2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四个图形中，能表示△ABC的BC边上的高的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. x2+4y2B. −x2+4y2C. x2−2y+1D. −x2−4y2
3.分式−11−x可变形为( )
A. −1x−1B. 1x−1C. −11+xD. 11+x
4.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
5.下列运算，正确的是( )
A. 3a+2a=5a2B. a5⋅a2=a10
C. (2a+b)2=4a2+b2D. (2a+b)(2a−b)=4a2−b2
6.在解决下面三个问题时，运用转化策略的是( )
①计算5÷56时，可以这样算：5÷56=5×65
②探究圆的面积
③求三角形的内角和
A. 只有①②B. 只有①③C. 只有②③D. ①②③都是
7.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，若利用“HL”，证明Rt△ABC≌Rt△ADC.请你添加一个条件( )
A. AB=AD
B. AD=BC
C. ∠1=∠4
D. ∠2=∠3
8.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B=36°，∠E=29°，则∠ACD的度数为( )
A. 130°
B. 126°
C. 110°
D. 65°
9.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=4.则BD的长为( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
10.货车行驶20千米与小车行驶30千米所用的时间相同．已知货车每小时比小车少行驶25千米，则两车的速度各是多少？设小车的速度为x千米/时，依题意列方程，正确的是( )
A. 20x−25=30xB. 20x=30x−25C. 20x=30x+25D. 20x+25=30x
11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作，CF⊥AE垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，BD=3cm，则△ABC的面积为( )
A. 36cm2
B. 18cm2
C. 6cm2
D. 8cm2
12.如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=10cm，DC=4cm.如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动.它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为( )
A. 103B. 209C. 109或209D. 53或103
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算：a8÷a2= ______ ．
14.将图1中的△ABC折叠，使点A与点C重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，得到图形2.若BC=4，AB=5，则△EBC的周长是______．
15.若点A(a−2,5)关于y轴对称点是(2a−1,5)，则点A关于x轴对称点C的坐标是______ ．
16.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，作线段AC与BD相交于点O.若AC=BD，AO=DO=6m，CD=15m，则A，B两点间的距离为______m.
17.若分式x2−4x+2的值为0，则x=______．
18.如图，等边△ABC的边长是3，动点E在射线AB上，动点D在射线CB上，且ED=EC，当BE=1时，那么CD的长______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
把下列各式分解因式
(1)3a2−3b2
(2)a4−8a2b2+16b4．
20.(本小题8分)
(1)计算：(1x−2+1x+2)⋅(x2−4)；
(2)先化简，再求值：(a+b)(a−2b)+a(2b−a)，其中a=2，b=−3．
21.(本小题8分)
如图，BC=DE，∠1=∠2=40°，∠C=∠D，点E在线段BC上．
(1)求证：△ABC≌△AED；(2)求∠AEC的度数．
22.(本小题8分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)求△AA1A2的面积．
23.(本小题8分)
小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在△ABC中，∠ACB=90°．
求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；
②作直线CD．
所以直线CD就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB.(______)(填推理的依据)
∴∠______=∠______．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−∠DCB，
∠A=90°−∠______．
∴∠ACD=∠A．
∴DC=DA.(______)(填推理的依据)
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
24.(本小题8分)
科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：
记者：你们是用10天完成4500米长的高架桥铺设任务的？
工程师：是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍．
(1)通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度；
(2)请求出该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
25.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)判断FE和AC的位置关系并证明．
26.(本小题10分)
教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD=3，则△ABC的面积为______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；
B、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；
C、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；
D、图形中，能表示△ABC的BC边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2.【答案】B
【解析】解：A.x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B.−x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C.x2−2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D.−x2−4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：−11−x=1−(1−x)=1x−1，
故选：B．
根据分式的基本性质，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟记分式的基本性质．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．
本题考查了与三角形相关的线段以及线段的垂直平分线，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A.3a+2a=5a，此选项错误；
