2023-2024学年河南省部分重点中学高二上学期12月质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省部分重点中学高二上学期12月质量检测数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ）
A．8B．28C．20D．15
【答案】D
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由题意可知不同选法有（种）.
故选:D.
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的渐近线方程公式求解即可.
【详解】由双曲线的方程为知，双曲线焦点在轴，且，
又焦点在轴的双曲线渐近线方程为，所以渐近线方程为.
故选：C.
3．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.
故选：C.
4．已知空间向量，若，则（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】A
【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可.
【详解】由题意可得，因为，所以，解得.
故选：A.
5．已知四面体是的重心，若，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得.
【详解】取的中点，
所以
，
又，
可得，所以.
故选：B.
6．已知直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合图形得到，再利用点线距离公式列式，解之即可得解.
【详解】因为的圆心为，半径为，
过点作，垂足为，如图，
由，可得，则，
所以，可得，
因为直线可化为，
所以，可得.
故选：C.
7．若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果.
【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别，
所以，得到，
又，所以，得到，故.
故选：C.
8．已知抛物线为坐标原点，在抛物线上存在两点（异于原点），直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，设点的坐标分别为，并把表示出来，由得值，从而得到.
【详解】设点的坐标分别为且，
又两点都在C上，，
则，
，
由，有，可得，有.
故选:B.
二、多选题
9．下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据排列数的计算公式即可结合选项逐一求解.
【详解】，故A正确；
由上述可知，因此，故B错误；
，故C正确；
由上述可知，故D错误.
故选:AC.
10．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为，半径为2
B．两圆外离
C．若分别为两圆上的点，则两点间的最大距离为
D．若为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
【答案】ACD
【分析】A选项，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；B选项，求出圆心距，得到，两圆相交；C选项，数形结合得到；D选项，由垂径定理得到，从而得到线段的中点的轨迹方程.
【详解】A选项，圆化为标准方程得，
由此可知圆的圆心坐标为，半径为2，故A选项正确；
B选项，将圆的方程化为，
圆心，半径为3，
因此，
因为，所以，所以两圆相交，故B选项错误；
C选项，根据圆的图象可知，故C选项正确；
D选项，不妨设中点为，则，圆的半径为3，
由垂径定理可知，即，
设点的坐标为，又点的坐标为，
所以，故D选项正确.
故选：ACD.
三、单选题
11．如图所示，四边形为正方形，平面平面为的中点，，且，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．直线到平面的距离为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【分析】根据几何体特征，可利用空间线面位置关系和夹角逐项计算求解即可；
【详解】由题四边形为正方形，平面平面为的中点，
，且，
所以，
，故A正确；
易知平面平面，所以平面，由，可知平面，所以直线到平面的距离为，即错误；
异面直线与所成角即与所成角，因此余弦值为，故正确；
易知平面，即，故与平面所成角的正弦值为，故正确.
故选：ACD.
四、多选题
12．已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．双曲线的标准方程为
B．若直线的斜率为2，则
C．若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点
D．直线过定点
【答案】ABD
【分析】选项A根据等轴双曲线的实轴长为即可求出方程；选项B根据弦长公式求解；C选项首先确定分别在双曲线的左、右支，根据横坐标的范围及中点坐标公式即可做出判断；D选项通过验证三点共线恒成立得出判断.
【详解】设等轴双曲线的标准方程为，由双曲线的实轴长为，可得，
所以双曲线的标准方程为，故A选项正确；
由上知，设直线的方程为两点的坐标分别为，
联立方程，消去后整理为，
所以，，
所以，故B选项正确；
由点依次从左到右排列知，所以，
故不存在直线使得为线段的中点，故C选项错误；
设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，所以，，
点坐标为，直线斜率为，直线斜率为，若直线过定点，则，即.
而恒成立，所以直线过定点，故D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线的定点问题的解决策略：
（1）参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量或）；②利用条件找到（或）与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
五、填空题
13．准线方程为的抛物线标准方程为 .
【答案】
【分析】由准线方程可得，抛物线的焦点在的负半轴上，从而可求得抛物线的标准方程
【详解】解：因为抛物线的准线方程为，
所以，且抛物线的焦点在的负半轴上，
得，
所以抛物线标准方程为，
故答案为：
14．若空间向量，，共面，则实数 .
【答案】1
【分析】依题意可得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】由题可知，故，
所以，解得.
故答案为：
15．已知直线方程，若这三个数作为的值，且的值互不相同，则可表示 条不同的直线.
【答案】6
【分析】由题意，根据分类加法计数原理即可求解.
【详解】当时，可表示2条不同的直线；
当时，可表示2条不同的直线；
当时，可表示2条不同的直线，
由分类加法计数原理，知共可表示6条不同的直线.
故答案为：6
16．已知点是椭圆上异于上下顶点的任意一点，为坐标原点，过点作圆的切线，切点分别为，若存在点使得，则椭圆离心率的最小值为 .
【答案】/
【分析】先得到，设，，得到，从而得到不等式，求出离心率.
【详解】当时，由于为切点，
由勾股定理得，
又因为点在椭圆上，设，，
则，
因为，，所以，
故，
因此，即，，
又离心率，解出.
故答案为：
【点睛】求椭圆的离心率是(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
六、解答题
17．已知点，直线.
(1)求经过点且与直线平行的直线方程；
(2)求经过点且与直线垂直的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两条直线平行，得到斜率相等，利用点斜式方程，即可求解直线的方程；
（2）根据两条直线垂直，得到直线斜率，利用点斜式方程，即可求解直线的方程；
【详解】（1）设经过点且与直线平行的直线方程为，
将代入得，
所以所求直线方程为；
（2）直线的斜率为，
与直线垂直的直线斜率为-2，
所以经过点且与直线垂直的直线方程为，
即.
18．已知正方体的棱长为分别为的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理证明；
（2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再由求解.
【详解】（1）证明：取中点，连接，

