2022-2023学年山东省淄博市高青县七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省淄博市高青县七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国汉字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是( )
A. B.
C. D.
3.已知a，b分别是6− 13的整数部分和小数部分，那么2a−b的值是( )
A. 3− 13B. 4− 13C. 13D. 5− 13
4.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB为半径画弧交网格线于点D，则ED的长为( )
A. 5
B. 3
C. 2
D. 13
5.如果点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，那么P点坐标为( )
A. (0,2)B. (2,0)C. (4,0)D. (0,−4)
6.已知一次函数y=mnx与y=mx+n(m,n为常数，且mn≠0)，则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为( )
A. B. C. D.
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F.若∠A=15°，∠BDF=120°，则∠DEF的度数为( )
A. 135°B. 130°C. 125°D. 120°
8.在平面直角坐标系中，若点P(m+3,−2m)到两坐标轴的距离相等，则m的值为( )
A. −1B. 3C. −1或3D. −1或5
9.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为8m，则BB′的长为( )
A. 1m
B. 2m
C. 3m
D. 4m
10.如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，l1、l2分别表示汽车、摩托车离A地的距离s(km)随时间t(h)变化的图象，则下列结论：
①摩托车比汽车晚到1h；
②A，B两地的距离为20km；
③摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；
④汽车出发1h后与摩托车相遇，此时距离B地40km；
⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．
其中正确的结论有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC=______度．
12.如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=−x+1上，则m的值为______．
14.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A(2,0)，B(6,0)是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为______．
15.如图，在△ABC中，已知：∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算：
(1) 4−38+3−127
(2)−14−2×(−3)2+3−27÷(−13)
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE/​/CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=15，AF=8，试求DE的长．
18.(本小题10分)
八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：
①测得BD的长度为8米：(注：BD⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
19.(本小题10分)
已知5a+4的立方根是−1，3a+b−1的算术平方根是3，c是 13的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求3a+b+2c的平方根．
20.(本小题12分)
如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家正北方向的4km处，公园D与地铁口和学校的距离分别5km和5 2km．
(1)求地铁口、公园和学校三地组成的∠BDC的大小；
(2)计算公园与小明家的距离．
21.(本小题12分)
抗击疫情，我们在行动．某药店销售A型和B型两种型号的口罩，销售一箱A型口罩可获利120元，销售一箱B型口罩可获利140元．该药店计划一次购进两种型号的口罩共100箱，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍．设购进A型口罩x箱，这100箱口罩的销售总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该商店购进A型、B型口罩各多少箱，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若限定该药店最多购进A型口罩70箱，则这100箱口罩的销售总利润能否为12500元？请说明理由．
22.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系中，过点B(4,0)的直线AB与直线OA相交于点A(3,1)，动点M在线段OA和射线AC上运动．
(1)求直线AB的解析式；
(2)直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
(3)当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
23.(本小题13分)
