2024年高一上学期期末数学备考分类汇编（北京专用）专题04 指对幂函数的图象和性质解析

这是一份2024年高一上学期期末数学备考分类汇编（北京专用）专题04 指对幂函数的图象和性质解析，共20页。试卷主要包含了下列函数中，值域是的幂函数是，　　，已知幂函数过点，若，则　　，若函数是幂函数，则的值为，已知幂函数的图象经过点等内容，欢迎下载使用。

幂函数的定义及其应用
1．（2021秋•房山区期末）下列函数中，值域是的幂函数是
A．B．C．D．
【解析】在上，函数的值域为，故满足条件；
由于函数的值域为，故不满足条件；
由于函数的值域为，，故不满足条件；
由于函数的值域为，故不满足条件；
故选：．
2．（2023秋•东城区校级期中）已知幂函数经过点，则（4） ．
【解析】设，
幂函数经过点，
则，解得，
故，
所以（4）．
故答案为：2．
3．（2021秋•东城区校级期末）已知幂函数过点，若，则 ．
【解析】把点代入，
得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4．（2023秋•丰台区校级期中）若函数是幂函数，则的值为
A．B．C．D．2
【解析】是幂函数，
则，解得，
故选：．
幂函数的图象和性质
5．（2022秋•西城区校级期末）已知幂函数是上的增函数，则的值为 ．
【解析】函数是幂函数，则，
即，
解得或；
当时，不是上的增函数，不满足题意；
当时，是上的增函数，满足题意．
则的值为3．
故答案为：3．
6．（2023春•顺义区期末）若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数，的值依次是 ．
【解析】因为幂函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，又因为是奇函数，
所以，需要满足为小于0的奇数，为大于0的奇数．
故答案为：、3（答案不唯一）．
7．（2020秋•海淀区校级期末）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为
【解析】由题意得：，解得：或，
时，在递增，符合题意，
时，，是常函数，不合题意，
故答案为：0．
8．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数经过点，则不等式的解集为 ．
【解析】函数经过点，
，
，
，
在，单调递增，
恒成立，
又（1），
，
解得，
故不等式的解集为．
故答案为：．
9．（2021秋•房山区期末）已知幂函数的图象经过点．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）幂函数的图象经过点，
，，
．
（Ⅱ）函数为偶函数，在上单调递增，且满足，
不等式可化为，
，
两边平方得，
解得，
即实数的取值范围为．
指数的运算
10．（2022秋•延庆区期末）的值为
A．B．C．2D．4
【解析】，
故选：．
11．（2021秋•房山区期末）化简的结果是
A．B．C．D．
【解析】．
故选：．
12．（2021秋•大兴区期末）已知，则
A．B．C．D．
【解析】，则．
故选：．
13．（2022秋•房山区期末） ．
【解析】原式．
故答案为：．
指数函数的图象和性质
14．（2022秋•门头沟区期末）函数且的图象过定点
A．B．C．D．
【解析】由指数函数且的图象恒过定点，
所以在函数中，当时，恒有，
所以且的图象过定点．
故选：．
15．（2022春•东城区校级期末）已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ．
【解析】由指数函数的图象恒过点
而要得到函数的图象，
可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位．
则点平移后得到点．
则点的坐标是
故答案为
16．（2022春•东城区校级期末）已知且，，当时，均有，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】由题意可知，在上恒成立，令，，
由图象知：时，即；
当时，，可得
．
或．
故选：．
17．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，其中且．
（Ⅰ）已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
（Ⅱ）若，求的最小值；
（Ⅲ）若在区间，上的最大值为2，求的值．
【解析】（Ⅰ）令，则，
所以定点坐标为；
（Ⅱ）当时，，当时，等号成立，
所以的最小值为；
（Ⅲ），令，
当时，由于在，上单调递减，则，，
而函数在，上单调递减，则，解得或，不合题意；
当时，由于在，上单调递增，则，，
而函数在，上单调递增，则，解得或（舍；
综上，实数的值为3．
18．（2022秋•西城区校级期末）已知函数．
（1）证明函数为奇函数；
（2）解关于的不等式：．
【解析】（1）证明：因为函数，则，
则函数为奇函数，
（2）由，得函数为定义域上的增函数，
又，即，即，
则，得，
故不等式的解集为．
对数的运算
19．（2023春•东城区校级期末）已知，则（1） ．
【解析】已知，则（1），故（1）（2），
故答案为 0．
20．（2022秋•西城区期末）设，则
A．8B．11C．12D．18
【解析】由，则，
则．
故选：．
21．（2022秋•西城区校级期末） ．
【解析】．
故答案为：7．
22．（2022秋•密云区期末）计算： （用数字作答）
【解析】
．
故答案为：．
23．（2022秋•朝阳区期末）设，，且，则的最小值为 ．
【解析】，，，，
，则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为2，
故答案为：2．
24．（2022秋•门头沟区期末）化简求值：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
．
（2）
．
25．（2022秋•西城区校级期末）（1）计算；
（2）计算．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
对数的实际应用
26．（2022秋•石景山区期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．B．10.1C．D．
【解析】设太阳的星等是，天狼星的星等是，
由题意可得：，
，则．
故选：．
27．（2022秋•怀柔区期末）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔升，计算这种苏打水的值．（精确到（参考数据：
A．8.699B．8.301C．7.699D．6.602
【解析】由 可得，．
故选：．
28．（2022秋•朝阳区期末）声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：．若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为
A．B．C．D．
【解析】声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：，
