专题1 数与代数-01分数乘法计算及其应用-六年级数学上册寒假专项提升（教师版+学生版）（苏教版）

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第一关 分数乘整数
1.整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。
2.分数与整数相乘的计算方法：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的要先约分，再计算。
3.求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
4.求比一个数多（少）几分之几的部分是多少
解决求比一个数多（少）几分之几的部分是多少的问题，关键是找准单位“1”的量，单位“1”的量×比一个数多（少）的几分之几=比一个数多（少）的几分之几的量。
【例1】一个正方体的底面积是平方分米，它的表面积是( )平方分米。
【答案】一个正方体的底面积是平方分米，它的表面积是（）平方分米。
【点拨】每个正方体都有6个完全相同的面，且每个面都是正方形。已知一个面积的面积是平方分米，则表面就是×6＝平方分米。
【变式训练1】36米增加米后是( )米，36米增加后是( )米。
【分析】
36米增加米，直接相加即可；
先计算36米的是多少，再计算36米增加 是多少米。
【详解】
（米）
（米）
（米）
【点睛】
分数不仅可以表示两个量之间的关系，也可以用来衡量大小、长短等，跟不跟单位大不相同。
【变式训练2】金牛湖小学的绿化广场共720平方米，分布如下图。
（1）白桦林、草坪和荷花池各占地多少平方米？
（2）草坪和荷花池一共占地多少平方米？
【分析】
（1）求一个数的几分之几是多少用乘法；
（2）计算出草坪的面积和荷花池面积的总和即可。
【详解】
（1）白桦林：720×＝240（平方米）
草坪：720×＝300（平方米）
荷花池：720×＝180（平方米）
答：白桦林占地240平方米，草坪占地300平方米，荷花池占地180平方米。
（2）300＋180＝480（平方米）
答：草坪和荷花池一共占地480平方米。
【点睛】
掌握求一个数几分之几是多少的计算方法是解答题目的关键。
第二关 分数乘分数
1.分数乘分数的意义：求一个数的几分之几是多少。
2.分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要先约分，再计算。
3.整数可以看成（分母是1）的分数，所以分数与整数相乘，也可以看成是（分数与分数）相乘，即分数与分数相乘的计算方法适用于分数与整数相乘。
4.连续求一个数的几分之几是多少的解题方法：先求出中间的间接量，再求出最后要求的量。
5.分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分子，分母和分母相乘的积作分母，能约分的要先约分，再计算。
【例2】一根铁丝，第一天用去全长的，第二天用去第一天的，两天共用去全长的（ ）。
A．B．C．
【答案】＋×
＝＋
＝
答案：A
【点拨】第一天用去的对应单位“1”是全长，第二天用去的对应单位“1”是第一天用去的，用第一天用去的对应分率×第二天用去的对应分率，即可将第二天用去的对应单位“1”转化为全长，将两天用去全长的对应分率相加即可。
【变式训练1】一个正方形的边长是分米，它的周长是( )分米，面积是( )平方分米。
【分析】
根据正方形的周长＝边长×4，面积＝边长×边长，代入数据计算即可。
【详解】
周长：×4＝（分米）
面积：×＝（平方分米）
【点睛】
此题主要考查正方形周长和面积的计算，根据公式代数计算即可。
【变式训练2】猴妈妈买来120个桃子。小猴子们第一天吃了总数的，第二天吃了余下的，第三天吃了第二天余下的，三天后还剩多少个桃子？
【分析】
第一天吃了，余下（1－）；第二天吃了，余下第一天的（1－）；第三天吃了，余下第二天的（1－）；那么余下的占总数的（1－）×（1－）×（1－），从而利用乘法求出三天后还剩多少桃子。
【详解】
120×（1－）×（1－）×（1－）
＝120×××
＝30（个）
答：三天后还剩30个桃子。
【点睛】
本题考查了分数乘法的应用，能根据题意求出剩下的占总数的几分之几是解题的关键。
第三关 倒数
1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。
2.理解“互为倒数”。
“互为倒数”是对两个数来说的，它们是相互依存的，不能单独说某个数是倒数。
3.求一个数的倒数的方法。
(1)求真分数、假分数的倒数，可以直接调换这个分数的分子、分母的位置。
(2)求一个整数(0除外)的倒数，先把整数看作分母是1的假分数，再调换这个分数分子、分母的位置。
(3)求小数的倒数，先把小数化成最简分数，再调换（分子、分母的位置，也可以根据倒数的意义来找。
(4)求带分数的倒数，先把带分数化成假分数，再调换分子、分母的位置。
4.1的倒数是1。
因为1×1=1，所以1的倒数是1。
5.0没有倒数。
因为0与任何数相乘都得0，没有一个数与0相乘的积是1，所以0没有倒数。
【例3】下面各组数中互为倒数的是（ ）
A．0.75和B．1和C．0.2和D．1.5和
【答案】解：0.75＝，的倒数是；
1＝，的倒数是；
0.2＝，的倒数是5；
1.5＝，的倒数是。
故选：A。
【点拨】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求一个分数的倒数，只要把分子分母互换位置即可；求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置。
