2024年高一上学期期末数学备考分类汇编（北京专用）专题07 三角函数的图象和性质解析

这是一份2024年高一上学期期末数学备考分类汇编（北京专用）专题07 三角函数的图象和性质解析，共32页。试卷主要包含了函数的值域是　　，已知函数，下列函数中，最小正周期为的是，函数的最小正周期是 　　，已知函数，则的，已知函数的最小正周期为，则等内容，欢迎下载使用。

三角函数的定义域、值域（最值）问题
1．（2022秋•密云区期末）函数的定义域是 ，最小正周期是 ．
【解析】由，，得，，
所以函数的定义域是，；
函数的最小正周期是．
故答案为：，；．
2．（2023春•石景山区期末）函数的值域是 ．
【解析】
又，
当时，函数取到最大值为
当时，函数取到最小值为
综上函数的值域是
故答案为：
3．（2022秋•海淀区校级期末）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为 ．
【解析】因为对任意的实数都成立，
所以函数在处取最大值，
所以，，
解得，，
又因为，
所以，
所以当时，取最小值为1．
故答案为：1．
4．（2022春•房山区期末）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的值域．
【解析】（Ⅰ）
，
所以函数的最小正周期．
（Ⅱ）当时，函数有最大值2，
当时，函数有最小值，
所以函数的值域为，．
5．（2023春•朝阳区期末）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间 上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ），
所以函数的最小正周期；
（Ⅱ）因为，，所以，，
令，，即，
当，时，单调递增，
当，时，单调递减，
且，，，
所以，，
所以在区间 上的最大值，最小值．
6．（2023春•海淀区校级期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域．
【解析】（1）因为
，
即，所以函数的最小正周期．
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
又，所以，所以，
则，即在上的值域为．
三角函数的周期性
7．（2022秋•大兴区期末）下列函数中，最小正周期为的是
A．B．
C．D．
【解析】对于，的最小正周期为，故不正确；
对于，的最小正周期为，故不正确；
对于，的最小正周期为，故正确；
对于，因为，故不正确，
故选：．
8．（2022秋•顺义区期末）函数的最小正周期是 ．
【解析】中的，
的最小正周期．
故答案为：．
9．（2021秋•通州区期末）已知函数，则的
A．最小正周期为，最大值为
B．最小正周期为，最大值为2
C．最小正周期为，最大值为
D．最小正周期为，最大值为2
【解析】，
最小正周期为，
当时，有最大值2．
故选：．
10．（2022春•北京期末）已知函数的最小正周期为，则
A．在内单调递增B．在内单调递减
C．在，内单调递增D．在，内单调递减
【解析】已知函数的最小正周期为，
所以，故；
当时，，
所以函数在内单调递减；
当时，；
所以函数在，内不单调；
故选：．
三角函数的单调性
11．（2022秋•海淀区校级期末）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是
A．B．C．D．
【解析】，它的最小正周期为，故不满足条件；
，它的最小正周期为，若，可得，，
则在区间上单调递增，故满足条件；
的最小正周期为，若，可得，，
则在区间上单调递减，故不满足条件；
的最小正周期为，故不满足条件，
故选：．
12．（2022秋•顺义区期末）已知函数，满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间．
【解析】（Ⅰ）由，代入解析式得：，
所以，
又，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
令，，解得，，
可得函数的单调递增区间为，，．
13．（2022秋•朝阳区校级期末）若函数，满足对任意实数，有，则的单调递减区间是 ．
【解析】因为，所以关于对称，，
因为，所以，
故，
令，，
故，，
故的单调递减区间为，．
故答案为：，．
14．（2023春•顺义区期末）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递增区间；
（Ⅲ）求方程的解集．
【解析】（Ⅰ）的最小正周期；
（Ⅱ）令，解得，．
的单增区间为；
（Ⅲ）令，即，可得，
或，．
或，．
方程的解集是．
15．（2022秋•通州区期末）已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数的最小正周期；
（Ⅲ）求函数的单调区间．
【解析】（Ⅰ）由函数可得，，
求得，，
故函数的定义域为，．
（Ⅱ）由函数的解析式，可得它的最小正周期为．
（Ⅲ）令，，
求得，，
可得函数的增区间为，，；该函数没有减区间．
16．（2022秋•朝阳区期末）若函数在区间，上单调递减，则实数的最大值为 ．
【解析】，
令，，
整理得，，
由于函数在区间，上单调递减，
故，，
故当时，实数的最大值为．
故答案为：．
17．（2023春•丰台区期末）若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 ．
【解析】当，时，，不符合条件，
当，时，，则函数区间上单调递增，符合条件；
当，时，，，，，
，时，函数单调递增，可得，，所以，，且，，
可得，所以，即，则（舍，
综上所述：，．
故答案为：．（答案不唯一）
三角函数的奇偶性