若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为，
故选：．
29．（2022秋•密云区期末）香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道容量（单位：，为信道带宽（单位：，为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量最接近的值是
A．30000B．22000C．20000D．18000
【解析】，其中为信道容量（单位：，
为信道带宽（单位：，为信噪比．
通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．
．
故选：．
30．（2022秋•东城区期末）记地球与太阳的平均距离为，地球公转周期为，万有引力常量为，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量．已知，，，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为
A．B．C．D．
【解析】
，
，
故选：．
对数的图象和性质
31．（2022秋•西城区校级期末）已知函数，则函数的减区间是
A．B．C．D．
【解析】设，
由可得或，
则在递减，
由在递增，
可得函数的减区间为．
故选：．
32．（2022秋•通州区期末）函数与的图象
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
【解析】由于函数，即函数，
故函数与的图象关于轴对称，
故选：．
33．（2022秋•延庆区期末）已知函数．
（Ⅰ）判断的奇偶性；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）当，时，求的值域．
【解析】（Ⅰ）由，得，
所以的定义域为，
又，
所以为奇函数．
（Ⅱ）由，得，解得，
所以不等式的解集为，．
（Ⅲ），
当，时，，所以，，
所以的值域为，．
34．（2022秋•大兴区期末）已知函数．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）判断的单调性，并说明理由．
【解析】（1）因为，
所以；
（2）为奇函数，
证明：要使有意义，只需，解得，所以的定义域为；
又，所以为奇函数，
（3）在上为减函数．
证明：任取，且，
则，
，
，
得，得到，
在上为减函数．
35．（2022秋•丰台区校级期末）已知函数，且．
（Ⅰ）若（2），求的值．
（Ⅱ）若在，上的最大值与最小值的差为1，求的值．
【解析】因为（2），
所以，
解得或（舍，
当时，在，上单调递增，
由题意得，，
解得，，
当时，在，上单调递减，
由题意得，，
解得，，
综上，或．
利用指、对、幂函数图象比较大小
36．（2022秋•西城区校级期末）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】，，，则．
故选：．
37．（2021秋•怀柔区期末）已知，，，那么，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】函数在上单调递增，，，，，
，
故选：．
38．（2022秋•房山区期末）设，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】因在单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
则，
即．
故选：．
39．（2022秋•延庆区期末）设，，，则
A．B．C．D．
【解析】，
，
，
．
故选：．
40．（2023春•顺义区校级期末）已知，，，则
A．B．C．D．
【解析】因为，
，
，
所以．
故选：．
41．（2022秋•海淀区期末）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】，，
，
又，
，
故选：．
42．（2022秋•顺义区期末）已知，，，则
A．B．C．D．
【解析】因为，，且，
所以，
故选：．
43．（2022秋•北京期末）已知，，，则
A．B．C．D．
【解析】，
，
即，
又，
，
，
故选：．
44．（2022秋•延庆区期末）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的反函数；
（Ⅱ）若，时的最小值是（a），求（a）解析式．
【解析】（Ⅰ）时，函数，
因为，所以，所以，
所以函数不是定义域上的单调函数，
所以函数在定义域上没有反函数．
（Ⅱ），时，，，函数的对称轴为，开口向上，
当即时，函数在，上为增函数，（a）（1），
当即时，函数在，上的最小值为（a），
当，即时，函数在，上为减函数，（a）（2），
所以（a）．
45．（2022秋•丰台区期末）已知函数．
（Ⅰ）判断的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出该函数的值域；
（Ⅲ）写出不等式的解集．
【解析】（Ⅰ）函数为偶函数，
理由如下，函数的定义域为，
，
为偶函数；
（Ⅱ）图象如图所示，
由图象可知函数的值域为，；
（Ⅲ）分别画出与的图象，如上图所示，
结合图象，可知不等式的解集为，，．
46．（2022秋•东城区期末）已知函数，对，满足且（a）（b），则下面结论一定正确的是
A．B．C．D．
【解析】（a）（b），
，
又，
，，
故，
故，
即，
故，
故，
故选：．
47．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若函数是偶函数，求的值；
（Ⅲ）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当时，，
则，
解得，
故不等式的解集为；
（Ⅱ）函数是偶函数，
，
，
即，
；
（Ⅲ）当时，
由于在上为减函数，
在上为增函数，
，
，
函数的图象与直线有公共点，
，
故的范围为．
48．（2022秋•海淀区期末）已知且，函数在上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个．
①函数为奇函数；②（1）；③．
（Ⅰ）从中选择的两个条件的序号为 ，依所选择的条件求得 ， ；
（Ⅱ）利用单调性定义证明函数在上单调递减；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的情况下，若方程在，上有且只有一个实根，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为在上是单调减函数，
故②（1），③不会同时成立，
故函数一定满足①函数为奇函数，
由于函数定义域为，所以有，则 （1），，故一定满足②，
选择①②，，
（1），
解得，．
（Ⅱ）证明：任取，，且，
则，
由于，所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递减．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，
所以方程为，即，，，
令，由于，，所以，，
则问题转化为在，上有唯一解，
由（Ⅱ）知，函数在，上单调递减，
所以（5），（2），
所以实数的取值范围是，．