2023-2024学年贵州省贵阳市第一中学高二上学期数学教学质量监测卷（二）含答案

这是一份2023-2024学年贵州省贵阳市第一中学高二上学期数学教学质量监测卷（二）含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】已知全集和，可求出集合，逐个验证选项.
【详解】全集，，∴，只有选项A正确，
故选：A
2．已知，（i为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【分析】根据复数的乘法公式及复数相等即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
故选:C.
3．已知点在抛物线：上，则点到的准线的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】由点在曲线上代入点计算得出，再根据抛物线性质即可得出.
【详解】抛物线：，则其准线为：，
点在抛物线：上，
则，解得：，
则点到的准线的距离为，
故选：B.
4．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】,根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】，
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
故将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选:D.
5．圆：与圆：的位置关系不可能是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
【答案】D
【分析】将圆化为标准方程得出其圆心与半径，根据圆的标准方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离，与两半径距离之和与差对比即可得出答案.
【详解】圆：化为标准方程，
则圆的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
则两圆心距离为，
所以两圆不可能外切.
故选：D.
6．已知正方体的棱长为2，平面与正方体的一条体对角线垂直，则平面截此正方体所得截面的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】找到截面为正六边形，算出边长，求出面积即可.
【详解】
因为在正方体中，平面与正方体的一条体对角线垂直，
则截面为正六边形时面积最大，且边长为，
此时面积为，
故选：B
7．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】设是双曲线的右焦点，连接,根据三角形中位线定理及椭圆的定义可得,.连接，根据圆的性质可得，从而可求解.
【详解】如图所示，设是双曲线的右焦点，连接,
因为点、分别为线段、的中点，
由三角形中位线定理得，
所以.
连接，因为是圆的切线，则，
在中，，，所以．
所以，即.
故选:C.
8．在平面直角坐标系中，已知点，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，若曲线上存在两点，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，求出曲线轨迹，然后画出图形，利用几何关系从而求解.
【详解】设，由，所以，
化简得，所以曲线的轨迹为圆，圆心，半径，
点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为点，，连接，如图，
由题意得若圆上存在两点使，即只需，
因为都是过点的切线，所以，，
所以，所以，
所以，在中，
化简得，即，故C项正确.
故选：C.
二、多选题
9．一个人打靶时连续射击两次，甲表示事件“至少有一次中靶”，乙表示事件“恰有一次中靶”，丙表示事件“两次都中靶”，丁表示事件“两次都不中靶”，则（ ）
A．甲与乙是互斥事件B．乙与丙是互斥事件
C．乙与丁是对立事件D．甲与丁是对立事件
【答案】BD
【分析】分别写出各事件包含的基本事件，再结合互斥与对立事件的概念依次讨论求解即可.
【详解】解：一个人打靶时连续射击两次，其基本事件有：两次都不中靶；第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；两次都中靶.
其中甲事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；两次都中靶.
乙事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；
丙事件包含的基本事件有：两次都中靶；
丁事件包含的基本事件有：两次都不中靶.
所以根据互斥与对立事件的定义，甲与乙不互斥，乙与丙互斥，乙与丁互斥不对立，甲与丁为对立事件.
故AC错误，BD正确.
故选：BD
10．已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．若该椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为
D．若椭圆的离心率为，则
【答案】BC
【分析】由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可.
【详解】由题意，A错；
椭圆的焦点在y轴上，则，B对；
若，则，故，该椭圆的焦距为，C对；
若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错.
故选:BC.
11．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为2，则（ ）
A．被截正方体的棱长为
B．被截去的一个四面体的体积为
C．该二十四等边体的体积为
D．该二十四等边体外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】将二十四等边体还原到正方体里，根据正方体边长间关系逐项判断；
【详解】
将二十四等边体还原到正方体里，逐项判断；
选项A:被截正方体的被截正方体的棱长为，选项正确；
选项B: 被截去的一个四面体的体积为，选项正确；
选项C: 该二十四等边体的体积为，选项错误；
选项D: 该二十四等边体外接球直径为正方体面对角线即所以外接球的表面积为,选项正确；
故选：ABD.
12．已知抛物线：的焦点为，定点和动点都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为
D．若弦的中点的横坐标为2，则弦长的最大值为7
【答案】BCD
【分析】据的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，由抛物线方程可得，
因为（其中为坐标原点）的面积为，
所以，解得，故抛物线的标准方程为，故A错误；
对于B，抛物线的焦点为，
，，则，，
代入，得，整理得，
所以点的轨迹方程为，故B正确；
对于C，由于，所以三点共线.
设直线的倾斜角为，
，，解得，
同理可得.
依题意，即，解得，
所以为锐角，所以，故C正确；
对于D，设直线的方程为，
由消去并化简得，
设，则 ，
，则，
，
所以当时，，，
满足，故D正确．

故选:BCD.
三、填空题
13．若抛物线的焦点坐标为，则 .
【答案】12
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标为，从而可求解.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
所以，解得.
故答案为:12.
14．若直线：与圆：相交于两点，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，根据垂径定理列出不等式，求解即可.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为,
设到直线的距离为，则.
由垂径定理可得，
因为，所以，
即，即，
化简得，解得.
则的取值范围为.
故答案为:.
15．甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，始建于明万历二十六年（1598年），是贵阳历史的见证.为了测量甲秀楼的高度，某同学选取了与甲秀楼底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则甲秀楼的高为 米.