18．（2023春•西城区期末）下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是
A．B．C．D．
【解析】的周期，故错误；
满足，即为奇函数，故错误；
满足，即为偶函数，且其周期，故正确；
满足，即为奇函数，故错误．
故选：．
19．（2022秋•海淀区校级期末）若函数是奇函数，使得取到最大值时的一个值为
A．B．0C．D．
【解析】若为奇函数，
则，，
不妨取，
此时，
，
使得取到最大值时，，
即，，
取，可得，
故选：．
20．（2023春•东城区校级期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为
A．B．C．D．
【解析】的图象向右平移个单位长度，
得到，
得到的函数图象关于轴对称，
则：，，
解得：，
当时，．
故选：．
21．（2023春•海淀区校级期末）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是
A．B．C．D．
【解析】函数的图象向右平移的单位，
所得图象是函数，
图象关于轴对称，可得，．
即，．
当时，的最小正值是．
故选：．
22．（2022秋•东城区校级期末）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则的可能取值有 个．
【解析】由题意知，，
因为是奇函数，
所以，，即，，
又，所以或，即的可能取值有2个．
故答案为：2．
23．（2021秋•平谷区期末）已知函数，，，则“是偶函数”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】函数，当时，，故函数为偶函数；
当函数是偶函数”，则“，
故则“是偶函数”是“”的必要不充分条件；
故选：．
三角函数的对称性
24．（2022秋•顺义区期末）若函数的图象关于直线对称，则的值可以是
A．B．C．D．
【解析】函数的图象关于直线对称，
则由正弦函数的对称性可得，，
解得，，
若，解得，故错误；
若，解得，故错误；
若，解得，故正确；
若，解得，故错误．
故选：．
25．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，的图象过点，相邻的两个对称中心之间的距离为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求单调递增区间和对称中心．
【解析】（Ⅰ）由函数，的图象过点，
可得，则，所以，
由相邻的两个对称中心之间的距离为，
则函数的周期，解得，
所以．
（Ⅱ）由（1）可知，，
令，，解得，，
则函数的增区间为，，，
令，，解得，，
则函数的对称中心为，，．
26．（2023春•朝阳区校级期末）已知直线是函数的图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【解析】令，
由是此方程的一个解，则，
又，
所以，
即，
所以为了得到函数的图象，可把函数的图象向左平移个单位长度，
故选：．
27．（2023春•朝阳区期末）把函数 图象上的所有点向右平行移动个单位长度得到函数的图象，则的一个对称中心坐标为 ．
【解析】把函数 图象上的所有点向右平行移动个单位长度，
得到函数的图象，
令，，求得，，
可得的对称中心坐标为，，．
故函数的图象的一个对称中心为，
故答案为：，0，，答案不唯一．
28．（2023春•东城区校级期末）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；
②的图象可以由的图象平移得到；
③相邻两条对称轴之间的距离为；
④最大值为2．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．
【解析】（1）对于条件②，，
若函数的图象可以由的图象平移得到，
则，
由条件③相邻两条对称轴之间的距离为，可得的最小正周期为，
可得，与②矛盾；
对于条件④最大值为2，可得与②矛盾，
故只能舍弃条件②，
所以这三个条件为①③④．
（2）由（1）可得，
由条件①，可得，又，
所以，所以，
令，，可得，，
时，，
时，，
时，，
又曲线的对称轴只有一条落在区间，上，
所以，
即的取值范围是，．
29．（2022春•西城区期末）函数的图像
A．关于原点对称B．关于轴对称
C．关于直线对称D．关于点，对称
【解析】，
，
函数为奇函数，故图象关于原点对称，故正确，错误，
函数的对称轴为，，故错误；
函数的对称中心为，，故错误；
故选：．
三角函数的零点问题
30．（2023春•石景山区期末）已知函数，是的一个零点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当，时，若曲线与直线有2个公共点，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由题意，即，
因为，所以，
解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ），
因为，时，则，，
所以曲线与直线有2个公共点，
当或时，，
当时，
则，．
所以的取值范围是，．
31．（2023春•西城区期末）已知函数．
（1）求的值；
（2）若函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间，上有且只有两个零点，求的取值范围．
【解析】（1），
所以；
（2）由（1）可得，单调递增满足，，
解得：，，
所以函数的单调递增区间为，，；
（3），，可得，，
由题意可得，，
解得，
即，．
三角函数的图象变换
