2023-2024学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.3的倒数是( )
A. −3B. 13C. −13D. 3
2.下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若两个相似三角形的相似比为1：3，则这两个三角形的面积比为( )
A. 1：3B. 1：9C. 1： 3D. 1：6
4.若反比例函数y=−6x的图象一定经过的点是( )
A. (−1,−6)B. (1,6)C. (−6,−1)D. (1,−6)
5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA的值为( )
A. 34B. 43C. 35D. 45
6.估计( 3+ 2)× 2的值应在( )
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
7.关于二次函数y=(x−1)2+3，以下说法正确的是( )
A. 其图象开口向下B. 其顶点坐标为(−1,3)
C. 其图象的对称轴为直线x=1D. 当x>−1时，y随x的增大而增大
8.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D=32°，则∠BAC的度数是( )
A. 16°
B. 24°
C. 26°
D. 29°
9.如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y=kx(k≠0)过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 203
10.对于若干个数，我们先将任意两个数作差(相同的两个数只作一次差)，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”.例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到|1−2|+|2−3|+|1−3|=4.则：
①对−2，−1，3，5，7作“差绝对值运算”的结果是48；
②对x，−32，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为272；
③对x，y，z(x≠y≠z)作“差绝对值运算”的结果一共有8种．
以上说法中正确的个数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算：|1− 3|+tan45°= ______ ．
12.点A(6,−1)关于y轴的对称点坐标为______ ．
13.已知m是一元二次方程x2−x−4=0的一个根，则代数式2m2−2m+1的值为______ ．
14.有三张正面分别写有数字1，2，3的卡片，它们除数字外其余完全一样.将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字之和为5的概率是______ ．
15.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，以A为圆心，AB为半径画弧，图中阴影部分的面积为______ ．
16.已知关于x的分式方程nx(x−2)(x−3)=2x−2+1x−3的解为正整数，且关于y的不等式组n−y<−6y−1≥3(y−1)无解，则满足条件的所有整数n的和为______ ．
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点E，F分别为边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿着EF翻折，使得A点落在BC边上的D处，BD=4，则OF的长度为______ ．
18.对于一个四位正整数q，如果满足各个数位上的数字互不相同且均不为零，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数q为“和平数”.在“和平数”q中，从千位数字开始顺次取出三个数字依次作为百位数字、十位数字和个位数字构成一个三位数，共形成四个三位数，再把这四个三位数的和与222的商记为F(q).例如：q=1245，F(1245)=124+245+451+512222=6，由此F(6835)= ______ .若s，t都是“和平数”，其中s=32x(y+1)−，t=m1(n+2)6−，(x,y,m,n都是整数，且1≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7)，规定k=F(s)F(t)，当F(s)+F(t)是一个完全平方数时，k的最小值为______ ．
三、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(m+1)(m−1)+4m(1−m)；
(2)(1−xx+2)÷x2−4x2+4x+4．
20.(本小题10分)
在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系.请根据她的思路完成以下作图与填空：
(1)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交BC于点E，垂足为点O，连接BO并延长，在射线BO上截取OD=OB，连接AD、CD.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)问所作的图形中，求证：OB=12AC．
证明：∵OE垂直平分AC，
∴点O是AC的中点．
∴OA= ______ ．
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC= ______ ，
∴四边形ABCD是______ ．
∴ ______ ．
∵OB=12BD，
∴OB= ______ ．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3过点(−1,4)，且与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF/​/x轴交BC于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标；
(3)将该抛物线沿射线CB方向平移 2个单位长度得到新的抛物线y′，平移后的抛物线y′与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
22.(本小题10分)
在△ABC中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，连接CD．
(1)如图1，若∠ACD=90°，tan∠CAD=13，AB= 10，求线段BC的长度．