【变式训练1】一个三角形的底是分米，高是分米，已知a与b互为倒数，这个三角形的面积是( )平方分米。
【分析】
根据三角形面积＝底×高÷2和互为倒数的两个数乘积为1求解。
【详解】
因为a与b互为倒数，所以ab＝1
×÷2
＝÷2
＝（平方分米）
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，关键是利用倒数的意义求出ab的值。
【变式训练2】观察下面几组算式，你有什么发现？
① ②
（1）根据你的发现再写两组这样的算式：
（2）根据发现的规律，计算出下面算式的得数：
【分析】
（1）根据已知的算式可知，两个连续自然数的倒数的差与它们倒数的乘积相等，据此再写两组算式即可。
（2）将拆分成＋＋＋＋……＋＋，再通过加减相互抵消，求得结果即可。
【详解】
（1）＝ ；
＝ ；
（2）
＝＋＋＋＋……＋＋
＝－
＝
【点睛】
根据已知算式找到两个算式的规律是解答本题的关键，再根据规律解决实际问题。
自我检测
1.某厂五月份用煤40吨，六月份比五月份节约，六月份用煤（ ）吨。
A．40×（1＋）B．40×C．40＋（1﹣）D．40×（1－）
2．已知，且a，b，c都不等于0，那么a，b，c三个数中（ ）最小。
3.《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第二天截取的长度占最初木棒长度的（ ）。
A．B．C．D．
4．一根绳子长2.4米，第一次截取，第二次截取0.78米，绳子还剩下( )米。
5．妈妈给红红切了一个蛋糕的，可是小红只吃了这块蛋糕的，小红吃了这个蛋糕的( )。
6．一个正方形的边长是分米，它的面积是( )，周长是( )。
7．有两大瓶牛奶，甲瓶牛奶重千克，如果从甲瓶倒千克到乙瓶，则两瓶牛奶一样重，乙瓶牛奶原来重多少千克？
8．一节数学课共小时，同学们动手操作用了一节课时间的，老师引导讲解用了小时，其余时间做作业。做作业用了多少小时？
9．学校“希望林”里有杉树120棵，松树的棵数是杉树的，樟树的棵数是松树的，“希望林”里有樟树多少棵？
10．食堂运来大米500千克，运来的面粉比大米少，运来的面粉比大米少多少干克？运来面粉多少干克？
参考答案
1.D
【分析】把五月份用煤的重量看成单位“1”，六月份比五月份节约，六月份用煤的重量1－，五月份用煤40吨，求六月份用煤量用乘法即可。
【详解】40×（1－）
＝40×
＝36（吨）
故答案为：D
【点睛】本题的关键是找出单位“1”，根据已知一个数，求它的几分之几用乘法。
2．A
【分析】两个非0的因数相乘的积相等，一个因数越大，另一个因数越小。
【详解】
因为＝，＝，＝，所以＞＞
所以a最小。
故答案为：A
【点睛】明确两个非0的因数相乘的积相等，一个因数越大，另一个因数越小是解题的关键。
3．B
【分析】把木棍的长度看作单位“1”，则第一次截取的长度是这根木棍的，第二次截取木棍是的，根据分数乘法的意义，可以计算出第二天截取的长度占最初木棒长度的几分之几。
【详解】×＝
故答案为：B
【点睛】本题考查分数乘法应用题，解题关键是先找出题目中的单位“1”是哪个量，再根据一个数乘分数的意义，列式计算。
4．0.72
【分析】由于第一次截取，单位“1”是这根绳子的长度，单位“1”已知，用乘法，即2.4×＝0.9（米），用总长度减去两次截取的长度即可求出剩下的长度。
【详解】2.4×＝0.9（米）
2.4－0.9－0.78
＝1.5－0.78
＝0.72（米）
【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，找准单位“1”，单位“1”已知，用乘法。
5．
【分析】小红只吃了这块蛋糕的，是吃了整个蛋糕的的，用乘即可求出小红吃了这个蛋糕的几分之几。
【详解】
【点睛】“”是以“这个蛋糕”为单位“1”，“”是以“这个蛋糕的”为单位“1”，把两个分率相乘即可把吃了的分率转化为以“这个蛋糕”为单位“1”。
6．平方分米 分米
【分析】根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，代入数据进行解答。
【详解】×＝（平方分米）
×4＝（分米）
【点睛】本题主要考查了学生对正方形的周长和面积公式的掌握情况。
7．千克
【分析】根据题意，可知原来第一瓶牛奶比第二瓶多两个千克，据此用第一瓶牛奶的重量减去两个千克，就是第二瓶牛奶原来的重量。
【详解】－×2
＝－
＝（千克）
答：乙瓶牛奶原来重千克。
【点睛】解决此题关键是明确：甲瓶比乙瓶多的质量是两个千克，进而列式解答即可。
8．小时
【分析】此题解答的关键是先求出同学们动手操作用的时间，再用总的时间减去动手操作的时间和老师讲解的时间，剩下的时间就是做作业的时间。
【详解】×＝（时）
－－
＝－－
＝－
＝－
＝（时）
答：做作业用了小时。
【点睛】本题主要考查了分数减法和分数乘法的意义解答应用题的能力。
9．20棵
【分析】先把杉树看作单位“1”，松树的棵数＝杉树的棵数×，再把松树的棵数看作单位“1”，樟树的棵数＝松树的棵数×，据此解答。
【详解】120××
＝75×
＝20（棵）
答：“希望林”里有樟树20棵。
【点睛】此题考查了分数连乘的应用，明确求一个数的几分之几用乘法。
10．350干克；150干克
【分析】把运来的大米的重量看作单位“1”，则运来的面粉比大米少，据此利用分数乘法的意义求解；运来面粉的重量为大米的重量减面粉比大米少的重量。
【详解】500×＝350（千克）
答：运来的面粉比大米少350干克。
500－350＝150（千克）
答：运来面粉150干克。
【点睛】解答此题的关键是求出：把运来的大米的重量看作单位“1”，再利用分数乘法的意义得解。