2023-2024学年四川省成都七中高新校区九年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都七中高新校区九年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在2，−6，0，tan60°四个数中，最大的数是( )
A. 2B. −6C. 0D. tan60°
2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的主视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列各式计算正确的是( )
A. x5+x5=x10B. a10÷a9=aC. (ab4)4=ab16D. a6⋅a4=a24
4.在一个不透明的布袋中有白色、黄色乒乓球共20个，它们除颜色外完全相同.充分摇匀后摸出一个乒乓球，记录颜色后放回，通过多次摸乒乓球试验后发现其中摸到白球的频率稳定在60%附近，则口袋中白球的个数很可能是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
5.如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE交BD于点F，若DE：EC=2：1，则△ABF的面积与△DEF的面积之比为( )
A. 1：4B. 4：9C. 9：4D. 2：3
6.以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍得到△DEF，下列说法错误的是( )
A. △ABC∽△DEFB. AB//DE
C. BE：BO=2：1D. 点C、O、F三点共线
7.将抛物线y=−2x2向上平移3个单位得到的抛物线是( )
A. y=−2(x+3)2B. y=−2(x−3)2C. y=−2x2+3D. y=−2x2−3
8.如图，矩形ABCD的对角线交于点O.已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是( )
A. ∠BDC=∠αB. BC=m⋅tanαC. AO=m2sinαD. BD=mcsα
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.分解因式：a3−a=______．
10.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
11.点A(−1,y1)，B(−2,y2)在双曲线y=k2x(k为常数)上，则y1 ______ y2(填“>”或“<”)．
12.公司一月份一次性投入我市青桔共享单车25000辆，备受欢迎，公司决定增加市场投放，二、三月份共计增加市场投入24000辆，则平均每次增长的百分率为______ ．
13.在∠POQ的两边上分别截取线段OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=4cm，四边形OACB的面积为16cm2，则OC的长为______ cm．
14.若a、b是一元二次方程x2+4x−1=0的两实数根，则a2+6a+2b= ______ ．
15.已知a2−3a−2=0，则(1−4a+1)÷a2−6a+9a+1⋅1a= ______ ．
16.宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形，矩形ABCD是黄金矩形，若AB=2cm，则矩形ABCD的面积为______ cm2．
17.如图，线段AB=4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段
PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是______．
18.如图，在平面角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为______ ．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19.(1)计算： 4−(−13)−2+|1−2cs45°|−(3.14−π)0；
(2)解方程：(x+3)2=2x+6．
20.成都市某小学优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：80分钟以上；B：60～80分钟；C：40～60分钟；D：40分钟以下.并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______ 人；
(2)扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角度数______ ，并补全条形统计图；
(3)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有______ 人；
(4)“A”层级的4名同学中恰好有2名女生和2名男生，从这4名同学中随机抽取2人参加现场深入调研，请用树形图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21.成都市邛崃市是中国主要白酒原酒基地，邛峡市市区临邛镇在图中A点处，汉代司马相如曾在邛崃市固驿镇售卖白酒，固驿镇在临邛镇南偏东81°方向10km的B处，邛崃市平乐古镇在临邛镇南偏西62°方向16km的C处.求平乐古镇与固驿镇两地的距离.(参考数据：sin81°=0.98，cs81°=0.16，tan81°=6.31，sin62°=0.88，cs62°=0.47，tan62°=1.88，sin37°=0.60，cs37°=0.80，tan37°=0.75)
22.已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AB的中点，连接CE、DE，过点D作DF⊥DE交线段AB的延长线于点F．
(1)求证：FD2=FB⋅FA；
(2)若BF=2，DF=4，求BC的长．
