2022-2023学年山东省德州市乐陵市九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年山东省德州市乐陵市九年级（上）期末数学试卷(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为迎接航天英雄，同学们设计了他们喜欢的航空飞行器的图案．其中，属于中心对称的图案设计是( )
A. B. C. D.
2.已知2+ 3是关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的一个实数根，则实数m的值是( )
A. 0B. 1C. −3D. −1
3.对于二次函数y=−x−12的图象的特征，下列描述正确的是( )
A. 开口向上B. 经过原点C. 对称轴是y轴D. 顶点在x轴上
4.平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为( )
A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条
5.在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是( )
A. 34B. 12C. 13D. 23
6.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为( )
A. I=24R
B. I=36R
C. I=48R
D. I=64R
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是( )
A. 1米B. (4− 7)米C. 2米D. (4+ 7)米
8.若函数y=kx与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=kx+b的大致图象为( )
A. B. C. D.
9.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是( )
A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm
10.一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是( )
A. 48πB. 45πC. 36πD. 32π
11.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为
( )
A. 1: 2: 3B. 3: 2:1C. 3:2:1D. 1:2:3
12.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点(点P不与点A，B重合)，在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①至少存在一点P，使得PA>AB；
②若PB=2PA，则PB=2PA；
③∠PAB不是直角；
④∠POB=2∠OPA．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①③B. ③④C. ②③④D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y=6x(x>0)的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为______ ．
14.2022北京冬奥会雪花图案令人印象深刻，如图所示，雪花图案围绕旋转中心至少旋转 度后可以完全重合．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
16.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛，则比赛组织者应邀请______个队参赛．
17.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则C1C2的值等于 ．
18.中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 m.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−x+2m−4=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两根满足(x1−3)(x2−3)=m2−1，求m的值．
20.(本小题8分)
在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球(除颜色外其余都相同)，
(1)第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
(2)若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为56，求后来放入袋中的蓝球个数．
21.(本小题8分)
某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地．
(1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
(2)如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，AB上一点O为圆心作圆，使⊙O经过A，D两点．
(1)尺规作图：作出⊙O(不写作法与证明，保留作图痕迹)；
(2)求证：BC为⊙O的切线．
(3)若AB=10，∠B=30°，求⊙O的周长．
23.(本小题8分)
如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200m.如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间为10 3秒，求火车行驶的速度为多少(不考虑火车长度)？
24.(本小题8分)
如图1，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．
(1)求出∠ACE的度数；
(2)请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；
(3)若将△CDE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，(2)中的结论是否还成立，试说明理由．
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1,0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ/​/BC交AC于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设P(m,0)，
①试用含m的代数式表示△PCA的面积；
②试用含m的代数式表示点Q到x轴的距离；
③求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的定义，对每个图形分析、解答．
本题主要考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
把x=2+ 3代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解答】
解：根据题意，得(2+ 3)2−4×(2+ 3)+m=0，
解得m=1，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：∵y=−x−12，
∴抛物线开口向下，顶点为(1,0)，对称轴为直线x=1，
故选：D．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．
先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】
解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴d>r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
过圆外一点可以作圆的2条切线，
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
画树状图，共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：电路图中的干路开关用S1表示，支路的两个开关分别用S2，S3表示，根据题意画树状图得：
共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况(S1,S2)，(S1,S3)，(S2,S1)，(S3,S1).
