2023-2024学年安徽省滁州市明光市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省滁州市明光市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=−x2−3的顶点坐标为( )
A. (−3,−1)B. (−1,−3)C. (0,−3)D. (−2,3)
2.若两个相似三角形对应中线的比为23，则它们对应边上的高之比为( )
A. 49B. 23C. 13D. 63
3.若下列只有一个点不在双曲线y=kx的图象上，则该点是( )
A. (2,−3)B. (−6,1)C. (−3,2)D. (2,3)
4.抛物线y=x2−2x+c与x轴有两个交点，则c的值可能为( )
A. −1B. 1C. 3D. 4
5.如图，直线AD/​/BE/​/CF，DE=2，EF=4.若AC=9，则BC的长为( )
A. 5
B. 5.5
C. 6
D. 6.5
6.下表给出了二次函数y=−x2+bx+c与自变量x的部分对应值：
则关于x的一元二次方程−x2+bx+c=2的解为( )
A. x1=−1，x2=3B. x1=1，x2=−3
C. x1=0，x2=−2D. x1=2，x2=6
7.如图，在△ABC中，点D和点E分别是AB和AC上一点，下列条件不能判定△ABC和△ADE相似的是( )
A. ADAB=AEAC
B. ADDE=ABBC
C. ADAC=AEAB
D. ∠ADE=∠ACB
8.如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴，y轴分别交于A，B两点.若OA=OB，则下列结论成立的是( )
A. 4b−c=1
B. b+4c=1
C. 4b−c=4
D. 4b+c=4
9.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，AC与BE交于点F，过点F作FG//BC.若BC=6，则FG的长为( )
A. 32B. 2C. 52D. 74
10.如图，在等边△ABC中，AB=1，点P从点B出发，沿B→A→C方向运动至点C停止，点Q是BC上的一点，满足PQ⊥BC.若△BPQ的面积为S，BQ=x，则S与x之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若ba=3，则aa+b= ______ ．
12.将抛物线y=−3x2先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为______ ．
13.如图，某养殖户用48m长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是______ m2．
14.如图，点B和点C都是第二象限内的点，∠OAB=∠BDC=90°，∠AOB=∠BCD=45°，双曲线y=kx经过点C且与OB交于点E．
(1)直线OB的表达式为______ ；
(2)若BE：OE=1：2，OB=6 2，则OB2−BC2= ______ ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=12．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当y=−6时，求x的值．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D是AB上一点，点E是CD上一点，且△ADE是等边三角形.求证：AC2=AD⋅AB．
17.(本小题8分)
某体育球类专卖店将进货单价为70元的某品牌篮球按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个.若这种篮球的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个.为了获取最大利润，该品牌篮球应降价多少元？并求出最大利润．
18.(本小题8分)
如图是边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在网格点上．
(1)在AB上找出一点P.连接PC，使得△BCP∽△BAC；
(2)利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明(1)中结论．
19.(本小题10分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)和(5,8)．
(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)若点P(−2,a)和点Q(n,d)是该抛物线上两个不同的点，已知a+d=30，求n的值．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC和△ACF中，点D，E，G分别是AB，AC，AF上一点，已知DE/​/BC，EG/​/CF，连接DG，BF．
(1)求证：DG/​/BF；
(2)若DE：BC=2：3，求S△DEGS△BCF的值．
21.(本小题12分)
如图，直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=8x相交于点A(4,n)和点B(m,−4)，与x轴，y轴分别交于D，C两点．
(1)求直线AB的表达式；
(2)求△COD的面积；
(3)不等式8x≥kx+b的解集为______ ．
22.(本小题12分)
已知BD是正方形ABCD的对角线，∠MCN=45°，CM和CN分别交BD于点E和F，CM交AD于点G，CN交AB于点H．

(1)如图1，求证：△DEG∽△BHF；
(2)如图2，连接EH．
①判断△CEH的形状，并说明理由；
②如图3，若CM交BD的延长线于点E，CN交BA的延长线于点H，AB=2，其他条件不变，则DEAH= ______ ．
23.(本小题14分)
如图1是一种篮球发球机，该篮球发球机随机以不同力度发射出篮球，篮球飞行的轨迹都呈抛物线状.如图2，已知发球起点P距原点1m.篮球飞行的最高抛物线为C1，该抛物线最高点为5m，最高点距发球起点的水平距离为4m；篮球飞行的最低抛物线为C2，该抛物线的顶点为点P，又已知抛物线C2与抛物线C1的部分能重合．
(1)求抛物线C1的表达式；
(2)若抛物线C1和抛物线C2与x轴的正半轴的交点分别为点A、点B，求AB的长；