23.如图，O为坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴的正半轴上，OA所在直线的函数表达式为y=43x，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A，与边BC交于点D，已知OA=10，点D为BC的中点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求△AOD的面积；
(3)过点D作DE//OC，交OA于点E，点M为直线DE上一动点，连接MA、MO，是否存在以M，O，A为顶点的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24.某超市销售一种衬衫.平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
(2)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？
25.已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点．
(1)若A、B两点的横坐标分别为−1、4，求直线AB的函数关系式；
(2)若CB=3AC，D为CB的中点，且点D(a,b)(a>0)，求ba2的值；
(3)连接OA、OB，若OA⊥OB，△AOB的面积为1，求点A的坐标．
26.已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E在边AB上，点F在对角线BD上，且∠ECF=∠ABD．
(1)如图1，连接AC，过点C作CG⊥BC交BD于点G，求证：∠ACE=∠GCF；
(2)探索线段DF，BE，CD之间的数量关系并证明；
(3)如图2，延长CF交边AD于点M，交BA的延长线于点P，作∠DCP的平分线交边AD于点Q，若CFPE=57，MQ=3524，求线段BE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵tan60°= 3，
∴−6<0∴四个数中，最大的数是2．
故选：A．
由tan60°= 3，负数都小于0，正数都大于0，即可得到答案．
本题考查特殊角的三角函数值，实数大小比较，关键是掌握特殊角的三角函数值，实数比较大小的方法．
2.【答案】B
【解析】解：从正面看有两层，底层是一个较大的正方形，上层的右边有一个小正方形，
故选：B．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3.【答案】B
【解析】解：A、x5+x5=2x5，故A不符合题意；
B、a10÷a9=a，故B符合题意；
C、(ab4)4=a4b16，故C不符合题意；
D、a6⋅a4=a10，故D不符合题意；
故选：B．
利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】D
【解析】解：设白色乒乓球x个，
∵共有白色、黄色乒乓球共20个，白球的频率稳定在60%，
∴=60%，
解得x=12，
∴布袋中白球的个数很可能是12个．
故选：D．
先设出白色乒乓球的个数，根据白球的频率求出白色乒乓球的个数即可．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系，列出方程．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE：EC=2：1，DE+EC=DC，
∴DEDC=23，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEFS△BAF=(DEAB)2，
又AB=CD，
∴S△DEFS△BAF=(DEDC)2=49，
则△BAF的面积与△DEF的面积之比为9：4．
故选：C．
由题意结合图中线段之间的和差关系推出DEDC=23，再根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB/​/CD，从而推出△DEF∽△BAF，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质及相似三角形的性质推出S△DEFS△BAF=(DEDC)2，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找等量关系．
6.【答案】C
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍得到△DEF，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，点C、O、F三点共线，
故ABC正确；
∵BEBO=BO+OEBE=1+21=3：1，
∴选项C错误，
故选：C．
根据相似三角形的性质逐一判断即可．
本题考查了位似变换，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：将抛物线y=−2x2向上平移3个单位得到的抛物线是y=−2x2+3．
故选：C．
根据“左加右减，上加下减”的规律解答．
此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
根据矩形的性质得出∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，AB=DC，再解直角三角形求出即可．
【解答】
解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，
∴AO=OB=CO=DO，
∴∠DBC=∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，故本选项不符合题意；
B、在Rt△ABC中，tanα=BCm，即BC=m⋅tanα，故本选项不符合题意；
C、在Rt△ABC中，AC=mcsα，即AO=12AC=m2csα≠m2sinα，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=m，
