2022-2023学年山东省菏泽市定陶区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市定陶区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，已知∠BAD=∠CAD，则下列条件中不一定能使△ABD≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. ∠BDA=∠CDA
C. AB=AC
D. BD=CD
3.把分式3aba+b中的a，b都扩大2倍，则分式的值( )
A. 扩大6倍B. 扩大4倍C. 扩大2倍D. 不变
4.疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新冠肺炎防控，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表，则他们捐款金额的众数和中位数分别是( )
A. 100，10B. 17，10C. 10，20D. 17，20
5.命题：
①一个三角形中至少有两个锐角；
②垂直于同一条直线的两条直线垂直；
③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0；
④使分式2x−2x2−1有意义的条件为x≠±1.其中为真命题的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.解分式方程1−xx−2=12−x−2时，去分母变形正确的是( )
A. −1+x=−1−2(x−2)B. 1−x=1−2(x−2)
C. −1+x=1+2(2−x)D. 1−x=−1−2(x−2)
7.如图，在△ABC中，若∠B=30°，∠C=50°，则∠DAE的度数为( )
A. 45°B. 35°C. 30°D. 40°
8.王珊珊同学在学校阅览室借了一本书，共240页，管理员要求在两周内归还，当她读了这本书的一半时，发现每天要多读5页才能在借期内读完，问：前一半她每天读多少页？如果设前一半每天读x页，则下列方程正确的是( )
A. 120x+120x−5=14B. 240x+240x+5=14
C. 14x+14x+5=1D. 120x+120x+5=14
9.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论①AD//BC；②∠BDC=12∠BAC；③∠ADC=90°−∠ABD；④BD平分∠ADC.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.定义一种新运算ban·xn−1dx=an−bn，例如nk2xdx=k2−n2，
若5mm−x−2dx=−2，则m=( )
A. −2B. −25C. 2D. 25
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是_____．
12.命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是______ ．
13.一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是______．
14.分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)有增根，则m的值为______．
15.某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核(考核的满分均为100分)，三个方面的重要性之比依次为3：5：2.小王经过考核后所得的分数依次为90、88、83分，那么小王的最后得分是______ 分.
16.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为______．
17.有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成.现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要x天完成，则根据题意可列方程______ ．
18.如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2=4，则△AnBnAn+1的边长为______。
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
先化简，再求值m2−4m+4m−1÷(3m−1−m−1)，其中m=−1．
20.(本小题10分)
解方程：
(1)1x−3−2=3x3−x；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
21.(本小题9分)
如图，平面直角坐标系中，A(−2,1)，B(−3,4)，
C(−1,3)，过点(1,0)作x轴的垂线l．
(1)作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
(2)直接写出A1(______，______)，B1(______，______)，C1(______，______)；
(3)在△ABC内有一点P(m,n)，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为(______，______)(结果用含m，n的式子表示)．
22.(本小题12分)
在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成如下尚不完整的统计图表：
甲运动员射击成绩折线图

乙运动员成绩统计表(单位：环)
(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是______ 环，中位数是______ 环；
(2)求乙运动员第5次的成绩；
(3)如果从中选择一个成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由．
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
(1)求证：AD=BE；
(2)试猜想：△CGH是什么三角形，并加以证明．
24.(本小题10分)
列方程解应用题：
初二(1)班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
25.(本小题10分)
如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF.过点F作FN垂直于BA的延长线于点N．
(1)求∠EAF的度数；
(2)如图2，连接FC交BD于M，交AD于N.试证明：BD=BG+DG=AF+2DM．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各个选项进行分析即可．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故选项正确；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵∠BAD=∠CAD，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD(AAS)；
B、∵∠BAD=∠CAD，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD(ASA)；
C、∵∠BAD=∠CAD，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD(SAS)；
D、∵∠BAD=∠CAD，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
故选：D．
利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：3aba+b中的a，b都扩大2倍，得
3×2a⋅2b2a+2b=2×3aba+b，
故选：C．
根据分式的性质，可得答案．
本题考查了分式的性质，把a，b分别换成2a，2b是解题关键，又利用了分式的性质．
4.【答案】C
【解析】解：∵这组数据中10元的人数最多，
∴这组数据的众数是10元；
中位数为第25、26个数据的平均数，
∴这组数据的中位数为20+202=20(元)，
故选：C．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】B
【解析】解：①一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；
②垂直于同一条直线的两条直线平行，是假命题；
③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和不一定小于0，例如−3×4=−12，−3+4=1，是假命题；
④使分式2x−2x2−1有意义的条件为x≠±1，是真命题；
故选：B．