B.a5⋅a2=a7，此选项错误；
C.(2a+b)2=4a2+4ab+b2，此选项错误；
D.(2a+b)(2a−b)=4a2−b2，此选项正确；
故选：D．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、完全平方公式和平方差公式逐一求解即可．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和平方差公式．
6.【答案】D
【解析】解：根据分析，在解决三个问题时，都用了转化策略．
故选：D．
①根据分数除法的计算法则，甲数除以乙( 0除外)，等于甲数乘乙数的倒数，把除法“转化”为乘法计算；
②把圆的面积转化为长方形面积计算；
③把三角形的内角和转化为平角计算．
此题考查的目的是理解掌握“转化”的思想方法在解决实际问题中的应用．
7.【答案】A
【解析】解：∵“HL”表示的意思是两个直角三角形中，斜边和一组直角边对应相等，则两个直角三角形全等，
而Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC
∴添加AB=AD或CB=CD即可用用“HL”，
证明Rt△ABC≌Rt△ADC，
故选：A．
全等条件中斜边已经相等，只需要添加直角边相等即可．
本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握“HL”是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠ECD是△BCE的外角，∠B=36°，∠E=29°，
∴∠ECD=∠B+∠E=36°+29°=65°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=130°，
故选：A．
根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义计算即可．
本题考查了三角形的外角的性质以及有关角平分线的计算，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=90°，
∴∠CBD+∠BCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠CBD=∠CED，
∴BC=CE，
∴BD=DE，
∵AC=8，BC=4，
∴AE=AC−CE=AC−BC=4，
∴BE=AE=4，
∴BD=2．
故选：C．
延长BD与AC交于点E，由∠A=∠ABD可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形△BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=8，BC=4，即可推出BD的长度．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
10.【答案】A
【解析】解：设小车的速度为x千米/时，则货车的速度为(x−25)千米/时，
根据题意，可列方程：20x−25=30x，
故选：A．
设小车的速度为x千米/时，则货车的速度为(x−25)千米/时，根据“货车行驶20千米与小车行驶30千米所用的时间相同”可列方程．
本题主要考查根据实际问题列分式方程，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
11.【答案】B
【解析】解：∵BD⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DBC=∠ACE=∠AFC=90°，
∵∠DCB+∠ACF=90°，∠ACF+∠EAC=90°，
∴∠DCB=∠EAC，
∵BC=AC，
∴△DBC≌△ECA(ASA)，
∴DB=EC=3cm，
∵AE是BC边上的中线，，
∴BE=EC=3cm，AC=BC=6cm，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12×6×618(cm2).
故选：B．
先证明△DBC≌△ECA，推出DB=EC=2，由BE=EC，推出BE=EC=3cm，AC=BC=6cm，根据S△ABC=12⋅BC⋅AC计算即可．
本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
12.【答案】D
【解析】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动
则CM=2t∖user2,BM=10−2t,BN=2t，
当∠BMN=90°时，∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BNM=30°，
∴BN=2BM，即2t=2×(10−2t)，
解得：t=103，
当∠BNM=90°时，∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BMN=30°，
∴BM=2BN，即2×2t=(10−2t)，
解得：t=53，
综上所述，t的值为103或53时，△BMN是一个直角三角形．
故选：D．
根据题意，用含t的代数式表示CM=2t∖user2,BM=10−2t,BN=2t，分两种情况：当∠BMN=90°时，根据等边三角形的性质可知∠B=60°，则∠BNM=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半可知BN=2BM，即2t=2×(10−2t)，即可求得t的值；当∠BNM=90°时，同理可求t的值．
本题考查了三角形边上的动点问题，等边三角形的性质、含30°角的直角三角形等知识点，熟练掌握各个性质定理以及分类讨论思想是解题关键．
13.【答案】a6
【解析】解：a8÷a2=a8−2=a6．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减解答．
本题主要考查同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：∵将图1中的△ABC折叠，使点A与点C重合，
∴AE=CE，
∴△EBC的周长=BE+CE+BC
=BE+AE+BC
=AB+BC
=5+4
=9．
故答案为：9．
由折叠的性质可得出AE=CE，则可得出△EBC的周长=AB+CB，可求出答案．
本题考查了折叠的性质，三角形的周长，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15.【答案】(−1,−5)
【解析】解：∵点A(a−2,5)关于y轴对称点是(2a−1,5)，
∴(a−2)+(2a−1)=0，
∴a=1，
∴点A(−1,5)，
∴点A关于x轴对称的点C的坐标是(−1,−5)．
故答案是：(−1,−5)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a的值，再根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律(关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变)．
16.【答案】15
【解析】解：∵AC=BD，AO=DO=6m，
∴BO=CO，
在△ABO和△DCO中，
AO=DO∠AOB=∠DOCBO=CO，
∴ABO≌△DCO(SAS)，
∴AB=DC=15m．
故答案为：15．
结合AC=BD，AO=DO，可得BO=CO，再利用∠AOB=∠DOC，即可证出△ABO≌△DCO(SAS)，利用全等三角形的性质可得出AB=CD．
本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABO≌△DCO是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】【分析】
分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．
分式的值是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
【解答】
解：由题意得x2−4=0，x+2≠0
∴x=±2，x≠−2
