2023-2024学年吉林省名校调研九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省名校调研九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=3(x+4)2+2的顶点坐标是( )
A. (2,4)B. (2,−4)C. (4,2)D. (−4,2)
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程：x2−4x=0的根是( )
A. x1=x2=4B. x1=x2=−4
C. x1=4，x2=0D. x1=−4，x2=0
4.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC=140°，则∠BDC=( )
A. 20°
B. 40°
C. 55°
D. 70°
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A恰好在AB边上，连接BB′，则BB′的长为( )
A. 6
B. 3 2
C. 3 3
D. 3
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，顶点坐标为(−1,−2).下列结论：①a0；③a+b+c>0；④方程ax2+bx+c+2=0有两个相等的实数根.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ②③D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.在平面直角坐标系中，点(22,−33)关于原点对称的点的坐标是______ ．
8.若二次函数y=△(x+1)2−6有最大值，则“△”中可填的数字是______ ．
9.如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度.
10.已知关于x的一元二次方程2x2−x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ．
11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD的度数是______ °.
12.将抛物线y=−2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是______ ．
13.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB=4，OD=3，则阴影部分的面积之和为______．
14.如图是一个圆弧形隧道的截面，若路面AB宽为10m，高CD为7m，则此圆弧形隧道的半径OA=______m.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.用配方法解方程：2x2+2x−1=0．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
如图，在⊙O中，AB=CD，求证：∠B=∠C．
17.(本小题5分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−2,−1)，且经过点A(0,3).求该抛物线的解析式．
18.(本小题5分)
图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点A、B、C均在格点上，分别按下列要求作一个四边形，使A、B、C这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点在格点上．
(1)在图①中作一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(2)在图②中作一个四边形，使其既是轴对称图形又是中心对称图形．
19.(本小题7分)
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．
20.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(6,0)，∠OBA=30°.把△AOB绕原点O逆时针旋转，得到△COD，点CD分别为点A、B旋转后的对应点.旋转角记为α(0°0)．
(1)用含t的代数式表示线段PD的长；
(2)当线段QE被边AC平分时，求t的值；
(3)设▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S=6时t的值．
26.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC.动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
(3)当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
(4)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵y=3(x+4)2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−4,2)．
故选：D．
已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h得出是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：x2−4x=0，
x(x−4)=0，
x=0或x−4=0，
所以x1=0，x2=4．
故选：C．
先利用因式分解法把方程转化为x=0或x−4=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠BOC+∠AOC=180°，∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°−140°=40°，
∴∠BDC=12∠BOC=20°．
故选：A．
由邻补角的性质求出∠BOC的度数，由圆周角定理，即可求出∠BDC的度数．
本题考查圆周角定理，邻补角的性质，关键是掌握圆周角定理．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴AB=A′B′，CB=C′B′，AC=A′C=3，
∴∠ACA′=∠BCB′=60°，AB=6，
∴△CBB′是等边三角形，
∴∠CBB′=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴∠A′BB′=90°，
∴BB′= 32A′B′=3 3．
故选：C．
根据旋转的性质可得AB=A′B′，CB=C′B′，∠ACA′=∠BCB′=60°，得出△CBB′是等边三角形，∠CBB′=60°，进而得出∠A′BB′=90°，即可求出BB′的长．
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0．
∴①错误．
∵抛物线顶点坐标为(−1,−2)，
∴−b2a=−1．
∴b=2a>0，①正确；
∵抛物线顶点坐标为(−1,−2)，
∴对称轴是直线x=−1．
∴当x=−3时与当x=1时函数值相同．
由图象知当x=−3时y>0．
∴当x=1时，y=a+b+c>0．
∴③正确．
∵抛物线顶点坐标为(−1,−2)，
∴方程ax2+bx+c=−2有两个相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c+2=0有两个相等的实数根，④正确．
故选：D．
依据题意，由抛物线开口方向及对称轴的位置可判断①②，由顶点坐标为(−1,−2)可判断④，由x=−3时y>0及抛物线的对称性可得x=1时y>0，从而判断③．
本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
7.【答案】(−22,33)
【解析】解：点(22,−33)关于原点对称的点的坐标是(−22,33)．
故答案为：(−22,33)．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．
本题考查了关于原点对称点的性质，掌握横纵坐标符号关系是关键．
8.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：由题意，设△处为a，由题意得二次函数为y=a(x+1)2−6，
∵二次函数y=a(x+1)2−6有最大值，
∴二次函数的图象开口向下即a