2023-2024学年江西省新余市第六中学高二上学期第三次统考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省新余市第六中学高二上学期第三次统考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．空间四边形中， =（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的加减运算即可求解.
【详解】,
故选：C
2．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将直线转化为y=（3-2t）x-6，结合直线的性质，得不等式3-2t 解不等式可得t的取值范围.
【详解】已知直线 ，转化为y=（3-2t）x-6，
可知直线恒过（0，-6）故3-2t，解得
故选D .
【点睛】本题考查了直线的一般式与斜截式方程及应用，考查了斜率与截距的意义，也可结合一次函数y=kx+b的图象和性质求解.
3．已知的展开式中与的系数相等，则为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中与的系数，列出方程求出．
【详解】二项式展开式的通项为，
∴展开式中与的系数分别是，，
∴，解得.
故选：B.
4．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）
A．4B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】根据题意得椭圆焦点在轴上，且，列出相应式子从而求解.
【详解】由题意得椭圆焦点在轴上，且，
得：，解得：，故D项正确.
故选：D.
5．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（ ）
A．7B．23C．5或25D．7或23
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义知，，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，
根据双曲线的定义知，，
而，所以或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
6．如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．72种
【答案】D
【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有种涂法.
故选：D.
7．过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三点可得圆心、半径，利用圆的几何性质求弦长即可.
【详解】由，，可知，直线与轴平行，直线与轴平行，
所以，即圆为直角三角形的外接圆，
所以圆心坐标为中点，即圆心为，故半径，
由圆中弦长，弦心距、半径的关系可得.
故选：D
8．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明，经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆：当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方程及圆锥曲线的统一定义即可建立不等式求解.
【详解】由可知，
所以，
整理可得，
即动点到定点的距离与到定直线的距离比为常数，
由圆锥曲线的统一定义知，方程表示双曲线时，即，
解得，
故选：C
二、多选题
9．下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【答案】ACD
【分析】根据排列的定义及相关知识逐项进行判断.
【详解】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确；
对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误；
对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确；
对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确.
故选：ACD.
10．已知直线：，：，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．恒过点D．当时，倾斜角是
【答案】AC
【分析】根据给定的直线方程，结合各选项中的条件逐项判断即可.
【详解】直线：，：，
对于A，当不相交时，，解得，此时，因此，A正确；
对于B，当时，，解得，B错误；
对于C，直线：，由，得，恒过点，C正确；
对于D，当时，直线：，倾斜角是，D错误.
故选：AC
11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】AD
【分析】由向量垂直的性质判断A；由共面向量定理判断B；由向量加法法则判断C；由共线向量定理判断D．
【详解】对于A项：非零向量，，若，则，故A项正确；
对于B项：若对空间中任意一点，有，
则，
化简得：，
由空间向量基本定理可知，，，四点不共面，故B项错误；
对于C项：由是空间中的一组基底，则向量，，不共面，
而，
所以向量，，共面不能作为基底，故C项错误；
对于D项：若空间四个点，，，，，
则，即，
所以共线，又因为有公共点，所以，，三点共线，故D项正确.
故选：AD.
12．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种
B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种
C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种
D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，
对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确；
对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确；
对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确；
对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾
可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法，
此时乙有种排法，共有种排法；
（2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法，
共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程的形式，列出不等式，即可求解.
【详解】由方程表示双曲线，则满足，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线的距离相等，则此点的坐标是 .
【答案】或
【分析】设出这点坐标，根据两点间距离公式和点到直线距离公式列式计算得解.
【详解】由题意，点在直线上，设这点坐标，
，解得，
所以点的坐标为或.
故答案为：或.
15．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，则此直线的斜率= .
【答案】.
【分析】根据题意，设方程为，联立方程组得到，求得，结合抛物线的定义，得到方程，进而求得直线的斜率.
【详解】由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，
因为直线过抛物线的焦点，可设方程为，
联立方程组，整理得，
可得，则，
由抛物线的定义可得，
解得，所以直线的斜率为.
故答案为：.
16．已知为直线上的动点，，则的最小值为
【答案】
【分析】利用的几何意义可知其为点到定点,的距离之和的最小值,求出关于的对称点,根据两点间线段最短求值即可
【详解】由题,表示点到定点,的距离之和,作关于的对称点,可得为,则的最小值为
故答案为4
【点睛】本题考查点关于直线对称的性质,考查两点间距离公式,考查数形结合思想和转化思想
四、解答题
17．已知空间中三点，，.
(1)求；
(2)求中边上中线的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的夹角公式运算即可得解；
（2）先根据中点坐标公式求出边的中点坐标，可得坐标，再利用向量模长公式求解即可.
【详解】（1）由题，，，
.
（2）设边的中点为，则点的坐标为，又，
，
.
所以边的中线长为.
五、问答题
18．已知圆C：，直线l：.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【详解】（1）由圆：，可得，
其圆心为，半径，
若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.
（2）由（1）知：圆心到直线的距离，
因为，即，解得：，
所以，整理得：，解得：或，
则直线为或.
六、证明题
19．如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在长方体中，由平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，证得平面，得到平面平面的一个法向量为，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在长方体中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面.
（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
因为平面，且平面，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
则，
因为平面，平面，所以,
又因为，且，平面，所以平面，
所以取平面的一个法向量为，
设平面的法向量，
因为，则 ，
取，可得，所以，
则，
由图象可得，二面角为锐二面角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
七、解答题
20．已知椭圆：的一个顶点为，左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由焦点及顶点坐标求出，再求出，即可得到椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出的值，再求出的面积.
【详解】（1）由题意，得，，又，
所以，，
所以椭圆的方程为；
（2）椭圆的左焦点为，又直线过点且倾斜角为，
所以直线的方程为，即，
联立直线和椭圆方程，得，消去y，得，
设，，则，，
所以，
所以，
所以.
八、证明题
21．平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】(1)取的中点或取中点,利用证平行四边形的方法再证明平面即可.
(2)根据勾股定理与余弦定理证明,再根据面面垂直的性质得出平面即可证明.
(3) 以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.
设,再利用空间向量求解关于线面角的问题即可.
【详解】（1）解法1：取的中点,连结,,,
在直角梯形中,,,
所以四边形为平行四边形,
所以,
在中,,
所以,
又因为,
所以平面平面,
又平面,
所以平面.
解法2：取中点,连结,,
在中,,,
所以,且,
又,,
所以,,
所以四边形为平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.
（2）在中,,,
所以,
所以,
所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
因为平面,
所以.
（3）由（1）（2）以为原点,以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.
所以,,,,,
所以,
所以,,,
设,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,
设平面的法向量为,
所以,
所以令,则,
如与平面成的角为,
所以.
所以,即与面成的角为.
【点睛】本题主要考查了线面平行与线线垂直的一般方法,同时也考查了建立空间直角坐标系求解线面角的问题,需要设线段的比例关系,求解关于比例参数的解析式根据线面角大小化简求解.属于难题.
九、解答题
22．已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过点的直线l与双曲线相交于A，B两点；
①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围；
②若，求此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，由经过的点代入方程即可求解；
（2）运用分类讨论思想，联立直线与双曲线方程，根据条件及韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线为，
可设双曲线的方程为：
又点在双曲线上，所以：
双曲线的方程为：.
（2）①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意．
当k存在时，直线l的方程可设为：，设，
联立双曲线方程：,
由题意：，∴，
所以直线l的斜率的取值范围为．
②由，可得：
当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件；
直线l的方程设为：，
联立方程可得：，
，
由，可得：代入上式可得：，
，解得：，故：．
此时直线l的方程为：或．