∵∠BAC=∠BDC=α，
∴在Rt△DCB中，BD=mcsα，故本选项不符合题意．
9.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：a3−a
=a(a2−1)
=a(a+1)(a−1)．
故答案为a(a+1)(a−1)．
10.【答案】k≤1
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解决本题的关键．
根据一元二次方程根的情况知Δ=(−2)2−4×1·k=4−4k≥0，解不等式即可．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1·k=4−4k≥0．
∴k≤1．
故答案为：k≤1．
11.【答案】<
【解析】解法一：∵点A(−1,y1)，B(−2,y2)在双曲线y=k2x(k为常数)上，
∴y1=−k2，y2=−12k2，
∵y1−y2=−k2−(−12k2)=−12k2<0，
∴y1故答案为：<．
解法二：∵k2>0，
∴对于双曲线y=k2x(k为常数)在每一个象限，y随x的增大而减小，
∵−1<−2，
∴y1故答案为：<
解法一：将点A(−1,y1)，B(−2,y2)代入双曲线y=k2x(k为常数)之中得y1=−k2，y2=−12k2，然后计算y1−y2即可得出答案；
解法二：根据反比例函数的性质即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上的点，反比例函数的性质是解决问题的关键．
12.【答案】40%
【解析】解：设平均每次增长的百分率为x，
25000(1+x)2=25000+24000，
解得x1=25=40%，x2=−125(舍去)，
故答案为：40%．
首先设出平均增长率为x，列出方程解之，得出两个解，一个符合题意，另一个不合题意舍去．
本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题关键是掌握平均增长率的解题方法．
13.【答案】8
【解析】解：由作图可知，OA=OB=AC=BC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=4cm，四边形OACB的面积为16cm2，
∴12OC⋅AB=16，
∴OC=8cm，
故答案为：8．
根据作图得出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．
本题考查了作图−基本作图，菱形的判定与性质，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
14.【答案】解：(1) 4−(−13)−2+|1−2cs45°|−(3.14−π)0
=2−9+|1−2× 22|−1
=2−9+|1− 2|−1
=2−9+ 2−1−1
=−9+ 2；
(2)(x+3)2=2x+6，
(x+3)2−2(x+3)=0，
(x+3)(x+3−2)=0，
∴x+3=0或x+3−2=0，
解得x1=−3，x2=−1．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先变形，然后根据提公因式法解答即可．
本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
15.【答案】40 144° 150
【解析】解：(1)接受问卷调查的学生共有：8÷20%=40(人)，
故答案为：40；
(2)扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角的度数为：360°×1640=144°，
故答案为：144°，
“B”层级的人数为：40−4−16−8=12(人)，
补全条形统计图如下：
(3)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有：1500×440=150(人)，
故答案为：150；
(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=812=23．
(1)由“D”层级的人数除以所占百分比即可；
(2)由360°乘以“C”层级的人数所占的比例得出扇形统计图中“C”层级的扇形的圆心角的度数，再求出B”层级的人数，补全条形统计图即可；
(3)由全校的学生人数乘以“A”层级的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】解：如图，过点A作正南方向射线AD，交BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，

由题意可知，∠BAD=81°，∠CAD=62°，AB=10km，AC=16km，
∴∠BAE=180°−∠BAD−∠CAD=180°−81°−62°=37°，
在Rt△ABE中，sin∠BAE=BEAB=sin37°≈0.60，cs∠BAE=AEAB=cs37°≈0.80，
∴BE≈0.60AB=0.60×10=6(km)，AE≈0.80AB=0.8×10=8(km)，
∴CE=AC+AE=16+8=24(km)，
∴BC= BE2+CE2= 62+242=6 17(km)，
答：平乐古镇与固驿镇两地的距离约为6 17km．
【解析】过点A作正南方向射线AD，过点B作BE⊥AC于点E，先求出∠BAE=37°，再由锐角三角函数定义求出BE、AE的长，得出CE的长，然后由勾股定理求出BC的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD，∠CAD=∠BAD，
∵点E是线段AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠BAD，
∵AD⊥BC，DF⊥DE，
∴∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴∠BDF=∠BAD，
又∠F=∠F，
∴△BDF∽△DAF，
∴BFDF=DFFA，