∴x=2即当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2．
18.【答案】5
【解析】解：过E点作EH⊥CD于H点，如图，
∵ED=EC，
∴CH=DH，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，CB=3，
在Rt△BEH中，∵∠EBH=60°，
∴BH=12BE=12，
∴CH=CB−BH=3−12=52，
∴CD=2CH=2×52=5．
故答案为：5．
过E点作EH⊥CD于H点，如图，则根据等腰三角形的性质得到CH=DH，再根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，CB=3，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到BH=12BE=12，然后计算出CH的长，从而得到CD的长．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．
19.【答案】解：(1)3a2−3b2
=3(a2−b2)
=3(a+b)(a−b)；
(2)a4−8a2b2+16b4
=(a2−4b2)2
=(a+2b)2(a−2b)2，
【解析】(1)先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
(2)先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20.【答案】解：(1)(1x−2+1x+2)⋅(x2−4)
=(x+2(x−2)(x+2)+x−2(x−2)(x+2))⋅(x−2)(x+2)
=2x(x−2)(x+2)⋅(x−2)(x+2)
=2x；
(2)(a+b)(a−2b)+a(2b−a)
=a2+ab−2ab−2b2+2ab−a2
=ab−2b2
当a=2，b=−3时，原式=ab−2b2=2×(−3)−2×(−3)2=−24．
【解析】(1)先算括号里面，再算乘法即可；
(2)先展开各项，再合并同类项，最后代入求值即可．
本题考查了分式的化简，整式的化简求值，熟记相关运算法则及运算顺序是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠1=∠2=40°，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
∠BAC=∠EAD ∠C=∠D BC=DE ，
∴△ABC≌△AED(AAS)；
(2)解：由(1)得：△ABC≌△AED，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB=12×(180°−∠1)=12×(180°−40°)=70°，
∴∠AEC=∠1+∠B=40°+70°=110°．
【解析】(1)求出∠BAC=∠EAD，由ASA证明△ABC≌△AED即可；
(2)由全等三角形的性质得出AB=AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，再由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，证明△ABC≌△AED是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
∴点A1的坐标(−2,4)．
(2)如上图，△A2B2C2即为所求；点A2的坐标 (2,−4)．
(3)S△AA1A2=8×4×12=16．
【解析】本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征确定△ABC三个顶点的对应点，再顺次连接即可得到△A1B1C1；
(2)利用关于x轴对称的点的坐标特征确定△A1B1C1三个顶点的对应点，再顺次连接即可得到△A2B2C2；
(3)直接利用三角形面积公式求解．
23.【答案】解：(1)补全的图形如下：
(2)垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；DCB；DBC；DBC；等角对等边
【解析】解：(1)见答案
(2)证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB.(垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等)
∴∠DCB=∠DBC．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°−∠DCB，
∠A=90°−∠DBC．
∴∠ACD=∠A．
∴DC=DA.(等角对等边)(填推理的依据)
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．
【分析】
(1)根据题意即可作图；
(2)根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质即可完成证明．
本题考查了作图−应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质．
24.【答案】解：(1)设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，
由题意得：500x+4500−5002x=10，
解得：x=250．
经检验，x=250是原方程的解，且符合题意．
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥250米；
(2)4500250−10=18−10=8，
答：该建筑集团是提前8天完成铺设任务．
【解析】(1)设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥2x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)分别求得两种情况下所需要的天数，然后求差即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
AE=CF AB=BC ，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)；
(2)解：FE⊥AC，理由如下：
如图，延长FE交AC于D，

∵△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，
∴∠EFB=∠FEB，
∵∠EBF=90°，
∴∠EFB=∠FEB=45°，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠EFB+∠BAC=90°，
∴∠FDA=90°，
∴FE⊥AC．
【解析】(1)由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)延长FE交AC于D，根据全等三角形的性质得到BE=BF，根据等腰直角三角形的性质得到∠EFB=45°，∠BAC=45°，则∠EFB+∠BAC=90°，根据三角形内角和定理即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF是解题的关键．
26.【答案】18
【解析】定理证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD，
在△OEP和△ODP中，
∵∠BOC=∠AOC∠PEO=∠PDOOP=OP，
∴△OEP≌△ODP(AAS)，
∴PE=PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO=DO，OF=DO，
∵OD=3，
∴EO=FO=3，
∵△ABC的周长是12，
∴AB+BC+AC=12，
∴△ABC的面积：12AB⋅EO+12AC⋅FO+12CB⋅DO=32(AB+AC+BC)=32×12=18，
故答案为：18．
定理证明：利用AAS判定△OEP≌△ODP可得PE=PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得EO=DO，OF=DO，然后再利用面积的计算方法可得答案．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．