(3)若篮球发球机只随机发出抛物线为C1和C2的两种篮球模式，且该抛物线C1和C2都在同一平面内，假设正有一无人机从抛物线C1和C2中穿过，无人机飞行的上下垂直的安全范围不小于1m，该无人机与OP的水平距离为km，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵抛物线解析式为y=−x2−3，
∴抛物线的顶点坐标为(0,−3)．
故选：C．
抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：因为两个相似三角形对应高的比与对应中线的比相等，
所以它们对应边上的高之比为23．
故选：B．
两个相似三角形对应中线的比与对应高的比相等，都等于相似比；本题已知两相似三角形对应中线的比，故可直接得到对应高的比，据此解答．
本题考查的是关于相似三角形的题目，掌握相似三角形的性质是关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、2×(−3)=−6，则k=−6；
B、−6×1=−6，则k=−6；
C、−3×2=−6，则k=−6；
D、2×3=6，则k=6；
因为只有一个点不在双曲线y=kx的图象上，且A、B、C三个选项的k=−6，
所以该点是(2,3)，
故选：D．
把每个选项的x与y相乘，比较k的值，即可作答．
本题考查了反比例函数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=x2−2x+c与x轴有两个交点，
∴Δ=(−2)2−4c>0，
解得c0即可求出c．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．
5.【答案】C
【解析】解：∵AD/​/BE/​/CF，
∴BCAB=EFDE，
因为DE=2，EF=4，AC=9，
所以BC9−BC=42，
解得BC=6，
故选：C．
根据平行线分线段成比例，据此即可作答．
本题考查了平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：从表格知道，当y=5时，所对应的x值分别为−2和0，
由二次函数的对称性知，该二次函数图象的对称轴x=−2+02=−1；
设一元二次方程−x2+bx+c=2的解分别为x1和x2
因为当y=2时，表格所对应的x1的值为1，
所以x2+12=−1，
解得x2=−3，
所以关于x的一元二次方程−x2+bx+c=2的解为x1=1，x2=−3
故选：B．
根据图表信息找出该二次函数图象的对称轴x=−1即可解答．
本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的对称轴x=−1是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、因为ADAB=AEAC，∠A=∠A，所以△ABC∽△ADE，故该选项不符合题意；
B、因为ADDE=ABBC，∠ABC与∠ADE不一定相等，所以不能判定△ABC和△ADE相似，故该选项符合题意；
C、因为ADAC=AEAB，∠A=∠A，所以△ABC∽△AED，故该选项不符合题意；
D、因为∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，所以△ABC∽△AED，故该选项不符合题意；
故选：B．
三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答
本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：解题的关键是掌握，相似三角形的判定方法．
8.【答案】D
【解析】解：当x=0时，y=c，
∴B(0,c)，
∴OB=c，
∵OA=OB，
∴OA=c，
∴A(−c,0)，
把A(−c,0)代入y=−14x2+bx+c，得0=−14(−c)2+b⋅(−c)+c，
∴4b+c=4．
故选：D．
先求出A、B的坐标，然后把A的坐标代入函数解析式即可求解．
本题考查了二次函数的性质，关键是待定系数法求二次函数解析式．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∴△FEA∽△FBC，
∴AFCF=AEBC，
∵点E是AD的中点，
∴AFCF=AEBC=12，
∴AFAC=13，
∵FG/​/BC，
∴△AFG∽△ACB，
∴AFAC=FGBC=13，
∵BC=6，
∴FG=2，
故选：B．
根据四边形ABCD是平行四边形，可得△FEA∽△FBC进而求得AFAC=13，再根据FG/​/BC可得△AFG∽△ACB，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．相似三角形的对应边成比例，对应角相等，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质．
10.【答案】A
【解析】解：依题意，
因为PQ⊥BC，
所以S=12BQ×PQ，
因为等边△ABC中，AB=1，BQ=x，
所以tan∠B=PQBQ= 32，
当0≤x≤12，此时点P在AB上，
则PQ= 32x，
那么S=12BQ×PQ=12⋅x⋅ 32x= 34x2，
此时开口向上；
当12≤x≤1，此时点P在AC上，
则tan∠C=PQCQ=PQ1−x= 32，
那么PQ= 32(1−x)，
那么S=12BQ×PQ=12⋅x⋅ 32(1−x)=− 34x2+ 34x，
此时开口向下；
故选：A．
根据点P在AB和AC上所对应的PQ情况，以及结合△BPQ的面积为S=12BQ×PQ，进行求解即可作答．
本题考查了二次函数与几何图形面积的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】14
【解析】解：∵ba=3，
∴b=3a，
∴aa+b=aa+3a=a4a=14，
故答案为：14．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】y=−3(x−4)2−5
【解析】解：依题意，
因为抛物线y=−3x2先向右平移4个单位，
所以y=−3(x−4)2，
因为y=−3(x−4)2向下平移5个单位，
所以y=−3(x−4)2−5，
故答案为：y=−3(x−4)2−5．
根据平移的规律：左加右减，上加下减．据此作答即可．
本题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．据此作答即可．
13.【答案】72
【解析】解：设养殖园的面积为Scm2，平行于隔离栏的边长为xm，则垂直于隔离栏的边长为48−4x2=(24−2x)m，
根据题意，得S=x(24−2x)
=−2x2+24x
=−2(x−6)2+72，
∵−2