∴FD2=FB⋅FA；
(2)解：∵BF=2，DF=4，FD2=FB⋅FA，
∴FA=8，
∴AB=FA−BF=6，
∵△BDF∽△DAF，
∴BDAD=BFDF=24=12，
∴AD=2BD，
∵AD2+BD2=AB2=62=36，
∴4BD2+BD2=36，
∴BD=65 5或BD=−65 5(舍去)，
∴BC=2BD=125 5．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质推出BD=CD，∠CAD=∠BAD，即可判定DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质推出∠ADE=∠BAD，根据垂直的定义及角的和差求出∠ADE=∠BDF，则∠BDF=∠BAD，结合∠F=∠F，即可判定△BDF∽△DAF，根据相似三角形的性质即可得解；
(2)根据相似三角形的性质求出AD=2BD，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，过点A作AH⊥x轴于点H，

∵点A在直线y=43x，
∴设A(3x,4x)，
∵点A在第一象限，
∴x>0，OH=3x，AH=4x，
∵OA=10，
∴(3x)2+(4x)2=102，
解得：x=2，
∴点A(6,8)，
.∴k=6×8=48，
∴反比例函数的解析式为y=48x；
(2)如图2，过点D作DG⊥x轴于G，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，AB=OC，OA//BC，
∴∠AOH=∠DCG，
∵AH⊥x轴，DG⊥x轴，
∴∠AHO=∠DGC=90°，
∴△AOH∽△DCG，
∴OHCG=AHDG=OACD，
∵点D为BC边的中点，
∴OA=BC=2CD，
∴OH=2CG=6，AH=2DG=8，
∴CG=3，DG=4．
∵点D在反比函数的图象上，点D的纵坐标为4，
∴点D的横坐标为12，
∴OG=12，OB=OG−BG=12−3=9，
∴AB=OC=9，
∴点B的坐标为(15,8)，
∴S△AOD=12S▱OABC=12×OC×AH=12×9×8=36；
(3)存在点M，使以M，O，A为顶点的三角形是直角三角形，
①如图3，当∠OMA=90°时，ME是Rt△AOM斜边上的中线，
∴EM=12OA=5，
当点M在点E右侧时，其横坐标为3+5=8，则M(8,4)，
当点M在点E左侧时，其横坐标为3−5=−2，则M(−2,4)，

②如图4，当∠OAM2=90°，
在Rt△AEM2中，tan∠AEM2=tan∠AOC=43，AE=5，
∴AM2=5×43=203，EM2=253，
∴点M2的横坐标为3+253=343，
∴点M2(343,4)

③如图5，当∠M3OA=90°时，由②可知EM3=253，
∴点M3的横坐标为3−253=−163，
∴点M3(−163,4)

综上所述，存在以M，O，A为顶点的直角三角形，点M的坐标为(8,4)或(−2,4)或(343,4)或(−163,4)．
【解析】(1)过点A作AH⊥x轴于点H，根据OA所在直线的函数表达式和线段OA的长条件求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
(2)过点D作DG⊥x轴于G，易证△AOH∽△DCG，根据相似三角形的性质求出CG、DG，从而得到点D的纵坐标，然后根据点D在反比例函数图象上，可求出点D的坐标，从而可求出AB和OC的长，根据点A的坐标就可求出点B的坐标，根据OC、AH的值可求出平行四边形OABC的面积就可求出△AOD的面积；
(3)分三种情况：①∠AMO=90°，②∠MAO=90°，③∠AOM=90°进行讨论，运用直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理求出点M的横坐标即可解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查运用待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，两点间距离公式，勾股定理，解方程等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
19.【答案】−7
【解析】解：∵a、b是一元二次方程x2+4x−1=0的两实数根，
∴a+b=−4，a2+4a−1=0，
∴a2=1−4a，
∴a2+6a+2b
=1−4a+6a+2b
=1+2(a+b)
=1+2×(−4)
=−7．
故答案为：−7．
首先根据根与系数的关系及一元二次方程根的定义得a+b=−4，a2+4a−1=0，然后将a2=1−4a，a+b=−4整体代入代数式a2+6a+2b之中即可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，理解一元二次方程根的定义，熟练掌握根与系数的关系是解决问题的关键，整体思想的应用是解决问题的难点．
20.【答案】12
【解析】解：(1−4a+1)÷a2−6a+9a+1⋅1a=a+1−4a+1×a+1(a−3)2⋅1a=1a2−3a，
∵a2−3a−2=0，
∴a2−3a=2，
∴原式=12，
故答案为：12．
根据分式的混合运算顺序进行计算即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题关键．
21.【答案】(2 5+2)或(2 5−2)
【解析】解：分两种情况：
当ABBC= 5−12时，
∴BC=( 5+1)cm，
∴矩形ABCD的面积=AB⋅BC=2( 5+1)=(2 5+2)cm2；
当BCAB= 5−12时，
∴BC=( 5−1)cm，
∴矩形ABCD的面积=AB⋅BC=2( 5−1)=(2 5−2)cm2；
综上所述：矩形ABCD的面积为(2 5+2)或(2 5−2)cm2，
故答案为：(2 5+2)或(2 5−2)．
分两种情况：当ABBC= 5−12时；当BCAB= 5−12时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，分两种情况讨论是解题的关键．
