2023-2024学年广东省佛山市南海区狮山石门高级中学高二上学期第二次统测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区狮山石门高级中学高二上学期第二次统测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.
2．甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（ ）
A．0.72B．0.27C．0.26D．0.98
【答案】D
【分析】“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，结合二人投篮相互独立，计算即得解.
【详解】由题意“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，
记“至少一人命中”为事件，由甲、乙二人投篮相互独立，
则.
故选：D
3．若向量，，则平面的一个法向量可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案.
【详解】解：设平面的法向量为，因为向量，，
所以，取，得，
故选：C.
4．已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（ ）
A．B．0C．2D．±2
【答案】A
【分析】由两直线平行的条件计算．
【详解】由题意，，
时，方程是，即，的方程是，两直线重合，舍去，
时，方程可化为，方程化为，平行．
故选：A.
5．若圆关于直线对称，则（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】D
【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可.
【详解】圆关于直线对称,
即圆心在直线上，
由，得圆心，
则，得.
故选：D
6．在如图所示的电路图中，开关a，b闭合与断开的概率都是，开关c闭合与断开的概率分别是，，且各个开关是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要使灯亮，必须a闭合，而开关b，或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果．
【详解】解：设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E，
则灯亮这一事件，
且A，B，C相互独立，，，两两互斥，
∴
，
故选：B.
7．已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为 ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【分析】直线恒过椭圆的左焦点，利用椭圆的定义求得的周长.
【详解】直线恒过定点为椭圆的左焦点，
由椭圆的定义知的周长.
故选：C
8．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为，
由余弦定理可得
即，
整理可得，
所以，即.
故选：B
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】ABD
【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.
【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.
10．若方程所表示的曲线为，则（ ）
A．曲线可能是圆
B．若，则为椭圆
C．若为椭圆，且焦点在轴上，则
D．若为双曲线，且焦点在轴上，则
【答案】AC
【分析】AB选项，计算出时，曲线表示圆，A正确，B错误；C选项，根据焦点在轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案.
【详解】A选项，当，即时，方程为，
表示圆心为原点，半径为的圆，故选项正确，选项错误；
C选项，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项正确；
D选项，若为双曲线，且焦点在轴上，方程即，
则，解得，故选项D错误.
故选：AC.
11．掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（ ）
A．事件A与B是独立事件B．事件B与C是互斥事件
C．事件C与D是对立事件D．
【答案】AB
【分析】根据定义判断独立事件，互斥事件和对立事件即可.
【详解】由题意知：，，，
∴事件与是独立事件，A正确；
∵事件与不能同时发生，∴与是互斥事件，B正确；
点数为4时，既不属于事件，也不属于事件，∴事件与不是对立事件，C错误；
∵事件是“点数为5点”，∴，D错误.
故选：AB.
12．已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．点到直线的距离为
D．的面积为
【答案】ACD
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，，，
因为，所以A正确；
，
在方向上的投影向量为，所以B错误；
在方向上的投影向量的长度，
点到直线的距离为故C正确；
，
的面积，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题
13．某校将举行“咏经典”诗文比赛，决赛阶段只剩下甲､乙､丙､丁实力相当的四名同学，则甲､乙同学获得前两名的概率是 .
【答案】
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率
【详解】解：画树状图得：
∴前两名的所有情况为：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁， 丁甲，丁乙，丁丙共种情况，则甲乙获得前两名的情况有甲乙，乙甲种情况，
甲､乙同学获得前两名的概率为，
故答案为:
14．已知直线与平行，则实数 .
【答案】.
【详解】分析：利用平行线的充要条件列出方程求解即可.
详解：直线与平行，
可得，解得或，
当时，两条直线重合，不满足题意，故答案为.
点睛：本题考查平行线充要条件的应用，意在考查基本性质的掌握情况以及计算能力.
15．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则 .
【答案】
【分析】由椭圆可求椭圆的焦点为，不妨设所作直线过焦点，故可得直线，联立可求，．然后由，代入可求
【详解】椭圆中，
椭圆的焦点为
不妨设所作倾斜角为的直线过焦点，故直线
联立消去可得，
解方程可得，
代入直线可得，，
同理可得，直线过焦点时
故答案为：
【点睛】本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆的相交关系的应用，向量数量积的坐标表示等知识的综合应用，属于中档题.