(2)如图2，点E为线段BC的中点，连接AE，若∠ACD=135°，猜想AC，CD，AE的数量关系．
(3)如图3，当∠BAC=60°时，过点B作射线AC的垂线，垂足为点G.点H为直线BG上的一个动点，将△AGH沿直线AH翻折至△AGH所在平面内得到△AFH，连接BF，取BF的中点为点Q，连接DQ，当线段DQ取得最小值时，将△ADQ沿直线DQ翻折至△ADQ所在平面内得到△KDQ，过点K作线段AD的垂线，垂足为点W，连接BK，直接写出DWBK的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为3×13=1，
所以3的倒数是13．
故选：B．
根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．
本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项C中的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】B
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴这两个三角形的面积比为1：9．
故选B．
由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得这两个三角形的面积比．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．
4.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=−6x，
∴xy=−6，
A、∵(−1)×(−6)=6≠−6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵1×6=6≠−6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵(−6)×(−1)=6≠−6，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
D、∵1×(−6)=−6，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
根据k=xy对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA=BCAC=43．
故选：B．
根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：原式= 6+2，
∵ 4< 6< 9，即2< 6<3，
∴4< 6+2<5，
故选：B．
根据算术平方根的定义估算无理数 6的大小，进而得出 6+2的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确判断的前提．
7.【答案】C
【解析】解：A.二次函数y=(x−1)2+3中的a=1>0，则其图象开口向上，故A不符合题意；
B.二次函数y=(x−1)2+3的顶点坐标是(1,3)，故B不符合题意；
C.二次函数y=(x−1)2+3的对称轴是直线x=1，故C符合题意；
D.二次函数y=(x−1)2+3的对称轴是直线x=1，其图象开口向上，则当x>1时，y随x的增大而增大，故D不符合题意．
故选：C．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的图象，顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=32°，
∴∠DOC=90°−∠D=90°−32°=58°，
∴∠BAC=12∠DOC=12×58°=29°，
故选：D．
连接OC，由切线的性质得∠OCD=90°，而∠D=32°，则∠DOC=90°−∠D=58°，由圆周角定理得∠BAC=12∠DOC=29°，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设点E坐标为(x,y)，
∵E是OB的中点，
∴B点的坐标为(2x,2y)，
则点D的坐标为(k2y,2y)，
∵△DOE的面积为7.5，
∴S△OBD=2×7.5=15，
∴12×(2x−k2y)×2y=15，
解得：k=10．
故选：B．
设点E坐标为(x,y)，B点的坐标为(2x,2y)，则点D的坐标为(k2y,2y)，根据面积公式代入坐标列出方程解出k值即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①选项正确；
②选项正确；根据题意列得式子：|x+32|+|x−1|+|x−3|+|−32−1|+|−32−3|+|1−3|，当x=1时取最小值，最小值为272；
③选项错误；共有6种答案．
故选：B．
利用绝对值的相关性质进行解题．
本题考查绝对值的相关性质，利用性质是解题关键．
11.【答案】 3
【解析】解：原式= 3−1+1
= 3．
故答案为： 3．
利用绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值的意义和特殊角的三角函数值是解题的关键．
12.【答案】(−6,−1)
【解析】解：点A(6,−1)关于y轴的对称点坐标为(−6,−1)．
故答案为：(−6,−1)．
让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
本题考查关于y轴对称的点的特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
13.【答案】9
【解析】解：∵m是一元二次方程x2−x−4=0的一个根，
∴m2−m−4=0，
∴m2−m=4，
∴2m2−2m+1=2(m2−m)+1=9．
故答案为：9．
把x=m代入一元二次方程得到x2−x−4=0，然后利用代数式变形可得到代数式m2−m的值，最后整体代入即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14.【答案】29
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中取的两张卡片上的数字之和为5的结果有：(2,3)，(3,2)，共2种，
∴取的两张卡片上的数字之和为5的概率为29．
故答案为：29．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之和为5的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15.【答案】4 3−8π3
【解析】解：阴影部分的面积为：4×4inA−60π⋅42360=8 3−8π3，
故答案为：8 3−8π3．
根据“割补法”求面积．
本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式及割补法是解题的关键．