已知函数y=−12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y=2x的图象交于点M(2,4).在x轴上有一动点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数y=−12x+b和y=2x的图象于点C，D．
(1)求直线AB的函数关系式及点A的坐标；
(2)设点P(a,0)，若CD=12OB，求a的值及点C的坐标；
(3)在y轴上是否存在点E，使△OEM为等腰三角形？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵PA=PC，
∴P点为AC的垂直平分线的上的点．
故选：B．
利用垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
3.【答案】C
【解析】解：∵3< 13<4，
∴−4<− 13<3，
∴6−4<6− 13<6−3，
∴2<6− 13<3，
∵a，b分别是6− 13的整数部分和小数部分，
∴b=4− 13，
∴2a−b=2×2−(4− 13)= 13．
故选：C．
根据3< 13<4可得− 13的大小，然后结合题意可得a、b 的值，最后代入2a−b计算即可．
本题主要考查二次根式的估算和无理式的整数和小数部分，熟练掌握二次根式的估算是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：如下图，连接AD，则AD=AB=3，AE=2，
在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，
∴DE= 32−22= 5，
故选A．
连接AD，则AD=AB=3，三角形AED为直角三角形，由勾股定理可算出DE的长．
本题主要考查了勾股定理的简单应用，看出点B，点D在同弧上，则AB=AD=3，是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵点P(m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，
∴m+1=0，
解得：m=−1，
∴m+3=2，
∴点P的坐标为(2,0)．
故选：B．
在x轴上的点的坐标，纵坐标为0，从而可得m+1=0，则可求得m的值，即可求解．
本题主要考查坐标与图形性质，解答的关键是明确在x轴上的点的纵坐标为0．
6.【答案】D
【解析】解：A、由一次函数的图象可知，m>0，n<0，故mn<0；由正比例函数的图象可知mn>0，两结论不一致，故本选项不正确．
B、由一次函数的图象可知，m<0，n>0，故mn<0；由正比例函数的图象可知mn>0，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，m>0，n>0，故mn>0；由正比例函数的图象可知mn<0，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，m<0，n>0，故mn<0；由正比例函数的图象可知mn<0，两结论一致，故本选项正确；
故选：D．
分析：
根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
此题主要考查了一次函数的图象性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∵∠BDF=120°，
∴∠ADF=180°−120°=60°，
∴∠ADE=12∠ADF=30°，
∴∠DEA=180°−∠A−∠ADE=180°−15°−30°=135°，
∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置，
∴∠DEF=∠DEA=135°，
故选：A．
由折叠的性质可得∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，由邻补角定义可解得∠ADF=60°，继而解得∠ADE=12∠ADF=30°，再由三角形内角和180°解得∠DEA=135°，最后由折叠的性质解答即可．
本题考查三角形的内角和、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵点P(m+3,−2m)到两坐标轴的距离相等，
∴|m+3|=|−2m|，
∴m+3=−2m或m+3=2m，
m+2m=−3，m−2m=−3，
3m=−3，−m=−3，
m=−1或m=3，
故选：C．
根据点到坐标轴的距离等于它的横纵坐标的绝对值，利用已知条件列出关于m的含有绝对值的方程，解方程，求出答案即可．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离等于点的横纵坐标的绝对值．
9.【答案】B
【解析】解：∵AC=10m，BC=6m，
∴AB= AC2−BC2= 102−62=8(m)，
∵AC′=10m，B′C′=8m，
∴AB′= AC′2−B′C′2= 102−82=6(m)，
∴BB′=AB−AB′=8−6=2(m)；
故选：B．
根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB−AB′即可得出答案．
此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由图象可得，
摩托车比汽车晚到4−3=1h，故①正确；
A，B两地的距离为20km，故②正确；
摩托车的速度为：(180−20)÷4=40km/h，汽车的速度为：180÷3=60km/h，故③错误，故⑤错误；
设汽车出发th时，汽车和摩托车相遇，
40t+20=60t，
解得，t=1，
此时，汽车离B地的距离为：180−60×1=120km，
即汽车出发1h后与摩托车相遇，此时距离B地120km，故④错误；
故选：A．
根据题意和图象中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11.【答案】75
【解析】解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB/​/CD，