根据三角形内角和定理即可判断①；根据平行线的判定即可判断②；根据有理数乘法和加法计算法则即可判断③；根据分式有意义的条件为分母不为0即可判断④．
本题主要考查了判断命题真假，三角形内角和定理，平行线的判定，有理数的乘法和加法运算，分式有意义的条件，灵活运用所学知识是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：去分母得：1−x=−1−2(x−2)，
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7.【答案】B
【解析】解：∵DF垂直平分AB，
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠B=30°．
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−50°=100°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=100°−30°=70°．
又∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=12∠DAC=12×70°=35°．
故选：B．
利用等腰三角形的三线合一，可求出∠BAD的度数，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，将其代入∠DAC=∠BAC−∠BAD中，可求出∠DAC的度数，再利用角平分线的定义，即可求出∠DAE的度数．
本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及角平分线的定义，观察图形，根据作图的痕迹，找出DF垂直平分AB及AE平分∠DAC是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设前一半每天读x页，则后一半每天读(x+5)页，根据题意可得等量关系：读前一半所用时间+读后一半所用时间=14，根据等量关系列出方程即可．
【解答】
解：设前一半每天读x页，由题意得：
120x+120x+5=14，
故选D．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的判定及三角形内角和定理，主要考查学生的推理能力．根据三角形外角和平行线的性质即可得出正确结论．
【解答】
解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，即①正确；
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF
∴∠DCF=12∠ACF，∠DBC=12∠ABC，
∵∠DCF是△BCD的外角，
∴∠BDC=∠DCF−∠DBC=12∠ACF−12∠ABC=12(∠ACF−∠ABC)=12∠BAC，即②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC=12∠EAC，∠DCA=12∠ACF，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC=180°−(∠DAC+∠ACD)
=180°−12(∠EAC+∠ACF)
=180°−12(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)
=180°−12(180°+∠ABC)
=90°−12∠ABC
=90°−∠ABD，即③正确；
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°−12∠ABC
∴∠ADB不等于∠CDB，即④错误，
∴正确的有3个．
故选C．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了负整数指数幂和新定义，理解新定义，并根据新定义进行计算是本题的关键．
根据新运算列等式为m−1−(5m)−1=−2，解出即可．
【解答】
解：由题意得：5mm−x−2dx=m−1−(5m)−1=−2，
即1m−15m=−2，
∴5−1=−10m，
m=−25，
经检验m=−25是方程的解．
故选：B．
11.【答案】6cm或7cm
【解析】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长=6cm时，底边=20−6−6=8cm，即6+6>8，能构成三角形，
∴当底边=6cm时，腰长=20−62=7cm，即7+6>7，能构成三角形，
∴腰长是6cm或7cm，
故答案为：6cm或7cm．
当腰长=6cm时，底边=20−6−6=8cm，当底边=6cm时，腰长=20−62=7cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．
12.【答案】两条直线平行于同一条直线
【解析】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线．
故答案为：两条直线平行于同一条直线．
每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是“题设”，“那么”后面的内容是“结论”．
此题考查的是命题与定理，解决本题的关键是理解命题的题设和结论的定义．题设是命题的条件部分，结论是由条件得到的结论．
13.【答案】2
【解析】解：平均数是3=15(1+2+3+x+5)，
∴x=15−1−2−3−5=4，
∴方差是S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=15×10=2．
故答案为：2．
先用平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算．
本题考查了平均数和方差的概念，解题的关键是牢记方差的计算公式，难度不大．
14.【答案】3
【解析】解：方程两边都乘以(x−1)(x+2)得，
x(x+2)−(x−1)(x+2)=m，
x2+2x−x2−x+2=m，
m=x+2，
∵分式方程有增根，
∴(x−1)(x+2)=0，
∴x−1=0，x+2=0，
解得x=1或x=−2，
当x=1时，m=x+2=1+2=3，此时原方程化为xx−1−1=3(x−1)(x+2)，方程确实有增根，
当x=−2时，m=x+2=−2+2=0，此时原方程化为xx−1−1=0，所以x−(x−1)=0，此方程无解，所以m=0不符合题意，
所以m的值为3．
故答案为：3．
方程两边都乘以最简公分母(x−1)(x+2)把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．
本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值，确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15.【答案】87.6
【解析】解：小王的最后得分是3×90+5×88+2×833+5+2=87.6(分)，
故答案为：87.6．
利用加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
16.【答案】6
【解析】解：∵AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，
∴AD=6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为6，
故答案为：6．
根据三角形的面积公式即可得到AD=6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17.【答案】2(1x+1x+3)+x−2x+3=1
【解析】解：设甲单独做需x天，则乙单独做需(x+3)天，
由题意得：2(1x+1x+3)+x−2x+3=1，
故答案为：2(1x+1x+3)+x−2x+3=1．
设甲单独做需x天，则乙单独做需(x+3)天，再根据甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成列出方程即可．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．
18.【答案】2n
【解析】【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，由条件得到OA4=2OA3=4OA2=8OA1是解题的关键．
【解答】
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠B1A1A2=60°，
∵∠MON=30°，
可得∠OB1A1=∠MON=30°，
∵OA2=4，
∴OA1=A1B1=A1A2=A2B1=2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
同理可得
∴A2A3=2A1A2=4，
A3A4=2A2A3=8，
A4A5=2A3A4=16，
...