16.【答案】−2
【解析】解：分式方程去分母得：nx=2(x−3)+(x−2)，
整理得：(n−3)x=−8，
解得：x=83−n，
由分式方程有正整数解，得到n=−5，−1，1，2．
当n=−1时，x=2，原分式方程无解，
所以n=−5，1，2．
不等式组整理得：y>n+6y≤1，
由不等式组无解，得n+6≥1，
∴n=−5，1，2．
∴满足条件的所有整数n的和为−2．
故答案为：−2．
依据题意，根据分式方程有正整数解确定出n的值，再由不等式组无解确定出满足题意n的值，求出之和即可．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】 102
【解析】解：如图，过点D作DG⊥AB，交AB于点G，
∵∠C=90°，AC=BC=6，DG⊥AB，
∴△BDG为等腰直角三角形，AB=6 2，
∵BD=4，
∴BG=DG= 22BD=2 2，
设DF=x，则根据翻折AF=DF=x，
∴FG=AB−AF−BG=6 2−x−2 2=4 2−x，
在Rt△DGF中，DG2+FG2=DF2，
可得方程，(2 2)2+(4 2−x)2=x2，
解得：x=52 2，
∴AF=52 2，
∵将△AEF沿着EF翻折，使得A点落在BC边上的D处，
∴AO=12AD，∠FOA=90°，
∵AD= AC2+CD2= 62+(6−4)2=2 10，
∴AO= 10，
∴OF= AF2−AO2= (52 2)2−( 10)2= 102，
故答案为： 102．
过点D作DG⊥AB，交AB于点G，根据题意，可得△BGD为等腰直角三角形，再根据翻折可得AF=DF，AO=12AD，∠FOA=90°，求出AO，再设DF=x，根据勾股定理求出DF的长，即可得到OF的长．
本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，根据翻折问题，正确的作出辅助线，一步一步推论是解题的关键．
18.【答案】11 35
【解析】解：F(6835)=683+835+356+568222=11，
F(s)=32x+2x(y+1)+x(y+1)3+(y+1)32222=6+x+y2，
F(t)=m1(n+2)+1(n+2)6+(n+2)6m+6m1222=9+m+n2，
k=F(s)F(t)=6+x+y9+m+n，
∵s，t都是“和平数”，
∴3+y+1=2+x，6+m=1+n+2，
x=y+2，n=m+3，
∵x，y，m，n都是整数，且1≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7，
∴1≤x≤9，0≤y≤7，1≤m≤4，0≤n≤7，
∵F(s)+F(t)=10+y+m是一个完全平方数，
k=y+4m+6取最小，
∴m=4，y=2，F(s)+F(t)=16，k取最小值35，
故答案为：11，35．
根据公式可得F(6835)、F(s)、F(t)，s，t都是“和平数”，可得x与y、m与n的关系，化简k、F(s)+F(t)，再根据取值范围可得k的最小值．
本题考查了因式分解、完全平方数，关键是注意取值范围．
19.【答案】解：(1)(m+1)(m−1)+4m(1−m)
=m2−1+4m−4m2
=−1+4m−3m2；
(2)(1−xx+2)÷x2−4x2+4x+4
=x+2−xx+2⋅(x+2)2(x+2)(x−2)
=2x+2⋅x+2x−2
=2x−2．
【解析】(1)利用平方差公式及单项式乘多项式的法则进行计算即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算、平方差公式及单项式乘多项式的法则，熟知以上知识是解题的关键．
20.【答案】OC 90° 矩形 AC=BD 12AC
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵OE垂直平分AC，
∴点O是AC的中点．
∴OA=OC．
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴AC=BD，
∵OB=12BD，
∴OB=12AC．
故答案为：OC，90°，矩形，AC=BD，12AC．
(1)根据要求作出图形；
(2)证明四边形ABCD是矩形，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)将点(−1,4)，(1,0)代入y=ax2+bx+3，
∴a−b+3=4a+b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
(2)当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
当y=0时，−x2−2x+3=0，
解得x=1或x=−3，
∴B(−3,0)，
∴OB=OC=3，
∴∠CBO=45°，
∵PF//x轴，
∴∠PFE=∠CBO=45°，
∵PE⊥BC，
∴PE=EF，
∴PE+PF=( 22+1)PF，
易求直线BC的解析式为y=x+3，
设P(t,−t2−2t+3)，则F(−t2−2t,−t2−2t+3)，
∴PF=−t2−3t，
∴PE+PF=( 22+1)PF=( 22+1)(−t2−3t)=−( 22+1)(t+32)2+94( 22+1)，
∵点P为直线BC上方，
∴−3∴当t=−32时，PE+PF有最大值94( 22+1)，此时P(−32,154)；
(3)设抛物线向x轴负方形平移1个单位，则向y轴负方向平移1个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y=−(x+2)2+3，
当−x2−2x+3=−(x+2)2+3时，x=−2，
∴D(−2,3)，
设M(n,n+3)，N(x,y)，
当BD为平行四边形的对角线时，BM=MD，
−3−2=n+x3=n+3+y(n+3)2+(n+3)2=(n+2)2+n2，
解得n=−74x=−134y=74，
∴N(−134,74)；
当BM为平行四边形的对角线时，BD=DM，
∴−3+n=−2+xn+3=3+y1+9=(n+2)2+n2，
解得n=−1+12 26x=−2+12 26y=−1+12 26或n=−1−12 26x=−2−12 26y=−1−12 26，
∴N(−2+12 26,−1+12 26)或(−2−12 26,−1−12 26)；
当BN为平行四边形的对角线时，BD=BM，
∴−3+x=−2+ny=n+61+9=(n+3)2+(n+3)2，
解得n=−3+ 5x=−2+ 5y=3+ 5或n=−3− 5x=−2− 5y=3− 5，
∴N(−2+ 5,3+ 5)或(−2− 5,3− 5)；
综上所述：N点坐标为(−134,74)或(−2+12 26,−1+12 26)或(−2−12 26,−1−12 26)或(−2+ 5,3+ 5)或(−2− 5,3− 5).
