2023-2024学年福建省福州市永泰县第一中学高二上学期适应性练习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省福州市永泰县第一中学高二上学期适应性练习数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，使成立的x为（ ）
A．-6B．6C．D．
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标表示求解.
【详解】因为，则，
即，所以，所以.
故选：A
2．已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．外离D．相交
【答案】D
【分析】根据方程确定出圆心和半径，然后根据圆心距和半径的关系进行判断.
【详解】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，
所以，
所以，
所以与两圆相交，
故选：D.
3．设数列满足，且，则（ ）
A．-2B．C．D．3
【答案】A
【分析】判断出数列的周期为4，即可求解.
【详解】因为，，
所以，，，，
显然数列的周期为4，而，因此.
故选：A.
4．已知直线与抛物线相交于、两点（其中位于第一象限），若，则（ ）
A．B．C．-1D．
【答案】A
【分析】过作准线的垂线，垂足为，利用抛物线定义及得，利用三角形知识求出倾斜角，进一步求出直线斜率即可
【详解】由题意知，直线过抛物线的焦点，
准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，过A作的垂线，垂足为M，
如图，
设，因为，所以，
则，所以，
即直线的倾斜角等于，可得直线的斜率为.
故选：A.
5．已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式.
【详解】由数列为递增等差数列，则，且，
又因为，所以，，
所以数列的公差，，
所以数列的通项公式为，故B项正确.
故选：B.
6．已知直线与圆交于，两点，，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【分析】直接由点到直线的距离公式结合几何法的弦长公式运算即可得解.
【详解】由题意得圆心到直线的距离为，
则，得.
故选：B.
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．
【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化简可得，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
8．数列单调递减，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用数列单调递减，可知，可化为，再判断数列
的单调性，即可求出的取值范围.
【详解】∵数列单调递减，∴，
∴，
则，
令，，令，可知在区间上单调递增，则数列为单调递增数列，
对所有的正整数都成立只需时，成立，
即，解得，
∴的取值范围是，
故选：C.
二、多选题
9．已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．不存在实数，使得D．若，则
【答案】AC
【分析】根据向量的模的计算公式A正确，根据向量垂直的条件B错误，以及共线向量的相关判断C正确，条件根据向量计算基本法则得出D错误，即可得出答案.
【详解】对于A 中,由可得解得,故A 选项正确；
对于B 中,由,可得，解得,故B 选项错误;
对于C中，若存在实数λ，使得则显然λ无解，即不存在实数λ，使得故C 选项正确；
对于D中，则，解得，故D错误.
故选：AC
10．已知圆，圆，则（ ）
A．圆与圆内切
B．直线是两圆的一条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．过点作圆的切线有两条
【答案】BCD
【分析】由两圆的标准方程得出圆心和半径，利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系分别判断即可．
【详解】由题意得，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径；
对于A，，，即，两圆外切，故A错误；
对于B，圆心到直线的距离，则与圆相切，
圆心到直线的距离，则与圆相切，
所以是两圆的一条公切线，故B正确；
对于C，直线恒过点，连接，过作，交于圆于点，如图所示，则即为直线被圆截得的最短弦，
则，由勾股定理得，，则，
所以直线被圆截得的最短弦长为，故C正确；
对于D，因为，所以在圆外部，
所以过点作圆的切线有两条，故D正确；
故选：BCD．
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ）
A．当时，三棱锥A-PCE的体积
B．当时，EP∥平面
C．当，平面CEP时
D．的最小值为
【答案】BD
【分析】根据等体积法即可判断A,建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断B；利用两点间距离公式计算判断D；确定直线与平面交点的位置判断C作答．
【详解】对于A，当时，则，故点到平面的距离为,所以,故A错误，
对于B，在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,，
所以，则点,,，
，，，而，
显然，即是平面的一个法向量，
而，因此平行于平面，即直线与平面平行，B正确；
对于C，取的中点，连接，，，如图，
因为为边的中点，则，当平面时，平面，
连接，连接，连接，显然平面平面，
因此，，平面，平面，则平面，
即有，而，
所以，C错误．
对于D，，
于是，当且仅当时取等号，D正确；
故选：BD
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，则（ ）
A．当，时，延长交直线于点，则、、三点共线
B．当，时，若平分，则
C．的大小为定值
D．设该抛物线的准线与轴交于点，则
【答案】ABD
【分析】对AB，可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A选项验证三点纵坐标可得，B选项中结合条件得到计算即可得；对CD，设出直线方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，结合斜率与倾斜角的关系即可得.
【详解】如图所示：

对A、B选项：由，平行于轴的，当，时，
过点，所以，把代入抛物线的方程，
解得，即，直线经过焦点，
直线的方程为，即，
联立，得，
所以，，
因为，所以，即点纵坐标为，
代入得点横坐标，
直线的方程为，联立，
解得，所以点坐标为，
由光学性质可知平行于x轴，则、、三点纵坐标都相同，
所以、、三点共线，故A正确；
由光学性质可知平行于轴，平行于轴，则，有，
平分，有，所以，
，即，
得，故B正确；
对C、D选项： 设为，、，
由消去得：， 恒成立，
有，，，
设，，而，，
则，
则，
而，
并不是定值，故C错误；
直线斜率，
直线斜率
，
即，因此，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
【答案】或
【分析】设直线方程为，由直线在两坐标轴上的截距相等列方程求出即可.