AnAn+1=2n
故答案为2n。
19.【答案】解：m2−4m+4m−1÷(3m−1−m−1)
=(m−2)2m−1÷3−(m+1)(m−1)m−1
=(m−2)2m−1⋅m−13−m2+1
=(m−2)2(2+m)(2−m)
=2−m2+m，
当m=−1时，原式=2+12−1=3．
【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.【答案】解：(1)方程两边同时乘(x−3)，得：1−2(x−3)=−3x，
去括号，得：1−2x+6=−3x，
移项合并同类项，得x=−7，
检验：当x=−7时，x−3=−10≠0，
∴x=−7是原方程的解；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
整理得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，
则分式方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)(4,1)；(5,4)；(3,3)；
(3)(−m+2,n)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)(4,1)；(5,4)；(3,3)；
(3)点P关于直线l的对称点P1的坐标为(−m+2,n)．
(1)(2)利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1各顶点的坐标；
(3)可先得到P点关于y轴的对称点，然后把此对称点向右平移2个单位得到可得到点P1的坐标．
本题考查了作图−轴对称变换：轴对称几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
22.【答案】9 9
【解析】解：(1)∵9环出现了两次，出现的次数最多，则甲运动员前5箭射击成绩的众数是9环；
把这些数从小到大排列为：5，7，9，9，10，最中间的数是9，则中位数是9环；
故答案为：9，9；
(2)∵甲运动员的5次的总成绩是：5+7+9+9+10=40(环)，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，
∴a=40−8−10−8−6=8(环)；
(3)甲运动员的方差是：15[(9−8)2+(5−8)2+(10−8)2+(7−8)2+(9−8)2]=3.2，
乙运动员的方差是：15[(8−8)2+(10−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(8−8)2]=1.6，
∵S甲2=3.2>S乙2=1.6，
∴乙运动员的成绩比较稳定，应选乙运动员参加全市中学生比赛．
(1)根据众数和中位数的定义分别进行解答即可得出答案；
(2)先算出甲运动员5次的总成绩，再根据甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，即可求出乙运动员第5次的成绩；
(3)根据方差公式先求出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
此题考查了折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了中位数、众数和方差的意义．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACD=∠ECB，
在△ACD与△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠ECBEC=DC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
(2)解：△CGH是等边三角形．
证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBH=∠CAG，
∵∠ACB=∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上，
∴∠BCH=∠ACG=60°，
在△ACG≌△BCH中，
∠CBH=∠CAGAC=BC∠BCH=∠ACG，
∴△ACG≌△BCH(ASA)，
∴CG=CH(全等三角形的对应边相等)，
又∵∠ACG=60°，
∴△CGH是等边三角形．
【解析】(1)由△ABC和△CDE均为等边三角形得AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，可证明△ACD≌△BCE，则可得出结论；
(2)证明△ACG≌△BCH，由全等三角形的性质得出CG=CH，根据∠ACG=60°即可证明．
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质．
24.【答案】解：(1)设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得：60x=601.5x+14+14，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，
1.5x=1.5×40=60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
(2)设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
14+60−y60=60−y40，
解得：y=30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【解析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中的等量关系列出方程．
(1)根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
(2)根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
25.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠N=∠CEF=90°，
∴∠NEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠NEF=∠ECB，
∵EC=EF，
∴△EBC≌△FNE(AAS)，
∴FN=BE，EN=BC，
∵BC=AB，
∴EN=AB，
∴EN−AE=AB−AE，
∴AN=BE，
∴FN=AN，
∵FN⊥AB，
∴∠NAF=45°，
∴∠EAF=135°，
(2)过点F作FG/​/AB交BD于点G．
由(1)可知∠EAF=135°，
∵∠ABD=45°
∴∠EAF=135°+∠ABD=180°，
∴AF/​/BG，
∵FG/​/AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AF=BG，FG=AB，
∵AB=CD，
∴FG=CD，
∵AB/​/CD，
∴FG/​/CD，
∴∠FGM=∠CDM，
∵∠FMG=∠CMD，
∴△FGM≌△CDM(AAS)，
∴GM=DM，
∴DG=2DM，
∴BD=BG+DG=AF+2DM．
【解析】(1)根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，利用AAS证明△EBC≌△FNE即可解决问题；
(2)过点F作FG/​/AB交BD于点G，首先证明四边形ABGF为平行四边形，再利用AAS证明△FGM≌△CDM即可解决问题．
此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
8
10
8
6
a