22.【答案】3 2
【解析】【试题解析】
解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．
∵AB=4，M(O与M重合)为AB的中点，
∴A(−2,0)，B(2,0)．
设点P的坐标为(x,y)，则x2+y2=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋转的性质可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中，∠ECP=∠FPB∠PEC=∠PFBPC=PB，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，FB=EP=2−x．
∴C(x+y,y+2−x)．
∵AB=4，O为AB的中点，
∴AC= (x+y+2)2+(y+2−x)2= 2x2+2y2+8y+8．
∵x2+y2=1，
∴AC= 10+8y．
∵−1≤y≤1，
∴当y=1时，AC有最大值，AC的最大值为 18=3 2．
故答案为：3 2．
以O(M与O重合)为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为(x,y)，则x2+y2=1.然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC=PF=y，FB=EP=2−x，从而得到点C(x+y,y+2−x)，最后依据两点间的距离公式可求得AC= 10+8y，最后，依据当y=1时，AC有最大值求解即可．
本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．
23.【答案】12
【解析】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN/​/FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∴FM=12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S △AON=S △FOM，
∴ON⋅AN=⋅OM⋅FM，
∴ON=OM，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S △FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE/​/BD，
∴S ​△ABE=S △AOE，
∴S △AOE=18，
∵AF=EF，
∴S △EOF=S △AOE=9，
∴S △FME=S △EOF=3，
∴S △FOM=S △FOE−S △FME=9−3=6，
∴k=12．
故答案为：12．
连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.证明BD/​/AE，推出S ​△ ABE =S ​△ AOE =18，推出S ​△ EOF =S ​△ AOE =9，可得S ​△ FME =S ​△ EOF =3，由此即可解决问题．
本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD/​/AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
24.【答案】解：(1)根据题意，每件衬衫降价4元时，
平均每天的销售量为：20+2×4=28(件)，
每天销售获利为：28×(40−4)=1008(元)，
即平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．
(2)设每件衬衫应降价x元．由题意知：(20+2x)(40−x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得x1=10，x2=20，
当x=10时，每件盈利为40−10=30(元)，30>25，符合题意；
当x=20时，每件盈利为40−20=20(元)，20<25，不符合题意，舍去；
即每件衬衫应降价10元．
【解析】(1)根据所给数量关系求出平均每天的销量，再乘以每件的利润即可得出每天的利润；
(2)根据“销量x单件利润=总利润”列出一元二次方程，再根据每件盈利不少于25元对求出的根进行取舍即可．
本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据“销量x单件利润=总利润”列出一元二次方程．
25.【答案】解：(1)由A、B两点的横坐标分别为−1、4，代入数y=x2求得A(−1,1)，B(4,16)，
设直线AB解析式为y=kx+c，
∴−k+c=14k+c=16，
解得k=3c=4，
∴直线AB解析式为y=3x+4；
(2)过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥y轴于H，如图1：

∵AG⊥y轴，BH⊥y轴，
∴AG/​/BH，
∴△ACG∽△BCH，
∴ACBC=CGCH=AGBH，
∵CB=3AC，
∴CH=3CG，BH=3AG，
设AG=t，则BH=3t，
∵A、B两点在二次函数y=x2的图象上，
∴A(−t,t2)，B(3t,9t2)，
∴OG=t2，OH=9t2，
∴HG=8t2，
而CH=3CG，
∴CG=2t2，OC=3t2，
∴C(0,3t2)，
∵D为CB的中点，
∴D(32t,6t2)，
又∵D(a,b)，
∴a=32tb=6t2，
∴ba2=6t2(32t)2=83；
(3)过A作AG⊥x轴于G，过B作BH⊥⊥x轴于H，如图2：

设A(p,p2)，B(q,q2)，
设直线AB解析式为y=k″x+b″′，
，
解得，
∴直线AB解析式为y=(p+q)x−pq，
令x=0得y=−pq，
∴C(0,−pq)，
∴OC=−pq，
∵△AOB的面积为1，
∴12OC⋅(q−p)=1，
∴pq(q−p)=−2①，
∵OA⊥OB，
∴∠AOG=90°−∠BOH=∠OBH，
又∠AGO=90°=∠OHB，
∴△AGO∽△OHB，
∴AGOH=OGBH，即p2q=−pq2，