【详解】过点的直线在两坐标轴上的截距相等，所以直线的斜率存在且不为零，
设直线方程为，
令，得到；令，得到，
所以，解得或，
所以直线方程为或．
故答案为：或.
14．数列的前项和记为，若，则 .
【答案】
【分析】根据的关系即可求解.
【详解】解：当时，有，
但当时，不适合上式，
故.
故答案为:.
15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到这个自然数中被除余且被除余的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为 ．
【答案】
【分析】先得到新数列，是首项为，公差为的等差数列，求出通项公式，解不等式即能求出数列的项数.
【详解】由题知，满足上述条件的数列为，
该数列为首项是，公差为的等差数列，
则，
解得，故该数列的项数为.
故答案为：
16．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为 ．
【答案】1
【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案.
【详解】由抛物线可得准线方程为，
设，由余弦定理可得,
由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ，Q到准线的距离等于，
M为的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线的距离为，
则弦的中点M到y轴的距离，
故，
又，
则，当且仅当时，等号成立，
所以 的最小值为1，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题综合性较强，涉及到余弦定理和抛物线定义以及基本不等式等，解答的关键是利用抛物线的定义表示出弦 的中点M到y轴的距离，结合余弦定理表示出的表达式，进而转化为利用基本不等式求最值问题.
四、解答题
17．已知数列{}满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{}的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）两边取倒数可得：，即可证明；
（2）由（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】（1）证明：数列{}满足．
两边取倒数可得：，即，
∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2；
（2）由（1）可得：，
解得．
18．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
(1)已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
(2)已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的法向量，由即可证明；
（2）设且，利用向量法求出点到面的距离，即可求出，在由空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
19．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据椭圆方程求出椭圆的离心率，再根据椭圆和双曲线离心率之和为求出双曲线的离心率，依据椭圆和双曲线有公共焦点，以及双曲线基本量的关系就可以得到双曲的方程.
（2）先考虑直线l斜率不存在时，点不为的中点，所以设直线l的方程为，将直线和双曲线联立得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系结合的中点为列方程，解方程得到k的值就可以得到直线l的方程.
【详解】（1）设椭圆和双曲线的离心率分别是和，椭圆的方程为，双曲线方程为；
椭圆中，即，，，
由已知，所以；
又因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以；
因此，双曲线中，
所以 即， 又，
故双曲线方程为.
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，根据椭圆的对称性可知此时的中点为而不是点，故直线l的斜率一定存在；
因此，设直线l的方程为即，，，
将直线和双曲线的方程联立，
整理得，得，
又因为为中点，所以，即，
所以，解得，
将代入方程即，
此时判别式，方程有两个实数根，
所以直线l的方程为，即.
20．已知过抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线于..，且．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线C上求一点D，使得点D到直线的距离最短．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得；
（2）设，再利用点到直线的距离及二次函数求最小值即可得解.
【详解】（1）如图，

由已知得焦点，
∴直线l的方程为，
联立，消去整理得
设，，则，
，，
∴抛物线C的方程为
（2）设，
则到直线的距离，
当时，，此时，
所以.
21．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用可整理得到轨迹方程；
（2）设，，表示出直线的方程，联立后可整理得到，联立与双曲线方程可得韦达定理的结论，利用可整理得到所求定直线.
【详解】（1），，，整理可得：，
又，曲线的方程为：.
（2）
由题意知：直线斜率不为，则可设，
设，
则直线，直线，
由得：，
由得：，则，即，
，，，
，解得：，
即点在定直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，消掉变量后可得定直线方程.
22．已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，，
(3)
【分析】（1）根据题意得椭圆过点、离心率和计算可得答案；
（2）分直线、斜率均存在且不为0、直线、斜率一个不存在一个为0时，设，，，，联立直线和椭圆方程利用韦达定理和中点坐标公式可得点坐标，再分、求直线方程可得直线过定点；
（3）分直线或斜率一个不存在一个为0、直线、斜率均存在且不为0时，利用弦长公式可得，可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得椭圆过点，
，
解得，，，
；
（2）当直线、斜率均存在且不为0时，
设，，
则，，，
由，，
得，，
，
由，，
得，，
可得，
① 当时，
直线的斜率为，
直线的方程为，
化简得，过定点，
② 当时，
直线的方程为，过点，
当直线、斜率一个不存在一个为0时，、的中点坐标分别为、时．直线的方程为，过点，
综上，直线恒过定点；
（3）当直线或斜率一个不存在一个为0时，，
当直线、斜率均存在时且不为0时，
由（2）得
，
，
，
当且仅当即时等号成立，
综上，四边形面积的最小值为.
【点睛】思路点睛：第二问中，设直线方程为， ，
利用韦达定理求出中点坐标公式，再求直线方程然后求定点，第三问中求出，
求出面积表达式，然后利用基本不等式求最值.解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式等知识点的合理运用，考查了学生的计算能力.