32．（2022秋•海淀区校级期末）要得到函数，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【解析】，
所以要得到函数，只需将函数的图象向左平移个单位长度．
故选：．
33．（2023春•顺义区期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【解析】，
故只需把函数的图象向左平移个单位长度．
故选：．
34．（2023春•东城区期末）将函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为
A．B．C．D．
【解析】函数，
函数向左平行个单位，
可得函数．
故选：．
35．（2022秋•通州区期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线对应的函数是
A．B．
C．D．
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，
然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，
最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，
则曲线对应的函数是．
故选：．
36．（2023春•丰台区期末）将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点．若位于函数的图象上，则
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
【解析】点在函数上，所以，则，，
由题意可得，，可得，，
所以的最小值为．
故选：．
由三角函数图象确定三角函数解析式
37．（2023春•朝阳区期末）已知函数、的部分图象如图所示，则
A．B．C．0D．
【解析】，，
则，又，对应于的第一个点，
则有，，满足，
，则．
故选：．
38．（2023春•昌平区期末）设函数，的部分图象如图所示，那么
A．，B．，C．，D．，
【解析】，，，
则，图象过点，，
由于，则对应的图象有：，．
故选：．
39．（2023春•西城区校级期末）函数，的部分图象如图所示，那么
A．B．C．D．
【解析】由题意，或，
时，，
将点，代入函数解析式，可得，
，
．
当时，，
将点，代入函数解析式，可得，
则，，
即，，
所以．
综上所述
故选：．
40．（2022秋•通州区期末）若函数，的部分图象如图所示，则此函数的解析式为 ．
【解析】有图可得，
则函数，，
结合图象，可得，．
再结合五点法作图，可得，，
故函数，
故答案为：．
41．（2022秋•北京期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，令．当时，求的值域．
【解析】（1）由图象可知，，，
所以，，
因为且，
所以，；
（2）由题意得，
，
时，，
所以，
故，
所以函数的值域为，．
42．（2022秋•大兴区期末）函数，，部分图象如图所示，已知．
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求的单调减区间．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【解析】已知，由图得，又知．所以．
（Ⅰ）若选择条件①②，即，，因为，
由图可知，，即，因为，所以当时，，所以．
又因为，所以，所以．
若选择条件①③，即，．因为，
由图可知，，即，
因为，所以当时，．所以．
又因为，所以，所以．
选择条件②③，即，，因为，
由图可知，当时取得最大值，
即，，由，得，，
因为所以，又，所以，所以．
（Ⅱ）因为函数的单调递减区间为，，．
由，，得，．
所以单调递减区间为，，．
三角函数的图象和性质的综合
43．【多选】（2022秋•海淀区校级期末）函数的最小正周期为，，下列说法正确的是
A．的一个零点为
B．是偶函数
C．在区间上单调递增
D．的一条对称轴为
【解析】因为函数的周期为，则，
又，则，所以，解得，
所以，
选项：因为，故正确；
选项：因为，而，故正确；
选项：当时，，此时函数不单调，故错误；
选项：因为，故正确，
故选：．
44．（2022秋•丰台区校级期末）已知函数（其中，，，恒成立，且在区间上单调，给出下列命题：
①是偶函数；
②；
③是奇数；
④的最大值为3．
其中正确的命题有 ．
【解析】函数（其中，，，恒成立，
可得，
解得．
由题意，可得，即，可得．
在区间，上单调，，，．
，即，
，．
若时，，；
若，5时，无解，
当时，，且区间，上不单调，满足条件．
①故选项①错误．
②由于为函数的对称轴，所以应有，故选项②正确．
③由于，，故选项③正确．
④当区间，上单调递增时，可得，，，
可得，整理得，故④正确，
故答案为：②③④．
45．（2022秋•石景山区期末）已知函数，则下列命题正确的是
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点，对称
C．的最小正周期为，且在，上为增函数
D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象
【解析】，
选项，，不是最值，所以的图象不关于直线对称，即错误；
选项，，所以的图象不关于点，对称，即错误；
选项，最小正周期，
令，，，则，，，
当时，在，上为增函数，
所以在，上为增函数，即正确；
选项，的图象向右平移个单位，得到，不是偶函数，即错误．
故选：．
46．（2022秋•通州区期末）已知函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从下面四个条件中选择两个作为已知，求的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：的值域是，；