∴pq=−1②，
把②代入①得：q−p=2，
∴q=p+2③，
把③代入②得：
p(p+2)=−1，
解得p1=p2=−1，
∴A(−1,1)．
【解析】(1)由A、B两点的横坐标推导出A(−1,1)，B(4,16)，用待定系数法即得直线AB解析式为y=3x+4；
(2)过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥y轴于H，由△ACG∽△BCH，得ACBC=CGCH=AGBH，即知CH=3CG，BH=3AG，设AG=t，则BH=3t，知A(−t,t2)，B(3t,9t2)，可得C(0,3t2)，根据D为CB的中点，得D(32t,6t2)，进而求得a=32tb=6t2，ba2=6t2(32t)2=83；
(3)过A作AG⊥x轴于G，过B作BH⊥⊥x轴于H，设A(p,p2)，B(q,q2)，设直线AB解析式为y=k″x+b″′，待定系数法可得直线AB解析式为y=(p+q)x−pq，从而C(0,−pq)，OC=−pq，根据△AOB的面积为1，即得pq(q−p)=−2①，由OA⊥OB，可得△AGO∽△OHB，即得p2q=−pq2，pq=−1②，由①②解得p1=p2=−1，故A(−1,1)．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、锐角三角函数、相似三角形判定及性质、三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度．
26.【答案】(1)证明：如图1，设AC、BD交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC⊥BD，∠BCD=∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=60°，
∵CG⊥BC，
∴∠BCG=∠BOC=90°，
即∠BCO+∠GCO=∠BCO+∠DBC，
∴∠GCO=∠DBC，
∵∠ECF=∠ABD，
∴∠ECF=∠GCO，
即∠ACE+∠ACF=∠ACF+∠GCF，
∴∠ACE=∠GCF；
(2)解： 3DF+BE=2CD.理由如下：
如图2，过点G作GH⊥CD于H，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BCD=120°，∠BDC=30°，
∴∠DCG=∠BCD−∠BCG=30°，
∴∠BDC=∠DCG，
∴CG=DG，
∵GH⊥CD，
∴CH=DH=12CD，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，
∴CH= 3GH，CG=2GH，
∴CD= 3CG= 3DG，即DG= 33CD，
∵∠CGF=∠BDC+∠DCG=60°=∠CAE，∠ACE=∠GCF，
∴△ACE∽△GCF，
∴AEGF=ACCG=CDCG= 3，
∴GF= 33AE，
∵GF=DF−DG=DF− 33CD，AE=AB−BE=CD−BE，
∴DF− 33CD= 33CD− 33BE，
∴ 3DF+BE=2CD；
(3)解：在菱形ABCD中，∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠ECF=∠ABD=30°，
∴∠ECF=∠FDC，
∵BP//CD，
∴∠EPC=∠FCD，
∴△CFD∽△PEC，
∴CFPE=CDPC=CFPE=57，
∴BCPC=57，
设BC=5k，则PC=7k，过点C作CK⊥AB于K，延长CQ，BP交于点L，如图3，

则∠DCQ=∠L，BK=12BC=52k，CK= 32BC=5 32k，PK= PC2−CK2= (7k)2−(5 32k)2=112k，
∴BP=BK+PK=8k，
∴AP=BP−AB=3k，
∵AP//CD，
∴APCD=AMDM=AMAD−AM，
∴3k5k=AM5k−AM，
∴AM=158k，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠PCL=∠DCL，
∴∠PCL=∠L，
∴PL=PC=7k，
∴AL=AP+PL=10k，
∵AL//CD，
∴ALCD=AQDQ=AQAD−AQ，
∴10k5k=AQ5k−AQ，
∴AQ=103k，
∴MQ=AQ−AM=103k−158k=3524k，
∵MQ=3524，
∴3524k=3524，
∴k=1，
∴CD=5，
设AC、BD交于点O，则AC⊥BD，
∴BD=2OD= 3CD=5 3，OC=12CD=52，
∵DM//BC，
∴DMBC=DFBF=DFBD−DF，
∴5−1585=DF5 3−DF，
∴DF=25 313，
∴BE=2CD− 3DF=2×5− 3×25 313=5513．

【解析】(1)根据菱形的性质得∠BCD=∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=60°，∠BCG=∠BOC=90°，推出∠ECF=∠GCO，即∠ACE+∠ACF=∠ACF+∠GCF，则∠ACE=∠GCF；
(2)证明△ACE∽△GCF，得AEGF=ACCG=CDCG= 3，则DG= 33CD，根据FG列等式可得结论；
(3)先证明△CFD∽△PEC，得CFPE=CDPC=CFPE=57，BCPC=57，设BC=5k，则PC=7k，作辅助线，构建直角三角形，表示PK和BP的长，根据平行线分线段成比例定理列比例式为：APCD=AMDM=AMAD−AM，得AM=158k，由AL//CD，得ALCD=AQDQ=AQAD−AQ，表示AQ=103k，由DM//BC，表示DF的长，结合(2)的结论代入可得结论．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30°锐角直角三角形的性质及方程思想等知识．在(1)中利用菱形的性质证得各角的度数是解题的关键，在(2)中证明△ACE∽△GCF是解题的关键，在(3)中作辅助线，利用设未知数表示各边的长，利用比例式解决问题是关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．