则有一个灯泡发光的概率是46=23．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【解答】
解：设I=KR，把(8,6)代入得：
K=8×6=48，
故这个反比例函数的解析式为：I=48R．
故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
连接OC交AB于点D，连接OA，根据垂径定理得到AD=12AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
【解答】
解：连接OC交AB于点D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD=12AB=3(米)，
在Rt△OAD中，OD= OA2−AD2= 42−32= 7(米)，
∴点C到弦AB所在直线的距离CD=OC−OD=(4− 7)米，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了函数的图象与系数的关系的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】
解：由函数y=kx的图像，得k0，对称轴为直线−b2a>0，所以bAB，错误．不存在．
②若PB=2PA，则PB=2PA，错误，应该是PB0)的图象上，AC⊥x轴于点C，S△OAC=12×6=3，
故答案为：3．
根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求解．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．
14.【答案】60
【解析】【分析】
本题考查了利用旋转设计图案，掌握旋转角的概念是解题的关键．
先找出原图是由一个基本图案旋转几次形成，进而可求出至少旋转的度数．
【解答】
解：由题意这个图形可以由一个基本图形旋转六次形成，所以至少旋转的度数为：360°6=60°，
故答案为：60．
15.【答案】(2,1)
【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是(2,1)．
故答案为：(2,1)．
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．
16.【答案】5
【解析】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
依题意，得：12x(x−1)=2×5，
整理，得：x2−x−20=0，
解得：x1=5，x2=−4(舍去)．
故答案为：5．
设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据共赛2×5场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】 22
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理．
先根据三边对应成比例，证明△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答．
【解答】
解：∵DEAB=2 12+12= 2，
EFBC= 22+222= 2，
DFAC= 42+22 32+12= 2，
∴DEAB=EFBC=DFAC= 2，
∴△ABC∽△DEF，
∴C1C2=ABDE= 22，
故答案为： 22．
18.【答案】11.25
【解析】【分析】
本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键．
首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点B的纵坐标．
【解答】
解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系，
由题意得：A(3,10)，C(5,0)，对称轴为直线x=3.5，
设解析式为y=a(x−3.5)2+k，
所以10=0.25a+k0=2.25a+k，
解得a=−5，k=11.25，
所以y=−5(x−3.5)2+11.25，
所以B(3.5,11.25)，点B距离水面11.25m．
故答案为：11.25．
19.【答案】解：(1)根据题意得Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(2m−4)≥0，
解得：m≤178；
(2)根据题意得：x1+x2=−ba=1，x1x2=ca=2m−4，
∵(x1−3)(x2−3)=m2−1，
∴x1x2−3(x1+x2)+9=m2−1，
∴2m−4−3×1+9=m2−1，
∴m2−2m−3=0，
解得：m1=−1，m2=3(不合题意，舍去)．
故m的值是−1．
【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了根的判别式．
(1)利用根的判别式得到Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(2m−4)≥0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=−ba=1，x1x2=ca=2m−4，(x1−3)(x2−3)=m2−1变形得到x1x2−3(x1+x2)+9=m2−1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
20.【答案】解：(1)列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中两次摸到一红一蓝的有4种结果，
所以两次摸到一红一蓝的概率为46=23；
(2)设后来放入的蓝球有x个，
根据题意，得：1+x3+x=56，
解得x=9，
经检验：x=9是分式方程的解，
答：所以后来放入袋中的蓝球有9个．
【解析】【分析】
本题考查了列表法与画树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
(1)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
(2)设后来放入的蓝球有x个，根据摸出一个蓝球的概率为56列出关于x的方程，解之即可．
21.【答案】解：(1)由题意得，两地路程为80×6=480(km)，
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v=480t．
(2)由v=480t，得t=480v，
