. 直线过定点
D. 以线段为直径圆可能不经过点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A：计算出过、、三点的圆的方程，再两圆方程相减即可得到；
对B：当最小时，的面积会有最小值；
对C：设出点坐标，再计算出直线的方程，求定点即可得到；
对D：可寻找特殊点，如A选项中，计算发现不经过点即可得到.
【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，

由，两式相减得，，故A错误；
B选项，到直线：的距离为，
而，所以的最小值为，
所以面积最小值为，故B正确；
C选项，设，，
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为，
化简得：，
由，两式相减得，
即，
由，解得，
所以直线过定点，故C正确；
D选项，由A选项，由，
解得或,
即，，，
即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．
故选：BCD.
三､填空题：本大题共4小题，把答案填写在题中横线上．
13. 直线与直线的距离为__________.
【答案】##0.7
【解析】
【分析】把直线方程化为，利用两平行线之间的距离公式，即可求解结果．
【详解】由直线，可化为，
则直线和直线之间的距离．
故答案为：
14. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案.
【详解】因为，，
所以，向量在上的投影向量是，
其坐标为.
故答案为：.
15. 已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】过作准线的垂线，垂足为，则，
显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，最小，其最小值为．
故答案为：

16. 如图,我们把由半椭圆：和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线交曲线于两点,则=________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】(1)根据椭圆方程，求得三个焦点坐标，结合距离公式求得的周长即可.
(2)根据点斜式得出直线的方程，与椭圆联立，代入弦长公式即可.
【详解】(1)由题意得
的周长为
故答案为：.
(2)根据题意得直线的方程为
将直线与曲线联立,得
设则
弦长.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列前项和为．
（1）试写出数列的前项；
（2）求的通项公式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由数列的前项和公式,得代入运算即可.
(2)根据得验证综合可得的通项公式.
【小问1详解】
数列前项和为,
【小问2详解】
由题得时,
又不符合上式,
18. 已知的三个顶点，D为BC的中点.求：
（1）中线AD所在直线的方程；
（2）BC边上的高所在直线的方程.
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.
（2）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
【小问1详解】
BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.
【小问2详解】
、，BC边斜率k，则BC边上的高线的斜率k＝，
所以BC边上高线所在直线的方程为，即.

19. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）点和的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求解半径.
（2）已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.
【小问1详解】
点和的中点为，,所以中垂线的， 利用点斜式得方程为，联立方程 得圆心坐标为， 所以圆C的标准方程为.
【小问2详解】
当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为，此时弦长，符合题意.
当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为，化简得，弦心距，所以，解得，所以直线方程为.综上所述直线方程为或.
20. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【小问1详解】
证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
【小问2详解】
平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
21. 已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
【小问2详解】
由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，
不妨设，，，
则，，
由可得，
联立方程，消去x得
则，由韦达定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即.
22. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标．
【答案】（1）；（2）直线经过定点.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，再结合即可求解椭圆标准方程；
（2）联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，求出，结合韦达定理可得与的代换式，代入整理成点斜式即可求解
【详解】（1）因为，的面积，且，
故解得，，，则，，
则椭圆的标准方程为．
（2）假设，，
直线与椭圆联立得消去整理得，
则，，又因为，
所以，，则，
即，代入韦达定理得，
即，化简得，
因为，则，
即，代入直线得，
所以恒过，故直线经过定点．