由于为中点，且四边形为正方形，因此，
由于为中点，且是正方体，因此平面，
又平面，则，
因此平面，则平面，
又平面，因此；
（2）以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
于是，
设平面的一个法向量为，
有令，则，
因此，
故直线与平面所成角的余弦值为.
19．已知点是双曲线上任意一点.
(1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)已知点，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解，
（2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由已知可得，所以双曲线的渐近线方程为，
点到直线，即直线的距离，
点到直线，即直线的距离，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为
，
又在双曲线上，所以，所以，所以是一个常数；
（2）因为，所以，解得或，
所以，
当时，的最小值为，所以的最小值为.
20．已知圆经过三点.
(1)求圆的方程；
(2)已知斜率为的直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出圆方程，代入点坐标，利用待定系数法求解圆的方程即可.
（2）设出直线方程，表示出的面积，根据参数范围即可求出的面积的取值范围.
【详解】（1）设圆的方程为，将三点坐标代入，
则，解得
则圆的方程为；
（2）
由（1）知圆的方程为，
即圆心，半径为，
可设直线方程：，
圆心到直线的距离为，
由于，且直线与圆交于两点，因此，即，
线段，因此的面积，
由于，则，因此，
所以的取值范围为.
21．如图，在四棱锥中，平面为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且与底面所成的角为.

(1)求证：为线段的中点；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定及线面角的定义得为与平面所成的角，再证平面，最后线面平行的性质证，进而证结论；
（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的正弦值即可.
【详解】（1）因为平面平面，所以，
又，且，面，所以平面，
所以为与平面所成的角，
由，有，所以为中点，
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以，所以为线段的中点；
（2）由（1）知两两垂直，如图所示，
以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，

所以，设平面的法向量为，
则，取，得到，
由，设平面的法向量为，
则，取，可得，
所以，即平面与平面的夹角的余弦值为，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
22．已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线（直线的斜率不为0）与椭圆相交于两点，过焦点作与直线的倾斜角互补的直线，与椭圆相交于两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率可得椭圆方程为，代入点坐标计算得到答案.
（2）设出点和直线方程，联立方程消元得到根与系数的关系，计算，代入化简计算得到答案.
【详解】（1），可得，
可得椭圆方程为，代入点的坐标有，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2），点为，，
设点的坐标分别，
直线的方程为，直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
有，
联立方程，消去后整理为，
有，
，
对消元，可得到
原式，
故的值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了求椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方式是常考的方法，需要熟练掌握.