16．已知，，，，若四点共面，则＝ ．
【答案】8
【分析】四点共面，则存在唯一的λ、μ使得，据此即可求出x.
【详解】∵，，，，
∴，，，
∵四点共面，则有，即
解得．
故答案为：8.
四、问答题
17．已知空间中三点，，.设，.
(1)求；
(2)若与互相垂直，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；
（2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.
【详解】（1），，，，，
，，
于是，
.
（2），
，
又与互相垂直，，
即，
，解得.
18．某校从高一年级学生中随机抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图.
(1)求图中实数的值；
(2)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率.
【答案】(1)0.03；(2).
【分析】(1)根据频率之和为，结合频率分布直方图，列出等式求解，即可得出结果；
(2)先确定这两个分数段内的人数，分布标记为；；用列举法，确定从这6人中随机的选取两人所包含的基本事件总数；再确定满足“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于”所包含的基本事件个数，基本事件的个数比，即为所求概率.
【详解】(1)由题意，可得，解得.
(2)成绩在分数段内的人数为，分别记为.
成绩在分数段内的人数为，分别记为.
若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共种.
如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于.
如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于.
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于”为事件，
则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，共种，
所以所求概率为.
【点睛】本题主要考补全频率分布直方图，以及求古典概型的概率，熟记频率分布直方图的特征，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.
19．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC中点．
(1)求四棱锥A—BDMN的体积；
(2)求点C到平面AMN的距离；
(3)在线段AN上，是否存在点S，使得平面AMN？若存在，求线段AS的长，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）连接交于点，可得平面,即可求解四棱锥;
（2）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面的法向量，求解到平面的距离;
（3）由（2）求解法向量，只需要，即可求解出.
【详解】（1）连接交于点,
因为是边长为1的正方形，
所以，,
又平面，所以,
因为，，平面,
所以平面,
因为平面,平面，故，
而，所以四边形是平行四边形，
又平面，故，故四边形为矩形.
所以其面积,
;
（2）以为原点，分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
,
则
设平面的法向量为，
则,即，取，，则，
则点到平面的距离.
（3）假设在线段上存在点,使得平面，
设,
则，
由（2）可知平面的一个法向量为，
则，即，得,
故上存在点,此时，即.
20．已知圆：.
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)根据给定条件设出切线方程，再借助圆的切线的性质列式计算即得.
(2)由所给的弦长结合圆的性质求出弦心距，再借助点到直线距离公式即可得解.
【详解】（1）圆：的圆心，半径，
设过点的圆的切线方程为：，
于是得，整理得：，则有：或，
当时，切线方程为：，当时，切线方程为：，
所以，所求切线方程为：或.
（2）因直线被圆所截弦AB的长为，则圆心C到直线AB的距离为，
于是得，解得，
所以的值为.
21．已知椭圆的长轴为，短轴为2，焦点在轴上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点斜率不为零的直线与椭圆相交于两不同点．
①若，求弦长的值；
②记为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）求出椭圆的即得解；
（2）①由题得存在且，可设直线，利用弦长公式求解；②求出，再换元利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：由题得
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由题得存在且，可设直线．
联立可知：
由解得．
①当时，
②坐标原点到直线的距离为．
令，易知可知，
令，可知．
当且仅当，即时等号成立．
所以面积的最大值为.
22．已知双曲线C的方程为，离心率为，右顶点为(2，0)
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线C的一支交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得即可求出、，从而求出双曲线方程；
（2）设直线的方程为，设、，联立直线与双曲线方程，消元，依题意可得，即可求出的取值范围，再根据向量数量积的坐标表示得到，即可求出的范围；
【详解】（1）解：根据题意，由离心率，又，所以，
又右顶点为，即，故双曲线的标准方程为．
（2）解：设直线的方程为，设、，
则由，消去整理得到，
∵直线与双曲线一支交于、两点，，解得．
因此
，
∵，故，
故．