∴∠BAE=∠D=30°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=75°，
故答案为：75．
由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB/​/CD，所以∠BAE=∠D=30°，利用三角形的外角关系即可求出∠AEC的度数．
此题考查三角形的外角性质，识别三角板，判断出AB/​/CD是解本题的关键．
12.【答案】45°
【解析】解：连接AC，
由勾股定理得：AC2=22+12=5，
BC2=22+12=5，
AB2=12+32=10，
所以AC2+BC2=5+5=10=BA2，
所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
因为AC=BC，
所以∠ABC=45°，
故答案为：45°．
连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
13.【答案】1
【解析】解：点A关于x轴的对称点B的坐标为：(2,−m)，
将点B的坐标代入直线表达式得：−m=−2+1，
解得：m=1，
故答案为1．
点A关于x轴的对称点B的坐标为：(2,−m)，将点B的坐标代入直线表达式，即可求解．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解．
14.【答案】2 10
【解析】解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，
此时PA+PB最小，
∵OA′=2，BO=6，
∴PA+PB=A′B= 22+62=2 10．
故答案为：2 10．
作A点关于直线y=x的对称点A′，利用一次函数图象上点的坐标性质得出OA′=2，进而利用勾股定理得出结论即可．
此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出P点位置是解题关键．
15.【答案】16或10或254
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 102−62=8cm，
∵△ABP为等腰三角形，
当AB=AP时，则BP=2BC=16cm，即t=16；
当BA=BP=10cm时，则t=10；
当PA=PB时，如图：设BP=PA=x，则PC=8−x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2=AP2，
∴(8−x)2+62=x2，
解得x=254，
∴t=254．
综上所述：t的值为16或10或254．
故答案为：16或10或254．
根据勾股定理先求出BC=8cm，再由△ABP为等腰三角形，只要求出BP的长即可，分三类，当AB=AP时，则BP=2BC=16cm；当BA=BP=10cm；当PA=PB时，如图：设BP=PA=x，则PC=8−x，在Rt△ACP中，由勾股定理列出方程可求出BP的长．
本题主要考查了勾股定理、以及等腰三角形的性质，运用分类思想是正确解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=2−2−13=−13；
(2)原式=−1−18+9=−10．
【解析】(1)原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
(2)原式先计算乘方运算以及立方根，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE/​/CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF(ASA)；
(2)解：∵AE=15，AF=8，
∴EF=AE−AF=15−8=7，
∵△BDE≌△CDF
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=7，
∴DE=72．
【解析】(1)利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
(2)由题意可得EF=AE−AF=7，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=172−82=225，
所以，CD=15(负值舍去)，
所以，CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米)，
答：风筝的高度CE为16.6米；
(2)如图：
由题意得，CM=9，
∴DM=6，
∴MB2=DM2+BD2=82+62=100，
∴BM=10，
∴BC−BM=7(米)，
∴他应该往回收线7米．
【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论．
19.【答案】解：(1)∵5a+4的立方根是−1，
∴5a+4=−1，
∴5a=−5，
∴a=−1，
∵3a+b−1的算术平方根是3，
∴3a+b−1=9，−3+b−1=9，b=13，
∵c是 13的整数部分，
∴c=3；
(2)∵a=−1，b=13，c=3，
∴3a+b+2c=−3+13+6=16，
± 3a+b+2c=± 16=±4，
即3a+b+2c的平方根是±4．
【解析】(1)直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
(2)利用(1)中所求，代入求出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
20.【答案】解：(1)由题意得：BD=5km，CD=5 2km，∠BAC=90°，AB=3km，CA=4km，
∴BC= AB2+AC2= 32+42=5(km)，
∴BC=BD，
∵BC2+BD2=52+52=50，CD2=(5 2)2=50，
∴BC2+BD2=CD2，
∴△BCD是等腰直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠BDC=45°；
