2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高二上学期第二次集体练习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐江县高二上学期第二次集体练习数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若直线与直线平行，则（ ）
A．或B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据两直线平行得到关系式，求出的值.
【详解】由题意得：，且，
解得：.
故选：C
2．如图，四棱雉的底面是边长为3的正方形，，且，为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】由于，
所以，由于平面，
所以平面，而四边形是正方形，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：C

3．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离与半径进行比较，从而求解.
【详解】由点在圆外，得：，
圆心到直线的距离：，
所以得：直线与圆相交，故A项正确.
故选：A
4．若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：A
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知，，
在中，由余弦定理得，化简得，
则，所以，
故选：C.
6．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）

A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.
【详解】正方体中，点为上底面的中心，
所以，
故，
因为，所以，.
故选：B.
7．椭圆：长轴的左右两个端点分别是，，点满足，则面积的最大值为（ ）
A．40B．44C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，设，则由可得，从而可求得，进而可求出面积的最大值.
【详解】由，得，则，
所以，则，设，
所以,
因为，所以，
所以，
化简得，即，
所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以面积的最大值为40，
故选：A

8．圆上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
则点到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故选：B
二、多选题
9．下列四个命题中正确的是（ ）
A．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B．是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若，则
C．已知向量，，则在方向上的投影向量为
D．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2
【答案】ACD
【分析】由空间向量基底的性质判断A；由线面平行的条件判定B；由投影向量的概念求C；由向量法求点到直线的距离判断D.
【详解】对于A，假设共面，则存在，使得，则，
因为是空间的一组基底，即不共面，与矛盾，
所以不共面，则也是空间的一组基底，故A正确；
对于B，当时，满足条件，但直线不平行于平面，故B错误；
对于C，在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，由条件得，，
所以在方向上的投影为，
则点到直线l的距离为，故D正确；
故选：ACD.
10．下列命题错误的是（ ）
A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆
B．若定点，满足，动点满足，则的轨迹是椭圆
C．当时，曲线：表示椭圆
D．若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和椭圆标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若定点，满足，动点满足，
可得点的轨迹为以为端点的线段，所以A不正确；
对于B中，若定点，满足，动点满足，
由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，所以B正确；
对于C中，当时，曲线：，若时，即时，此时曲线表示圆，所以C不正确；
对于D中，若动点的坐标满足方程，则点的轨迹是椭圆，
其中，可得，所以焦点坐标为，所以D正确.
故选：AC.
11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABC
【分析】令，，，根据其几何意义求解即可.
【详解】根据题意，方程，即，
表示圆心为，半径为的圆，由此分析选项：
对于A，设，即，
直线与圆有公共点，
所以，解得
则的最大值为，故A正确；
对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，
所以的最大值为，
故的最大值为，故B正确；
对于C，设，则，直线与圆有公共点，
则，解得，
即的最大值为，故C正确；
对于D，设，则，直线与圆有公共点，
则有，解得：，
即的最大值为，故D错误；
故选：ABC
12．如图，在平行六面体中，，且，则下列说法中正确的有（ ）

A．B．
C．D．直线平面
【答案】ACD
【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A正确；将两边平方利用向量数量积即可求得，可得B正确；由向量数量积计算可得，即C正确；易知是平面的一个法向量，可得D正确.
【详解】由平行六面体可知，所以，即A正确；
设，，，则为空间的一个基底，
因为，，
所以，，
，
可得，故B错误；
即，所以，故C正确；
在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点，
存在唯一的有序实数对，使得．
又，，，
所以．
所以是平面的法向量．故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．经过作直线l，若直线l与连接的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求直线的斜率，结合图象分析求解.
【详解】如图所示，

直线的斜率，直线的斜率，
若直线l与线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为.
故答案为：.
14．已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，，，.

如图，设双曲线左焦点为，
因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上.
根据双曲线的定义可得，，
所以，.
所以，.
由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值.
又，所以，
所以，有最小值，
即有最小值.
故答案为：.
15．已知向量，则 .
【答案】或
【分析】先求出，再求出，然后求出即可.
【详解】，
所以，解得或者，
故答案为：或
16．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为 .
【答案】/
【分析】利用空间向量得0，即可得到答案.
【详解】
即可得到与所成角为.
故答案为：.
四、解答题
17．设为实数，直线．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点；
（2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解.
【详解】（1）因为直线，
所以，对恒成立，
从而由，解得，从而直线过定点.
（2）由题意设，
因为直线过定点，所以，
与两坐标轴的正半轴的截距之和为，
，当且仅当，
即时等号成立，
从而的方程为，即.
18．在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行.
（2）根据题意，利用空间向量的夹角的余弦表示，即可得到结果.
【详解】（1）由为直三棱柱，得平面，又，
以的原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，，且，分别是，的中点，
得，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，
不妨取其法向量为，设二面角所对应的平面角为，
则，
显然二面角为锐二面角，则，即二面角的余弦值为.
19．在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明线线垂直；
（2）用空间向量法求面面角．
【详解】（1）因为为中点，，所以，
又平面平面，平面，所以平面，
以为轴，过与平行的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，
，所以，即；

（2）由（1），又，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，即，
设平面的一个法向量是，
则，取，得，又，所以，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
20．已知点，圆：.
(1)当时，经过点P的直线n与圆相切，求直线n的方程；
(2)若经过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为的中点，求点P横坐标的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分类讨论斜率是否存在，利用圆心到直线距离等于半径求出切线方程.
（2）由经过P的直线与圆C交于A，B两点，且A为中点，得范围，代入即可求P横坐标的取值范围.
【详解】（1）当时, 则，
圆：，圆心为，半径，
当直线n斜率不存在时，直线n的方程为,
圆心到直线距离为2，所以为圆C的切线.
当直线n斜率存在时，设直线n的方程为：，
直线与圆相切，则有，
所以直线n的方程为：即，
综上：直线n的方程为或
（2）由题过点P的直线与圆C交于A、B两点，且点A为的中点，
圆C的直径长为4，所以，
即点P到圆上点A的距离，
所以，即，
解得，
所以点P横坐标的取值范围为：
21．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）联立方程组，根据，得到的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．

22．已知椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，轴正半轴上的点满足．

(1)求椭圆的标准方程以及点的坐标．
(2)过点的直线交椭圆于两点，且和的面积相等，求直线的方程．
(3)在（2）的条件下，求当直线的倾斜角为钝角时，的面积．
【答案】(1)椭圆的标准方程为 ，点坐标为
(2) 或
(3)
【分析】（1）由及椭圆的定义即可求得标准方程及点点坐标.
（2）由 与 的面积相等知点到直线 的距离相等，再由点到直线的距离公式即可求得直线方程.
（3）由（2）求得的直线方程，联立椭圆，再由面积公式即可求得三角形的面积.
【详解】（1）设点的坐标为 ，易知，可得，
则，，
因此椭圆的标准方程为 ，点坐标为 ．
（2）由（1）可知：，
由题意可知：直线的斜率存在，设直线，即，
由与的面积相等知点到直线的距离相等，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
（3）因为在椭圆内部，则直线与椭圆相交，
若直线的倾斜角为钝角，则，
此时直线的方程为，即
联立方程 ，消去得，
设，坐标分别为 ，，则，
所以的面积
，
故所求 的面积为．