【答案】20
【分析】由线面垂直得到线线垂直，设，则，，由余弦定理列出方程，求出答案.
【详解】因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
设，
因为，，则，，
，，
由余弦定理得，
即，解得，负值舍去，
故甲秀楼的高为20米.
故答案为：20
16．设平面向量，，其中为单位向量，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由两边平方可得，根据，可得，根据单调性即可求解.
【详解】因为，所以，即，可得.
所以
，
所以的最小值为.
故答案为:.
四、解答题
17．某食品加工厂生产出，两种新配方饮料，现从生产的，这两种饮料产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85的为废品，在内的为一等品，大于或等于115的为特等品.现把，两种配方饮料的质量指标值的测量数据整理如下表及图，其中饮料的废品有6件.
配方饮料质量指标值的频数分布表
B配方饮料质量指标值的频率分布直方图
(1)求，的值；
(2)若从，两种饮料中选择一种进行推广，以两种饮料的质量指标值的均值为判断依据，试确定推广哪种比较好?（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】(1)
(2)选择配方较好
【分析】（1）计算出配方的样本容量，结合配方的频数分布表可求得的值，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得的值；
（2）计算出、配方质量指标值的平均数和方差，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）因为A、配方样本容量相同，设为，
由于配方废品有6件，由配方的频率分布直方图可知，废品的频率为，解得，
所以，，
由，解得.
（2）由（1）及A配方的频数分布表得，
A配方质量指标值的样本平均数为，
质量指标值的方差为，
由配方的频率分布直方图知，B配方质量指标值的样本平均数为
，
质量指标值的样本方差为
，
所以，，，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但配方质量指标值的样本方差比配方质量指标值的样本方差大，
所以，选择配方较好.
18．已知圆的圆心为坐标原点，斜率为1且过点的直线与圆相切，圆：.
(1)若圆与圆相交于，两点，求线段的长度；
(2)若直线：与圆交于，两点，是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，使得.
【分析】（1）斜率为1且过点的直线方程为，由其与圆相切结合点到直线的距离公式可得圆的半径，从而可得圆的方程. 圆的方程减去圆的方程，可得所在的直线方程为，根据垂径定理可求；
（2）设的中点为，可得三点共线，根据斜率公式求出，由垂直关系可得，从而可求的值，再验证直线与圆有两个交点即可.
【详解】（1）斜率为1且过点的直线方程为，即.
则到直线的距离为，即为圆的半径，
所以圆的方程为.
由圆的方程减去圆的方程，可得，即.
因为圆与圆相交于，两点，则所在的直线方程为.
到的距离为，
所以.
（2）假设存在实数，使得.
设的中点为，因为，所以.
又，所以三点共线.
圆：的圆心为,半径为3，
故，所以，即.
因为直线：，所以，解得,
此时直线：.
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆有两个交点，
所以存在实数，使得.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，过点作直线的平行线交于，为线段上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，结合证明出平面，得到结论；
（2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，得到平面的法向量，利用空间向量求解二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）因为平面，平面，
所以，，
又，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，
由勾股定理得，
故，
因为，所以，故≌，
所以，，，
故，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
又平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，由图形可以看出为锐角，
故.
故平面与平面夹角的余弦值为.
20．已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率和过点，得到方程组，求出，，得到椭圆方程；
（2）设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据为钝角得到，得到不等式，求出，舍去，得到答案.
【详解】（1）由题意得，又，且，
解得，
故椭圆的方程为；
（2）由题意得，，
直线的方程为，联立得，，
恒成立，
设，则，
因为为钝角，
所以，
即，即，
解得，
又时，三点共线，此时不是钝角，舍去，
故的取值范围是.
21．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，为的中点.
(1)试在线段上找一点，使得平面，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)为线段的中点,证明见解析；
(2).
【分析】（1）当为线段的中点时，平面.取的中点，连接，可证明四边形是平行四边形，，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）取的中点，连接，可证明，再证明≌可得，由面面垂直的性质可得两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法即可求解.
【详解】（1）当为线段的中点时，平面.证明如下：
取的中点，连接，
因为分别为，的中点，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
所以当为线段的中点时，平面.
（2）取的中点，连接，
因为分别为，的中点，
所以且，，
因为侧面为正方形，所以,
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，所以，
则，即，
因为，
所以≌，则，
所以，又，所以，
所以两两垂直，
故以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则,
所以.
设平面的法向量为，则，
令，可得，故.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．双曲线：的左顶点为，实轴长为2，过右焦点作垂直于实轴的直线交于，两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)，是右支上的两点，设直线，的斜率分别是，，若.
①求证：直线恒过定点；
②求点到直线的距离的取值范围.
【答案】(1)
(2)①直线恒过定点；
【详解】（1）因为实轴长为2，所以，解得.
设半焦距为，则.
又,将代入，可得，可得，解得,
所以.
因为是直角三角形，所以,
所以，即，即，解得或（舍），
所以，
所以双曲线的方程为.
（2）①显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
在条件下，设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
代入韦达定理得，，
化简可消去所有的含的项，即，解得：或（舍去），
则直线的方程为.
所以直线恒过定点.
②点到直线的距离为，
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，，
所以到直线的距离的取值范围为.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线过定点问题.解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点.
(2)动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
质量指标值
频数
8
22
26
8