2024年中考数学二次函数训练专题-压轴题专题（四）（试题+解析）

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1．【答案】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入y=ax2+2x+c得：
c=−3a+2×1+c=0，解得：c=−3a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x−3；
令 y=0，则x2+2x−3=0，
解得：x1=1，x2=−3，
∴点B的坐标为（-3，0）
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
b=−3−3k+b=0，解得：k=−1b=−3，
∴直线BC的解析式为y=−x−3，
设点P(m，−m+3)，则Q(m，m2+2m−3)，
∴PQ=(−m−3)−(m2+2m−3)=−m2−3m=−(m+32)2+94，
∴当m=−32时，PQ最大，最大值为94
（3）解：存在，点N的坐标为(−3，−32)或（-2，1）或(0，3−32)．
2．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)，点B(3，0)，
∴a−b−3=09a+3b−3=0，
∴a=1b=−2，
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3
（2）解：∵抛物线解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线x=1，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线x=1的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为y=k1x+b1，
∴−k1+b1=02k1+b1=−3，
∴k1=−1b1=−1，
∴直线AE的解析式为y=−x−1，
当x=1时，y=−x−1=−1−1=−2，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）解：（-1，0）或（1−2，-2）或（1−6，2）
3．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得0=a−b+c3=c0=9a+3b+c，解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3；
（2）解：∵四边形OBDC是正方形，
∴BO=BD，∠OBC=∠DBC，
∵BF=BF，
∴△OBF≅△DBF(SAS)，
∴∠BOF=∠BDF；
（3）解：存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时∠FDM>90°，
∴ DF=DM，
设M(m，3)，
设直线OM的解析式为y=kx(k≠0)，
∴3=km，
解得k=3m，
∴直线OM的解析式为y=3mx，
设直线BC的解析式为y=k1x+b(k1≠0)，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得3=b0=3k1+b，
解得b=3k1=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
令3mx=−x+3，解得x=3mm+3，则y=9m+3，
∴F(3mm+3，9m+3)，
∵四边形OBDC是正方形，
∴BO=BD=OC=CD=3，
∴D(3，3)，
∴DF2=(3−3mm+3)2+(3−9m+3)2=9m2+81(m+3)2，DM2=(m−3)2，
∴9m2+81(m+3)2=(m−3)2，
∴9m2+81=(m2−9)2，
解得m=0或m=33或m=−33，
∵点M为射线BD上一动点，
∴m>0，
∴m=33，
∴BM=33，
当y=3=−x2+2x+3时，解得x=0或x=2，
∴BE=2，
∴ME=BM−BE=33−2.
当点M在线段BD上时，此时，∠DMF>90°，
∴MF=DM，
∴∠MFD=∠MDF，
∴∠BMO=∠MFD+∠MDF=2∠MDF，
由（2）得∠BOF=∠BDF，
∵四边形OBDC是正方形，
∴∠OBD=90°，
∴∠BOM+∠BMO=90°，
∴3∠BOM=90°，
∴∠BOM=30°，
∵OB=3，
∴BM=tan∠BOM⋅OB=33×3=3，
∵BE=2，BD=3，
∴DE=1，
∴ME=BD−BM−DE=3−3−1=2−3；
综上，ME的长为33−2或2−3.
4．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A(−1，0)，点B(2，−3)，
∴1−b+c=04+2b+c=−3，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
（2）解：存在．
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1，−4)，
将x=0代入得，y=−3，
∴C(0，−3)，
∴D到线段BC的距离为1，BC=2，
∴S△BCD=12×2×1=1，
∴S△PBC=4S△BCD=4，
设P(m，m2−2m−3)，
则S△PBC=12×2×(m2−2m−3+3)=4，
整理得，m2−2m=4，
解得m1=1+5，或m2=1−5，
∴P1(1+5，1)，P2(1−5，1)，
∴存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为P1(1+5，1)，P2(1−5，1)．
5．【答案】（1）解：A(−2，0)，B(6，0)，C(0，−6)；
（2）解：过P作PQ∥y轴交BC于Q，如下图.
设直线BC为y=kx+b(k≠0)，将B(6，0)、C(0，−6)代入得
0=6k+bb=−6，
解得k=1b=−6，
∴直线BC为y=x−6，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，△PBC的面积最大，
∵P(m，n)(0