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)由题意可得PE+PF=( 22+1)PF，设P(t,−t2−2t+3)，则F(−t2−2t,−t2−2t+3)，则PF=−t2−3t，可求PE+PF=−( 22+1)(t+32)2+94( 22+1)，当t=−32时，PE+PF有最大值94( 22+1)，此时P(−32,154)；
(3)由题可求平移后的抛物线解析式为y=−(x+2)2+3，从而求出D(−2,3)，设M(n,n+3)，N(x,y)，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：如图1，

作CE⊥AB于E，
∵∠ACD=90°，tan∠CAD=13，
∴sin∠CAD= 1010，cs∠CAD=3 103
∴CD=AD⋅sin∠CAD= 10× 1010=1，
AC= 10×3 1010=3，
∵∠AEC=∠BAD=90°，
∴AD//CE，
∴∠ACE=∠DAC，
∴AE=AC⋅sin∠ACE=3× 1010=3 1010，
CE=3×3 1010=9 1010，
∴BE=AB−AE= 10−3 1010=7 1010，
∴BC= CE2+BE2= (9 1010)2+(7 1010)2= 13；
(2)如图2，，

22AC+12CD=AE，理由如下：
将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△AFB，连接CF，EF，
∴∠AFB=135°，AC==AF，
∴∠AFC=45°，
∴∠BFC=∠AFB−∠AFC=90°，
∵点E是BC的中点，
∴EF=CE=12BC，
∴AE⊥CF，
∴AG= 22AF= 22AC，CG=FG，
∴EG=12BF=12CD，
∵AG+EG=AE，
∴ 22AC+12CD=AE；
(3)如图3，

取AB的中点O，连接OQ，
∵∠AGB=90°，∠BAC=60°，
∴AG=12AB，
由折叠得：AF=AG，
∴AF=12AB，
∵Q是BF的中点，
∴OQ=12AF=12AG=14AB，
∴点Q在以O为圆心，14AB为半径的圆上运动，
连接OD，交⊙O于点Q′，当点Q运动到Q′处时，DQ最小，
如图4，

作KX⊥AB于X，设AK交OD于T，
∵将△ADQ沿直线DQ翻折至△ADQ所在平面内得到△KDQ，
∴AT=KT，AK⊥OD，
∵O是AB的中点，
∴OT//BK，
∴BK⊥AK，
∵∠DAO=∠ATO=90°，
∴∠ADO+∠AOD=∠AOD+∠BAK，
∴∠BAK=∠DAO，
同理可得：∠BKX=∠BAK，
∴∠BKX=∠BAK=∠DAO，
∴tan∠BKX=tan∠BAK=tan∠DAO=OAAD=12，
∴BXKX=BKAK=12，
∴BX=k，则AW=KX=2k，BK= 5k，AD=AB=5k，
∴DW=AD−KX=3k，
∴DWBK= 53．
【解析】(1)作CE⊥AB于E，解Rt△ACD求得CD和AC，解Rt△ACE求得AE和CE，进一步得出结果；
(2)将△ACD绕点A顺时针旋转90°至△AFB，连接CF、EF，可推出△BCF是直角三角形，进而得出CE=EF，结合AC=AF推出CF⊥AE，CG=FG，从而得出EG是△CBF的中位线，进一步得出结果；
(3)取AB的中点O，连接OQ，可推出OQ=12AF=12AG=14AB，从而得出点Q在以O为圆心，14AB为半径的圆上运动，连接OD，交⊙O于点Q′，当点Q运动到Q′处时，DQ最小；作KX⊥AB于X，设AK交OD于T，可推出∠BKX=∠BAK=∠DAO，进而得出BXKX=BKAK=12，设BX=k，则AW=KX=2k，BK= 5k，AD=AB=5k，DW=3k，进而得出结果．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，确定圆的条件等知识，解决问题的关键利用旋转将条件集中．