(2)过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：
则∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
由(1)得：∠CBD=90°，
∴∠DBE+∠CBA=90°，
∴∠BDE=∠CBA，
在△BDE和△CBA中，
∠DEB=∠BAC=90°∠BDE=∠CBABD=CB，
∴△BDE≌△CBA(AAS)，
∴DE=BA=3km，BE=CA=4km，
∴AE=BE+AB=7(km)，
∴AD= DE2+AE2= 32+72= 58(km)．
【解析】(1)由勾股定理求出BC=5(km)=BD，再由勾股定理的逆定理证△BCD是等腰直角三角形，∠CBD=90°，则∠BDC=45°；
(2)过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，证△BDE≌△CBA(AAS)，得DE=BA=3km，BE=CA=4km，再由勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，证明△BDE≌△CBA是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意得，
y=120x+140(100−x)=−20x+14000，
答：y与x的函数关系式为：y=−20x+14000；
(2)根据题意得，100−x≤3x，解得x≥25，
∵y=−20x+14000，k=−20<0；
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=25时，y有最大值，最大值为−20×25+14000=13500，
则100−x=75，
即商店购进A型口罩25箱、B型口罩75箱，才能使销售总利润最大，最大利润为13500元；
(3)根据题意得25≤x≤70，
∵y=−20x+14000，k=−20<0；
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=70时，y有最小值，最小值为−20×70+14000=12600，
∵12600>12500，
∴这100箱口罩的销售总利润不能为12500元．
【解析】(1)根据题意即可得出y关于x的函数关系式；
(2)根据题意列不等式得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
(3)由题意得出x的取值范围为25≤x≤60，根据一次函数的性质可得x=60时，总利润y最小，求出y的最小值，即可得出答案．
本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
22.【答案】解：(1)设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：4k+b=03k+b=1，
解得：k=−1b=4，
则直线的解析式是：y=−x+4；
(2)在y=−x+4中，令x=0，解得：y=4，
S△OAC=12×4×4=8；
(3)当M在线段OA时，
设OA的解析式是y=mx，
把A(3,1)代入得：3m=1，
解得：m=13，
则直线的解析式是：y=13x，
∵△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，
∴当M的横坐标是13×3=1，
在y=13x中，当x=1时，y=13，
则M的坐标是(1,13)；
当M在射线AC上时，
在y=−x+4中，x=1时，
则y=3，
则M的坐标是(1,3)；
当M的横坐标是−1时，
在y=−x+4中，当x=−1时，y=5，
则M的坐标是(−1,5)；
综上所述：M的坐标是：M1(1,13)或M2(1,3)或M3(−1,5)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
(3)当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为±1分别求出其纵坐标是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵直线AB经过点M的坐标(2,4)
将M(2,4)代入y=−12x+b，得b=5，
∴直线AB的函数关系式y=−12x+5，
∵直线AB与x轴相交于点A，
当y=0时，0=−12x+5，
解得x=10，
∴点A的坐标(10,0)；
(2)∵直线AB与y轴相交于点B，
当x=0时，y=5，
∴点B的坐标(0,5)，
∴CD=12OB=52，
由题意，设C(a,−12a+5)，D(a,2a)，
∴CD=│2a−(−12a+5)│=52，
解得a=3或1，
当a=3时yc =−12x+5=−12×3+5=72，
∴点C的坐标(3,72)；
当a=1时yc =−12x+5=−12×1+5=92，
∴点C的坐标(1,92)，
综上所述点C的坐标(3,72)或(1,92)；
(3)存在，
设点E(0,m)，
∵点M(2,4)．
∴OM2=22+42=20，
OE2=m2，EM2=22+(m−4)2=m2−8m+20，
①OE=OM时，OE2=OM2，
∴m2=20，
∴m=±2 5，
∴点E的坐标为(0,2 5)或(0,−2 5)；
②OE=EM时，OE2=EM2，
∴m2=m2−8m+20，
∴m=52，
∴点E的坐标为(0,52)；
③OM=EM时，OM2=EM2，
∴20=m2−8m+20，
∴m=8或0(舍去)，
∴点E的坐标为(0,8)；
综上，存在，点E的坐标为(0,2 5)或(0,−2 5)或(0,52)或(0,8)．
【解析】本题主要考查了一次函数的综合知识，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论思想等知识．
(1)用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数和x轴的交点求出A点的坐标；
(2)根据直线AB与y轴的交点求出B点的坐标，设出C点的坐标，用待定系数法求出C点的坐标；
(3)用分类讨论的思想求出四个适合的E点，用等腰三角形的两边相等求出四种情况下的E点坐标．