又由题知：t≤5，
∴480v≤5．
∵v>0
∴480≤5v．
∴v≥96．
答：返程时的平均速度不能小于96 km/h．
【解析】(1)直接求出总路程，再利用路程÷时间=速度，进而得出关系式；
(2)由题意可得480v≤5，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
22.【答案】(1)解：(1)如图1所示，⊙O即为所求；

(2)证明：如图2，连接OD，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD/​/AC．
又∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
(3)解：由(2)知OD⊥BC，∠B=30°，
∴OB=2OD，
设半径OA=OD=x，则OB=10−x，
∴10−x=2x，
解得：x=103，
∴⊙O半径为103，
∴⊙O的周长为2πr=2π×103=20π3．
【解析】(1)作AD的垂直平分线EF，交AB于点O，然后以AO为半径作圆，即可得出答案；
(2)连接OD，根据等边对等角，得出∠OAD=∠ODA，再根据角平分线的定义，得出∠CAD=∠OAD，再根据等量代换，得出∠ODA=∠CAD，再根据平行线的判定定理，得出OD/​/AC，再根据平行线的性质，得出∠ODB=90°，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
(3)根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OB=2OD，然后设半径OA=OD=x，则OB=10−x，再根据OB=2OD，列出方程，解出即可得出⊙O半径，再根据圆的周长公式，计算即可．
本题考查了尺规作图、线段的垂直平分线的应用、等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、含30°角的直角三角形、圆的周长，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出图形．
23.【答案】解：过点A作AB⊥MN，

∵∠QON=30°，AO=200m，
∴AB=12OA=200×12=100m，
过点A作OA=AD=200m，交MN于点D，
∵AB⊥OD，
∴OB=BD，
∵在Rt△AOB中，OB= OA2−AB2= 2002−1002=100 3m，
∴OD=2BO=200 3m，
∵居民楼受噪声影响的时间约为10 3秒，
∴200 310 3=20s．
答：火车行驶的速度约为20米/秒．
【解析】过点A作AB⊥MN，根据直角三角形的性质可得AB=12OA=200×12=100m，再过点A作OA=AD=200m，交MN于点D，可得OB=BD，再由勾股定理求出OB的长，从而得到OD=2BO=200 3m，即可求解．
本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∵点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACE=180°−∠ACB−∠ECD=180°−60°−60°=60°；
(2)△BCE≌△ACD．
理由：∵△ABC和△CED都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)；
(3)(2)中的结论还成立．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC．
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)．
【解析】(1)由等边三角形的性质得出∠ACB=∠ECD=60°，则可求出∠ACE=60°；
(2)依据等边三角形的性质可得到BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后可证明∠ACD=∠BCE，依据SAS可证明△BCE≌△ACD；
(3)(2)中的结论还成立．证明方法同(2)．
本题考查了旋转的基本性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，证得△BCE≌△ACD是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A(1,0)，AB=4，
∴B(−3,0)，
将A(1,0)，B(−3,0)代入y=x2+bx+c，得：
1+b+c=09−3b+c=0，
解得：b=2c=−3，
抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)①如图，过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，

设P(m,0)，则PA=1−m，
∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴C(−1,−4)，
∵C(−1,−4)，
∴CF=4，
∴S△PCA=12PA⋅CF=12(1−m)⋅4=2−2m；
②∵PQ//BC，
∴∠PQA=∠BCA，∠QPA=∠CBA，
∴△PQA～△BCA，
∴AQAC=APAB=1−m4，
∵CF//QE，
∴AQAC=QECF，
∴QECF=1−m4，即QE4=1−m4，
∴QE=1−m，即点Q到x轴的距离为1−m；
③∵S△PQA=12PA⋅QE=12(1−m)(1−m)，
∴S△CPQ=S△PCA−S△PQA=12PA⋅CF−12PA⋅QE=12(1−m)×4−12(1−m)(1−m)=−12(m+1)2+2，
∵−3≤m≤1，
∴当m=−1时S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为(−1,0)．
【解析】(1)先根据A(1,0)，AB=4，求出B点坐标，再将A，B点坐标代入y=x2+bx+c求解；
(2)①将y=x2+2x−3化成顶点式求出C(−1,−4)，则S△PCA=12PA⋅CF；
②先证△PQA～△BCA，推出AQAC=APAB=1−m4，再根据CF//QE，推出AQAC=QECF，代入数值求出QE即可；
③根据S△CPQ=S△PCA−S△PQA，得到关于m的二次函数，化为顶点式即可求出最值．
本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、求二次函数的最值等，有一定难度，解题的关键是熟练运用数形结合思想．红
红
蓝
红
(红，红)
(蓝，红)
红
(红，红)
(蓝，红)
蓝
(红，蓝)
(红，蓝)