条件②：在区间上单调递增；
条件③：的图象经过点；
条件④：的图象关于直线对称．
【解析】（Ⅰ）因为，所以．
（Ⅱ）方案一：
选择①，③
因为的值域是，，
所以．
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
又，所以．
所以的解析式为．
因为，
所以．
当，
即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值．
方案二：
选择条件①，④
因为的值域是，，
所以．
所以．
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，所以．
所以的解析式为．
以下同方案一．
方案三：
选择条件③，④
因为的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，
所以．
因为的图象经过点，
所以，
即．
所以的解析式为．
以下同方案一．
47．（2022秋•西城区期末）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若，且，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）函数，
故函数的最小正周期为；
（Ⅱ）由于，且，
所以，整理得，故，，
整理得，，
当时，．
48．（2023春•朝阳区期末）已知函数，则下列结论正确的是
A．函数的一个周期为
B．函数的一个零点为
C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．的图象关于直线对称
【解析】，，
最小正周期为，故错误；
，将代入得，正确；
项，，
则的图象可由 的图象向右平移个单位长度得到，故错误；
项，，没有取到最值，故错误．
故选：．
49．（2022秋•房山区期末）函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象．给出下列四个结论：
①是函数的一个周期；
②的图象关于直线对称；
③的图象关于点对称；
④在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
【解析】，
设，最小正周期为，
，最小正周期为，
，最小正周期为，
所以的最小正周期为上面所求的三个最小正周期的最小公倍数，
故函数的最小正周期为，故①正确；
对于：当时，，故②错误；
对于，故③正确；
对于：由于，
故，
，，，，，，
，．
，
，故在，单调递增，故④正确，
故答案为：①③④．
50．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，，若，且函数的部分图象如图所示，则等于
A．B．C．D．
【解析】由已知得，
据图可知是在一个周期内的三个零点，
且在上先增后减，在上先减后增，
故，所以，
且，得，，
又，故时，即为所求．
故选：．
51．（2023春•朝阳区校级期末）某同学用“五点法”画函数，，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
（Ⅰ）函数的解析式为 （直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数在区间，上的最小值．
【解析】（Ⅰ），，
所以，，结合得，故；
（Ⅱ）由，解得，，
故的单调递增区间为，，；
（Ⅲ）由，，得，
故当时，．
52．（2021秋•朝阳区期末）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
条件①：；
条件②：的最小正周期为；
条件③：的图象经过点．
【解析】，
选择①②：
（Ⅰ）因为，所以，
又因为的最小正周期为，所以，
所以．
（Ⅱ）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，
选择②③：
（Ⅰ）因为的最小正周期为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以．
（Ⅱ）同上．
选择①③：
（Ⅰ）因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，．又因为，所以，
所以．
（Ⅱ）同上．
53．（2023春•海淀区期末）已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间；
（Ⅲ）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，使得直线是函数图象的一条对称轴，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）函数
．
．
（Ⅱ）对，令，，
求得，，
可得函数的单调递增区间为，，．
（Ⅲ）将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象．
要使得直线是函数图象的一条对称轴，需，．
故当时，取得最小值为．
54．（2022秋•通州区期末）已知函数的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间．
【解析】（Ⅰ）函数
的最小正周期为，
，．
（Ⅱ）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象；
再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象．
令，，求得，
可得函数的单调递增区间为，，．
0
0
2
0
0